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一、基础性作业
1. 表6-3-1记录了4名队员几次游泳成绩的平均数与方差，其中游得快又发挥稳定的是(
表6-3-1
A.队员1
B.队员2
C.队员3
D.队员4
1. 表6-3-1记录了4名队员几次游泳成绩的平均数与方差，其中游得快又发挥稳定的是(
B
)。表6-3-1
A.队员1
B.队员2
C.队员3
D.队员4
答案
1. B
解析
【分析】
要选出游得快又发挥稳定的队员，需分两步判断：首先明确“游得快”对应平均游泳用时更短，看平均数统计量，用时越少速度越快；其次“发挥稳定”对应成绩波动更小，看方差统计量，方差越小数据波动越小、发挥越稳定。先通过平均数筛选出速度快的队员，再在这些队员中通过方差选出发挥最稳定的即可。
【解析】
① 判断游得快的队员：游泳平均用时越短，速度越快。
观察表格中平均数：队员1、3平均用时为51s，队员2、4平均用时为50s，因为$50＜51$，所以队员2、4游得更快，排除A、C选项。
② 判断发挥稳定的队员：方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定。
对比队员2、4的方差：队员2方差为3.5，队员4方差为15.5，因为$3.5＜15.5$，所以队员2发挥更稳定。
综上，游得快又发挥稳定的是队员2。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义，方差的意义
【点评】
本题是统计量的实际应用题，解题关键是结合实际场景理解平均数和方差的实际含义，根据题目要求分步筛选即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
要选出游得快又发挥稳定的队员，需分两步判断：首先明确“游得快”对应平均游泳用时更短，看平均数统计量，用时越少速度越快；其次“发挥稳定”对应成绩波动更小，看方差统计量，方差越小数据波动越小、发挥越稳定。先通过平均数筛选出速度快的队员，再在这些队员中通过方差选出发挥最稳定的即可。
【解析】
① 判断游得快的队员：游泳平均用时越短，速度越快。
观察表格中平均数：队员1、3平均用时为51s，队员2、4平均用时为50s，因为$50＜51$，所以队员2、4游得更快，排除A、C选项。
② 判断发挥稳定的队员：方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定。
对比队员2、4的方差：队员2方差为3.5，队员4方差为15.5，因为$3.5＜15.5$，所以队员2发挥更稳定。
综上，游得快又发挥稳定的是队员2。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义，方差的意义
【点评】
本题是统计量的实际应用题，解题关键是结合实际场景理解平均数和方差的实际含义，根据题目要求分步筛选即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
2. 某球队6名队员的身高(单位:cm)分别是179,183,187,189,191,193。现增加一名身高为187 cm的队员,与增加之前相比,增加后队员身高(
A.平均数变小,方差变小
B.平均数变大,方差变小
C.平均数不变,方差变小
D.平均数不变,方差变大
C
)。A.平均数变小,方差变小
B.平均数变大,方差变小
C.平均数不变,方差变小
D.平均数不变,方差变大
答案
2. C
解析
【分析】
要判断增加队员后身高的平均数和方差的变化，需先分别计算原6名队员身高的平均数、方差，再计算增加1名队员后的平均数、方差，最后对比两组数据的结果即可得出答案。首先计算平均数时，根据平均数公式，用原数据总和除以数据个数得到原平均数，观察新增身高是否与原平均数相等，可快速判断平均数变化；再根据方差反映数据波动大小的性质，或直接计算方差，判断方差的变化。
【解析】
步骤1：计算原6名队员身高的平均数
原6名队员身高总和为：$179 + 183 + 187 + 189 + 191 + 193 = 1122\,\mathrm{cm}$
原平均数$\overline{x}_原 = 1122 ÷ 6 = 187\,\mathrm{cm}$
步骤2：计算增加队员后的平均数
新增队员身高为187cm，7名队员身高总和为：$1122 + 187 = 1309\,\mathrm{cm}$
新平均数$\overline{x}_新 = 1309 ÷ 7 = 187\,\mathrm{cm}$
因此平均数不变，排除选项A、B。
步骤3：计算原方差
方差公式为$s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2]$
原数据与平均数的差的平方和为：
$(179-187)^2 + (183-187)^2 + (187-187)^2 + (189-187)^2 + (191-187)^2 + (193-187)^2$
$= 64 + 16 + 0 + 4 + 16 + 36 = 136$
原方差$s^2_原 = 136 ÷ 6 \approx 22.67$
步骤4：计算新方差
新增数据与平均数的差的平方为$(187-187)^2 = 0$，因此新的平方和仍为136
新方差$s^2_新 = 136 ÷ 7 \approx 19.43$
可得$s^2_新 ＜ s^2_原$，即方差变小。
综上，平均数不变，方差变小，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题考查平均数和方差的变化判断，既可以通过直接计算得出结果，也可利用规律快速解题：当新增的数据等于原数据的平均数时，新数据的平均数不变，且数据整体波动变小，方差减小。掌握相关性质可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要判断增加队员后身高的平均数和方差的变化，需先分别计算原6名队员身高的平均数、方差，再计算增加1名队员后的平均数、方差，最后对比两组数据的结果即可得出答案。首先计算平均数时，根据平均数公式，用原数据总和除以数据个数得到原平均数，观察新增身高是否与原平均数相等，可快速判断平均数变化；再根据方差反映数据波动大小的性质，或直接计算方差，判断方差的变化。
【解析】
步骤1：计算原6名队员身高的平均数
原6名队员身高总和为：$179 + 183 + 187 + 189 + 191 + 193 = 1122\,\mathrm{cm}$
原平均数$\overline{x}_原 = 1122 ÷ 6 = 187\,\mathrm{cm}$
步骤2：计算增加队员后的平均数
新增队员身高为187cm，7名队员身高总和为：$1122 + 187 = 1309\,\mathrm{cm}$
新平均数$\overline{x}_新 = 1309 ÷ 7 = 187\,\mathrm{cm}$
因此平均数不变，排除选项A、B。
步骤3：计算原方差
方差公式为$s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2]$
原数据与平均数的差的平方和为：
$(179-187)^2 + (183-187)^2 + (187-187)^2 + (189-187)^2 + (191-187)^2 + (193-187)^2$
$= 64 + 16 + 0 + 4 + 16 + 36 = 136$
原方差$s^2_原 = 136 ÷ 6 \approx 22.67$
步骤4：计算新方差
新增数据与平均数的差的平方为$(187-187)^2 = 0$，因此新的平方和仍为136
新方差$s^2_新 = 136 ÷ 7 \approx 19.43$
可得$s^2_新 ＜ s^2_原$，即方差变小。
综上，平均数不变，方差变小，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题考查平均数和方差的变化判断，既可以通过直接计算得出结果，也可利用规律快速解题：当新增的数据等于原数据的平均数时，新数据的平均数不变，且数据整体波动变小，方差减小。掌握相关性质可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
3. 橙子中所含丰富的维生素C和其他营养成分对于增强免疫力、促进血液循环具有重要作用。静静从某水果超市购买了两箱橙子，带回家后称量得知：这两箱橙子的平均质量相同，第一箱共5颗橙子，质量分别为195 g，190 g，190 g，185 g，190 g，第二箱共5颗橙子，其质量的标准差为4 g，第
一
箱橙子的质量更均匀。答案
3. 一
解析
【分析】
要判断哪箱橙子质量更均匀，需比较两组数据的波动大小，而标准差是衡量数据波动程度的核心指标：标准差越小，数据离散程度越小，质量越均匀。因此我们先计算第一箱橙子质量的标准差，再与第二箱的标准差4g比较即可得出结论。
【解析】
第一步：计算第一箱橙子的平均质量
$\overline{x}_1 = \frac{195+190+190+185+190}{5} = \frac{950}{5} = 190\ \mathrm{g}$
第二步：计算第一箱橙子质量的方差
$s_1^2 = \frac{(195-190)^2 + (190-190)^2 + (190-190)^2 + (185-190)^2 + (190-190)^2}{5}$
$= \frac{25 + 0 + 0 + 25 + 0}{5} = \frac{50}{5} = 10\ \mathrm{g}^2$
第三步：计算第一箱橙子质量的标准差
$s_1 = \sqrt{10} \approx 3.16\ \mathrm{g}$
第四步：比较两箱标准差大小
因为$s_1 \approx 3.16\ \mathrm{g} ＜ 4\ \mathrm{g}$，第一箱标准差更小，所以第一箱橙子质量更均匀。
【答案】
一
【知识点】
标准差的意义；方差的计算；数据稳定性判断
【点评】
本题属于统计基础应用题，核心是理解标准差（方差）越小，数据的波动越小、越稳定的规律，解题时需熟练掌握方差的计算步骤，再通过比较标准差大小得出结论。
【难度系数】
0.7
要判断哪箱橙子质量更均匀，需比较两组数据的波动大小，而标准差是衡量数据波动程度的核心指标：标准差越小，数据离散程度越小，质量越均匀。因此我们先计算第一箱橙子质量的标准差，再与第二箱的标准差4g比较即可得出结论。
【解析】
第一步：计算第一箱橙子的平均质量
$\overline{x}_1 = \frac{195+190+190+185+190}{5} = \frac{950}{5} = 190\ \mathrm{g}$
第二步：计算第一箱橙子质量的方差
$s_1^2 = \frac{(195-190)^2 + (190-190)^2 + (190-190)^2 + (185-190)^2 + (190-190)^2}{5}$
$= \frac{25 + 0 + 0 + 25 + 0}{5} = \frac{50}{5} = 10\ \mathrm{g}^2$
第三步：计算第一箱橙子质量的标准差
$s_1 = \sqrt{10} \approx 3.16\ \mathrm{g}$
第四步：比较两箱标准差大小
因为$s_1 \approx 3.16\ \mathrm{g} ＜ 4\ \mathrm{g}$，第一箱标准差更小，所以第一箱橙子质量更均匀。
【答案】
一
【知识点】
标准差的意义；方差的计算；数据稳定性判断
【点评】
本题属于统计基础应用题，核心是理解标准差（方差）越小，数据的波动越小、越稳定的规律，解题时需熟练掌握方差的计算步骤，再通过比较标准差大小得出结论。
【难度系数】
0.7
4. 图6-3-1反映了甲、乙两校国旗队队员的身高情况，
乙
校国旗队队员身高波动更大。答案
4. 乙
解析
【分析】
要判断哪校队员身高波动更大，首先回忆判断数据波动程度的常用方法：极差（最大值与最小值的差）越大，数据波动越大。我们可以先从图中分别找出甲、乙两校队员身高的最大值和最小值，计算极差后比较大小即可得出结论。
【解析】
首先从统计图中提取数据：
甲校国旗队队员身高最大值为179cm，最小值为175cm，极差为：$179 - 175 = 4\mathrm{cm}$；
乙校国旗队队员身高最大值为184cm，最小值为176cm，极差为：$184 - 176 = 8\mathrm{cm}$。
由于极差越大，数据的波动程度越大，$8＞4$，因此乙校国旗队队员身高波动更大。
【答案】
乙
【知识点】
1. 极差的计算
2. 数据波动的判断
【点评】
本题结合统计图考查数据波动程度的相关知识，解题的关键是能从图表中准确提取最值信息，通过极差大小判断波动情况，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要判断哪校队员身高波动更大，首先回忆判断数据波动程度的常用方法：极差（最大值与最小值的差）越大，数据波动越大。我们可以先从图中分别找出甲、乙两校队员身高的最大值和最小值，计算极差后比较大小即可得出结论。
【解析】
首先从统计图中提取数据：
甲校国旗队队员身高最大值为179cm，最小值为175cm，极差为：$179 - 175 = 4\mathrm{cm}$；
乙校国旗队队员身高最大值为184cm，最小值为176cm，极差为：$184 - 176 = 8\mathrm{cm}$。
由于极差越大，数据的波动程度越大，$8＞4$，因此乙校国旗队队员身高波动更大。
【答案】
乙
【知识点】
1. 极差的计算
2. 数据波动的判断
【点评】
本题结合统计图考查数据波动程度的相关知识，解题的关键是能从图表中准确提取最值信息，通过极差大小判断波动情况，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
5. 在综合与实践活动中，为比较城市A和城市B哪个城市夏天更热，小明选取了两个城市近两年7～8月每天的最高温度数据进行分析。图6-3-2反映了城市A和城市B在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的是
①在此时间段内，城市B每天的最高温度的下四分位数为$31°\mathrm{C}$。
②在此时间段内，城市B每天的最高温度的中位数小于城市A每天的最高温度的中位数。
③在此时间段内，城市A每天的最高温度都高于城市B每天的最高温度。
④在此时间段内，城市A有超过一半的天数最高温度不低于$35°\mathrm{C}$。
图6-3-2
①②
。（填序号）①在此时间段内，城市B每天的最高温度的下四分位数为$31°\mathrm{C}$。
②在此时间段内，城市B每天的最高温度的中位数小于城市A每天的最高温度的中位数。
③在此时间段内，城市A每天的最高温度都高于城市B每天的最高温度。
④在此时间段内，城市A有超过一半的天数最高温度不低于$35°\mathrm{C}$。
图6-3-2
答案
5. ①②
解析
【分析】
解题前首先明确箱线图的结构：箱线图从左到右的五个关键位置依次对应数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值。解题时先提取城市A、B箱线图各位置对应的温度数值，再逐一验证四个结论是否正确即可。
【解析】
箱线图各位置含义：最左侧端点为数据最小值，箱子左边缘为下四分位数（排序后处于25%位置的数），箱子中间竖线为中位数（排序后处于50%位置的数），箱子右边缘为上四分位数（排序后处于75%位置的数），最右侧端点为数据最大值。
逐一分析结论：
① 城市B的箱子左边缘对应温度为31℃，即下四分位数为31℃，该结论正确；
② 城市B的中位数对应温度为33℃，城市A的中位数对应温度为34℃，33℃＜34℃，即城市B的最高温度中位数小于城市A的，该结论正确；
③ 城市A的最低最高温度为29℃，城市B的最高最高温度为39℃，存在城市A温度低于城市B的情况，该结论错误；
④ 城市A的上四分位数为35℃，说明仅25%的天数最高温度不低于35℃，不足一半，该结论错误。
综上，正确结论为①②。
【答案】
①②
【知识点】
箱线图的识别；中位数；四分位数
【点评】
本题考查统计图表中箱线图的应用，核心是掌握箱线图各部分对应的统计量含义，结合图中坐标读取数据即可判断结论，是统计部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题前首先明确箱线图的结构：箱线图从左到右的五个关键位置依次对应数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值。解题时先提取城市A、B箱线图各位置对应的温度数值，再逐一验证四个结论是否正确即可。
【解析】
箱线图各位置含义：最左侧端点为数据最小值，箱子左边缘为下四分位数（排序后处于25%位置的数），箱子中间竖线为中位数（排序后处于50%位置的数），箱子右边缘为上四分位数（排序后处于75%位置的数），最右侧端点为数据最大值。
逐一分析结论：
① 城市B的箱子左边缘对应温度为31℃，即下四分位数为31℃，该结论正确；
② 城市B的中位数对应温度为33℃，城市A的中位数对应温度为34℃，33℃＜34℃，即城市B的最高温度中位数小于城市A的，该结论正确；
③ 城市A的最低最高温度为29℃，城市B的最高最高温度为39℃，存在城市A温度低于城市B的情况，该结论错误；
④ 城市A的上四分位数为35℃，说明仅25%的天数最高温度不低于35℃，不足一半，该结论错误。
综上，正确结论为①②。
【答案】
①②
【知识点】
箱线图的识别；中位数；四分位数
【点评】
本题考查统计图表中箱线图的应用，核心是掌握箱线图各部分对应的统计量含义，结合图中坐标读取数据即可判断结论，是统计部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 宁德某县盛产猕猴桃，现商店出售该县出产的甲、乙两种礼盒包装的猕猴桃，每盒都是20个，两种礼盒上标注的标准质量都是1500 g(±10 g)。小明购买甲、乙两种礼盒各一盒，记录每个猕猴桃的质量并整理成统计表6-3-2和统计图6-3-3。
表6-3-2 甲种礼盒中猕猴桃质量统计表
图6-3-3
（1）甲种礼盒中猕猴桃质量的中位数是
（2）小明计算出了甲种礼盒中猕猴桃的平均质量为74.7 g，请求出乙种礼盒中猕猴桃的平均质量。
（3）若想从这两盒猕猴桃中选出更优质的一盒送给姥姥，你认为应该选哪一盒？结合统计知识给出两条理由。
表6-3-2 甲种礼盒中猕猴桃质量统计表
图6-3-3
（1）甲种礼盒中猕猴桃质量的中位数是
75
g，乙种礼盒中猕猴桃质量的众数是75
g。（2）小明计算出了甲种礼盒中猕猴桃的平均质量为74.7 g，请求出乙种礼盒中猕猴桃的平均质量。
（3）若想从这两盒猕猴桃中选出更优质的一盒送给姥姥，你认为应该选哪一盒？结合统计知识给出两条理由。
答案
6. (1) 75 75
(2) 解:$\bar{x}_乙=\frac{70×2+74×4+75×8+78×4+80×2}{20}=75.4(\mathrm{g})$。
(3) 解:选乙种礼盒送给姥姥。
理由:①两种礼盒中猕猴桃的中位数和众数相同,乙种礼盒中猕猴桃的平均质量更大；
②乙种礼盒中猕猴桃质量的方差更小,更均匀。(答案不唯一,言之有理即可)
(2) 解:$\bar{x}_乙=\frac{70×2+74×4+75×8+78×4+80×2}{20}=75.4(\mathrm{g})$。
(3) 解:选乙种礼盒送给姥姥。
理由:①两种礼盒中猕猴桃的中位数和众数相同,乙种礼盒中猕猴桃的平均质量更大；
②乙种礼盒中猕猴桃质量的方差更小,更均匀。(答案不唯一,言之有理即可)
解析
【分析】
（1）求解中位数与众数首先回忆相关定义：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数。甲礼盒共20个猕猴桃，排序后取第10、11个数据求平均即可得到中位数；观察乙礼盒的统计数据，找出出现次数最多的质量即为众数。
（2）求乙种礼盒的平均质量采用加权平均数的计算方法：将每个质量乘以对应的猕猴桃个数，求和后除以总个数20即可。
（3）选择更优质的礼盒可从平均数、方差等统计量的意义出发分析：平均质量更高说明单果总体质量更大，方差更小说明质量更均匀稳定，结合两个礼盒的统计数据对比即可得出结论。
【解析】
（1）甲种礼盒共有20个猕猴桃，将质量从小到大排列后，第10个和第11个猕猴桃的质量均为75g，因此中位数为$\frac{75+75}{2}=75$g；
乙种礼盒中，质量为75g的猕猴桃有8个，出现次数最多，因此众数为75g。
（2）根据加权平均数公式计算乙的平均质量：
$\bar{x}_乙=\frac{70×2+74×4+75×8+78×4+80×2}{20}=\frac{1508}{20}=75.4(\mathrm{g})$
（3）应该选乙种礼盒送给姥姥，理由如下：
① 两种礼盒猕猴桃的中位数和众数均为75g，乙种礼盒的平均质量75.4g大于甲种礼盒的74.7g，单果总体质量更大；
② 乙种礼盒猕猴桃质量的方差更小，说明乙的质量更均匀，稳定性更好。
（理由合理即可）
【答案】
(1) 75；75
(2) 75.4 g
(3) 选乙种礼盒，理由：①两种礼盒中猕猴桃的中位数和众数相同，乙种礼盒中猕猴桃的平均质量更大；②乙种礼盒中猕猴桃质量的方差更小，更均匀。（理由合理即可）
【知识点】
中位数与众数；加权平均数计算；统计量的应用
【点评】
本题结合生活实际考查统计相关知识，既需要熟练掌握各类常见统计量的计算方法，也需要理解不同统计量的实际意义，能够结合数据特征分析解决实际问题，体现了数学在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
（1）求解中位数与众数首先回忆相关定义：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数。甲礼盒共20个猕猴桃，排序后取第10、11个数据求平均即可得到中位数；观察乙礼盒的统计数据，找出出现次数最多的质量即为众数。
（2）求乙种礼盒的平均质量采用加权平均数的计算方法：将每个质量乘以对应的猕猴桃个数，求和后除以总个数20即可。
（3）选择更优质的礼盒可从平均数、方差等统计量的意义出发分析：平均质量更高说明单果总体质量更大，方差更小说明质量更均匀稳定，结合两个礼盒的统计数据对比即可得出结论。
【解析】
（1）甲种礼盒共有20个猕猴桃，将质量从小到大排列后，第10个和第11个猕猴桃的质量均为75g，因此中位数为$\frac{75+75}{2}=75$g；
乙种礼盒中，质量为75g的猕猴桃有8个，出现次数最多，因此众数为75g。
（2）根据加权平均数公式计算乙的平均质量：
$\bar{x}_乙=\frac{70×2+74×4+75×8+78×4+80×2}{20}=\frac{1508}{20}=75.4(\mathrm{g})$
（3）应该选乙种礼盒送给姥姥，理由如下：
① 两种礼盒猕猴桃的中位数和众数均为75g，乙种礼盒的平均质量75.4g大于甲种礼盒的74.7g，单果总体质量更大；
② 乙种礼盒猕猴桃质量的方差更小，说明乙的质量更均匀，稳定性更好。
（理由合理即可）
【答案】
(1) 75；75
(2) 75.4 g
(3) 选乙种礼盒，理由：①两种礼盒中猕猴桃的中位数和众数相同，乙种礼盒中猕猴桃的平均质量更大；②乙种礼盒中猕猴桃质量的方差更小，更均匀。（理由合理即可）
【知识点】
中位数与众数；加权平均数计算；统计量的应用
【点评】
本题结合生活实际考查统计相关知识，既需要熟练掌握各类常见统计量的计算方法，也需要理解不同统计量的实际意义，能够结合数据特征分析解决实际问题，体现了数学在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
