1. 一次函数 $y=3x+2$ 和 $y=2x-4$ 的图象的交点坐标为()。

A.(1,5)
B.(6,20)
C.(-6,16)
D.(-6,-16)

1. D

【分析】
两个一次函数图象的交点，就是同时在两个函数图象上的点，该点的横、纵坐标要同时满足两个函数的解析式。因此解题思路是：联立两个一次函数的解析式得到二元一次方程组，求解该方程组，得到的x、y的对应值就是交点的横、纵坐标，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
联立两个一次函数的解析式，可得方程组：
$\begin{cases}y=3x+2 \\y=2x-4\end{cases}$
因为两个式子都等于y，所以等号右侧相等，可得：
$3x+2=2x-4$
移项计算得：$3x-2x=-4-2$，解得$x=-6$
将$x=-6$代入$y=3x+2$，得$y=3×(-6)+2=-16$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=-6 \\ y=-16\end{cases}$，即两个函数图象的交点坐标为$(-6,-16)$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数交点性质，解二元一次方程组
【点评】
本题是基础常考题，核心考查一次函数图象交点与二元一次方程组解的对应关系，掌握联立方程求解的方法即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 如图5-4-1，已知直线$l_1:y=3x+1$和直线$l_2:y=mx+n$交于点$P(1,b)$，则关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=3x+1, \\ y=mx+n\end{cases}$的解是 ______ 。


图5-4-1
图5-4-2

2. $\begin{cases} x=1, \\ y=4 \end{cases}$

【分析】
本题可根据一次函数与二元一次方程组的关系求解，解题思路如下：首先，二元一次方程组中两个方程分别对应两个一次函数，两个函数图象的交点坐标就是方程组的解；其次，已知交点P的横坐标为1，且点P在直线$l_1$上，可先代入$l_1$的解析式求出点P的纵坐标，得到交点坐标后即可直接得到方程组的解。
【解析】
第一步：求点P的纵坐标
∵点$P(1,b)$在直线$l_1:y=3x+1$上，
∴将$x=1$代入$y=3x+1$，得$b=3×1+1=4$，
∴点P的坐标为$(1,4)$。
第二步：根据一次函数与二元一次方程组的关系得解
∵两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，
∴方程组$\begin{cases}y=3x+1 \\ y=mx+n\end{cases}$的解就是点P的坐标。
【答案】
$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题考查一次函数和二元一次方程组的对应联系，解题的关键是明确两个一次函数图象的交点横、纵坐标即为对应方程组中x、y的取值，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

3. 如图5-4-2，已知直线$y=2x+3$与直线$y=-2x-1$相交于点$C$，与$y$轴相交于点$A$，直线$y=-2x-1$与$y$轴相交于点$B$，则$△ ABC$的面积是。

3. 2

【分析】
要求△ABC的面积，需先确定A、B、C三点的坐标：首先A、B是两条直线与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，代入对应解析式即可求出A、B坐标，进而得到AB的长度；再联立两条直线的解析式，解二元一次方程组得到交点C的坐标，点C到y轴的距离就是AB边上的高，最后利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
直线$y=2x+3$与y轴交于A，令$x=0$，得$y=3$，
∴$A(0,3)$；
直线$y=-2x-1$与y轴交于B，令$x=0$，得$y=-1$，
∴$B(0,-1)$；
则AB的长度为$|3 - (-1)|=4$。
2. 求交点C的坐标：
联立两个直线解析式$\begin{cases}y=2x+3\\y=-2x-1\end{cases}$，
令$2x+3=-2x-1$，解得$x=-1$，将$x=-1$代入$y=2x+3$，得$y=1$，
∴$C(-1,1)$。
3. 计算△ABC的面积：
点C到y轴的距离为$|-1|=1$，即AB边上的高为1，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 高=\frac{1}{2}×4×1=2$。
【答案】
2
【知识点】
一次函数交点求解，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积的基础综合题，解题核心是通过函数解析式求出所需点的坐标，选择合适的底和高可大幅简化面积计算过程，是常考基础题型。
【难度系数】
0.8

4. 方程组 $\begin{cases}x+y=2, \\ 2x+2y=3\end{cases}$ 没有解，因此直线 $y=-x+2$ 和直线 $y=-x+\frac{3}{2}$ 在同一平面直角坐标系中的位置关系是 ______ 。

4. 平行

【分析】
解题时首先要明确二元一次方程组的解与对应一次函数图象的关系：二元一次方程组中两个方程对应的一次函数图象的交点坐标就是方程组的解。已知题干中方程组无解，说明两条直线没有公共交点。再结合一次函数$y=kx+b$的性质：当两个一次函数的$k$值相等、$b$值不相等时，对应的直线互相平行，没有交点，由此可推出两条直线的位置关系。
【解析】
二元一次方程组的解就是组成方程组的两个方程对应的一次函数图象的交点坐标：若方程组有解，说明两条直线有交点；若方程组无解，说明两条直线没有公共交点。
题中给出的方程组无解，因此直线$y=-x+2$和$y=-x+\frac{3}{2}$没有交点。
观察两个直线的解析式，均符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，其中两条直线的$k$值都为$-1$，$b$值分别为$2$和$\frac{3}{2}$、并不相等，满足平面直角坐标系中两直线平行的条件，因此两条直线的位置关系是平行。
【答案】
平行
【知识点】
1. 二元一次方程组与一次函数的关系
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题是数形结合思想在一次函数与二元一次方程综合应用中的典型基础题，核心考查方程组解的情况与对应直线交点的对应关系，同时结合了一次函数中两直线平行的判定条件，熟练掌握二者的对应关联就能快速解题。
【难度系数】
0.8

5. 已知一次函数$y=ax-5$与$y=3x+b$的图象的交点坐标为$A(1,-3)$。
(1)关于$x,y$的方程组$\begin{cases} ax-y=5, \\ 3x-y=-b \end{cases}$的解为________；
(2)$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_$。

5. (1) $\begin{cases} x=1, \\ y=-3 \end{cases}$ (2) 2 -6

【分析】
(1) 解题思路：根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。因为交点同时在两条直线上，它的横、纵坐标同时满足两个函数表达式，自然也满足对应的方程组，直接取交点坐标即可得到方程组的解。
(2) 解题思路：一次函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式，所以把交点A的坐标分别代入两个一次函数的表达式，就能得到只含a、只含b的一元一次方程，分别求解即可得到a和b的值。
【解析】
(1)
∵ 一次函数$y=ax-5$与$y=3x+b$的图象交点坐标为$A(1,-3)$，
将两个一次函数移项变形可得$ax-y=5$、$3x-y=-b$，和所给方程组完全一致，
∴ 方程组$\begin{cases} ax-y=5, \\ 3x-y=-b \end{cases}$的解就是交点的横、纵坐标，即$\begin{cases} x=1, \\ y=-3 \end{cases}$。
(2) 把$A(1,-3)$代入$y=ax-5$，得：
$-3 = a × 1 - 5$，
解得 $a = -3 + 5 = 2$；
把$A(1,-3)$代入$y=3x+b$，得：
$-3 = 3 × 1 + b$，
解得 $b = -3 - 3 = -6$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1, \\ y=-3 \end{cases}$
(2) $2$；$-6$
【知识点】
1. 二元一次方程组与一次函数的关系
2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查一次函数与二元一次方程组的对应联系，解题关键是牢记两个结论：两个一次函数的交点坐标就是对应联立方程组的解、函数图象上任意点的坐标都满足该函数的解析式，掌握后可快速求解。
【难度系数】
0.9

6. 已知一次函数$y_1=-2x+2$与$y_2=x-4$。
(1)在同一平面直角坐标系(图5-4-3)中分别
画出它们的图象；
(2)直线$y_1=-2x+2,y_2=x-4$与y轴分别交于点A,B,请写出A,B两点的坐标；
(3)根据图象,写出方程组$\begin{cases}2x+y=2,\\x-y=4\end{cases}$的解。

图5-4-3

6. 解:(1)列表如答表5-4-1，
答表5-4-1
| x | ... | -1 | 0 | 1 | 2 | ... |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y_1=-2x+2$ | ... | 4 | 2 | 0 | -2 | ... |
| $y_2=x-4$ | ... | -5 | -4 | -3 | -2 | ... |
描点,连线如。
(2)当 $x=0$ 时,$y_1=2$,$y_2=-4$,
所以 $A(0,2)$,$B(0,-4)$。
(3)根据题图可知,方程组$\begin{cases}2x+y=2,\\x-y=4\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-2 \end{cases}$。

【分析】
(1) 画一次函数图象的核心是“两点确定一条直线”，我们可以选取几个容易计算的x值，分别代入两个函数解析式算出对应的y值，列表整理后，在坐标系中描出对应点，再连线即可得到两条直线的图象；
(2) 求直线与y轴交点时，y轴上点的横坐标恒为0，因此只需将x=0分别代入两个一次函数，算出对应的y值，就能得到A、B的坐标；
(3) 二元一次方程组的解与对应一次函数的交点坐标是一一对应的：交点坐标同时满足两个一次函数的解析式，也就满足对应的两个二元一次方程，因此找到两条直线的交点坐标，就是方程组的解。
【解析】
(1) 先列表计算x取不同值时两个函数的y值：
| x | ... | -1 | 0 | 1 | 2 | ... |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y_1=-2x+2$ | ... | 4 | 2 | 0 | -2 | ... |
| $y_2=x-4$ | ... | -5 | -4 | -3 | -2 | ... |
在平面直角坐标系中依次描出两个函数对应的点，再分别将点连线，即可得到$y_1=-2x+2$和$y_2=x-4$的图象；
(2) 当x=0时，代入$y_1=-2x+2$得$y_1=-2×0+2=2$，所以A点坐标为$(0,2)$；
将x=0代入$y_2=x-4$得$y_2=0-4=-4$，所以B点坐标为$(0,-4)$；
(3) 观察图象可得，$y_1=-2x+2$和$y_2=x-4$的交点坐标为$(2,-2)$，该坐标同时满足两个函数对应的方程，因此方程组$\begin{cases}2x+y=2\\x-y=4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}$。
【答案】
(1)列表如答表5-4-1，
答表5-4-1
| x | ... | -1 | 0 | 1 | 2 | ... |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y_1=-2x+2$ | ... | 4 | 2 | 0 | -2 | ... |
| $y_2=x-4$ | ... | -5 | -4 | -3 | -2 | ... |
描点,连线如。
(2)$A(0,2)$，$B(0,-4)$
(3)$\begin{cases} x=2, \\ y=-2 \end{cases}$
【知识点】
一次函数图象画法，一次函数与坐标轴交点，二元一次方程组与一次函数的关系
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程的基础综合题，考察了一次函数的作图、求与坐标轴交点坐标、函数图象交点和方程组解的对应关系，熟练掌握这些基础知识点，能为后续学习函数与方程、不等式的关系打下良好基础。
【难度系数】
0.8

7. 如图5-4-4，在平面直角坐标系中，直线$l_1:y=kx+b(k≠0)$与直线$l_2:y=3x$交于点$A(1,a)$，与y轴交于点B，与x轴交于点$C(\dfrac{5}{2},0)$。
(1)求点A的坐标和直线$l_1$对应的函数表达式。
(2)在直线$l_2$上是否存在一点P，使得$S_{△ OCP}=2S_{△ AOC}$？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

图5-4-4

7. 解:(1)将点 $A(1,a)$ 的坐标代入 $y=3x$,得 $a=3$,所以点A的坐标为$(1,3)$。
将点 $A(1,3)$,$C(\dfrac{5}{2},0)$ 的坐标分别代入 $y=kx+b$,得
$\begin{cases} k+b=3, \\ \dfrac{5}{2}k+b=0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-2, \\ b=5, \end{cases}$
所以直线 $l_1$ 对应的函数表达式为 $y=-2x+5$。
(2)存在。
由题意知 $S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}×3=\dfrac{15}{4}$。
设点 $P$ 的坐标为 $(m,3m)$,
则 $S_{△ OCP}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}×|3m|=2×\dfrac{15}{4}=\dfrac{15}{2}$,
解得 $m=2$ 或 $m=-2$。
所以点 $P$ 的坐标为 $(2,6)$ 或 $(-2,-6)$。

【分析】
(1) 要确定点A的坐标，已知点A在直线$l_2:y=3x$上，将点A的横坐标代入$l_2$的解析式即可求出$a$，得到点A的坐标；再将点A和点C的坐标代入直线$l_1$的解析式$y=kx+b$，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$k$、$b$，得到$l_1$的函数表达式。
(2) 先利用三角形面积公式求出$△ AOC$的面积，根据题意得到$△ OCP$的面积；由于点$P$在$l_2$上，可设点$P$的坐标为$(m,3m)$，$△ OCP$以$OC$为底，高为点$P$纵坐标的绝对值，据此列方程求解$m$，注意绝对值对应正负两种情况，即可得到点$P$的坐标。
【解析】
(1) 将点$A(1,a)$代入$y=3x$，得$a=3×1=3$，因此点$A$的坐标为$(1,3)$。
将$A(1,3)$、$C(\dfrac{5}{2},0)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases} k+b=3 \\ \dfrac{5}{2}k+b=0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$\dfrac{3}{2}k=-3$，解得$k=-2$；
将$k=-2$代入$k+b=3$，得$-2+b=3$，解得$b=5$。
因此直线$l_1$对应的函数表达式为$y=-2x+5$。
(2) 存在，理由如下：
先计算$△ AOC$的面积：$OC$的长度为$\dfrac{5}{2}$，点$A$的纵坐标为$3$，
$\therefore S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}×3=\dfrac{15}{4}$。
由题意$S_{△ OCP}=2S_{△ AOC}$，因此$S_{△ OCP}=2×\dfrac{15}{4}=\dfrac{15}{2}$。
设点$P$的坐标为$(m,3m)$（因点$P$在$l_2:y=3x$上），
$△ OCP$中，底$OC=\dfrac{5}{2}$，高为点$P$纵坐标的绝对值$\vert 3m\vert$，
$\therefore S_{△ OCP}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}×\vert 3m\vert=\dfrac{15}{2}$，
化简得$\dfrac{15}{4}\vert m\vert=\dfrac{15}{2}$，即$\vert m\vert=2$，解得$m=2$或$m=-2$。
当$m=2$时，$3m=6$，点$P$坐标为$(2,6)$；当$m=-2$时，$3m=-6$，点$P$坐标为$(-2,-6)$。
【答案】
(1) 点$A$的坐标为$(1,3)$，直线$l_1$对应的函数表达式为$y=-2x+5$；
(2) 存在，点$P$的坐标为$(2,6)$或$(-2,-6)$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题为一次函数基础综合题，第一问侧重待定系数法的基础应用，第二问需要注意点$P$可位于$x$轴上方或下方，避免漏解，熟练掌握一次函数的性质和三角形面积公式是解题的核心。
【难度系数】
0.7