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(1)满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（
A.三内角之比为$1:2:3$
B.三内角之比为$3:4:5$
C.三边长之比为$3:4:5$
D.三边长分别为$1$，$\sqrt{3}$，$2$
B
）A.三内角之比为$1:2:3$
B.三内角之比为$3:4:5$
C.三边长之比为$3:4:5$
D.三边长分别为$1$，$\sqrt{3}$，$2$
答案
1(1) B
解析
【分析】
这道题考查直角三角形的判定，我们可以从两个角度判断：①根据三角形内角和为180°，计算最大内角是否为90°；②根据勾股定理的逆定理，判断两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们逐个分析四个选项即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：三内角之比为$1:2:3$，设三个内角分别为$x$、$2x$、$3x$，根据三角形内角和为$180°$，可得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，最大角为$3x=90°$，是直角三角形，不符合题意。
B选项：三内角之比为$3:4:5$，设三个内角分别为$3x$、$4x$、$5x$，根据三角形内角和为$180°$，可得$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，最大角为$5x=75°＜90°$，不是直角三角形，符合题意。
C选项：三边长之比为$3:4:5$，设三边长分别为$3k$、$4k$、$5k$（$k＞0$），计算得$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意。
D选项：三边长分别为$1$、$\sqrt{3}$、$2$，计算得$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4=2^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的判定、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于直角三角形判定的基础题型，同时考查了内角和计算和勾股定理逆定理的应用，掌握两种判定方法即可快速解题。
【难度系数】
0.85
这道题考查直角三角形的判定，我们可以从两个角度判断：①根据三角形内角和为180°，计算最大内角是否为90°；②根据勾股定理的逆定理，判断两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们逐个分析四个选项即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：三内角之比为$1:2:3$，设三个内角分别为$x$、$2x$、$3x$，根据三角形内角和为$180°$，可得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，最大角为$3x=90°$，是直角三角形，不符合题意。
B选项：三内角之比为$3:4:5$，设三个内角分别为$3x$、$4x$、$5x$，根据三角形内角和为$180°$，可得$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，最大角为$5x=75°＜90°$，不是直角三角形，符合题意。
C选项：三边长之比为$3:4:5$，设三边长分别为$3k$、$4k$、$5k$（$k＞0$），计算得$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意。
D选项：三边长分别为$1$、$\sqrt{3}$、$2$，计算得$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4=2^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的判定、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于直角三角形判定的基础题型，同时考查了内角和计算和勾股定理逆定理的应用，掌握两种判定方法即可快速解题。
【难度系数】
0.85
(2)在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=50°$，则$∠ B$的度数为（
A.$50°$
B.$65°$
C.$80°$
D.$130°$
B
）A.$50°$
B.$65°$
C.$80°$
D.$130°$
答案
1(2) B
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC，可判定△ABC为等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，因此∠B=∠C；再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠A的度数，即可通过计算求出底角∠B的度数。解题时首先要明确等腰三角形中相等的边对应的角是底角，确定顶角和底角的关系再代入内角和公式计算即可。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，AB=AC
∴ △ABC是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠B=∠C
∵ 三角形内角和为180°，且∠A=50°
∴ $∠ B = \frac{180° - ∠ A}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和的应用，掌握等腰三角形边角的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
首先根据已知条件AB=AC，可判定△ABC为等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，因此∠B=∠C；再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠A的度数，即可通过计算求出底角∠B的度数。解题时首先要明确等腰三角形中相等的边对应的角是底角，确定顶角和底角的关系再代入内角和公式计算即可。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，AB=AC
∴ △ABC是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠B=∠C
∵ 三角形内角和为180°，且∠A=50°
∴ $∠ B = \frac{180° - ∠ A}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和的应用，掌握等腰三角形边角的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
(3)如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，D是BC的中点，$∠ BAD=35°$，则$∠ C$的度数为（
A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
C
）A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
答案
1(3) C
解析
【分析】
首先观察题目条件，AB=AC说明△ABC是等腰三角形，且D是BC中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是顶角∠BAC的角平分线。解题时可以先求出顶角∠BAC的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的规律，就能计算出底角∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，两底角相等即∠B=∠C。
∵D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=2×35°=70°。
∵三角形内角和为180°，
∴$∠ C=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-70°)÷2=55°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一；三角形内角和定理；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握等腰三角形的相关性质，结合内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察题目条件，AB=AC说明△ABC是等腰三角形，且D是BC中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是顶角∠BAC的角平分线。解题时可以先求出顶角∠BAC的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的规律，就能计算出底角∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，两底角相等即∠B=∠C。
∵D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=2×35°=70°。
∵三角形内角和为180°，
∴$∠ C=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-70°)÷2=55°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一；三角形内角和定理；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握等腰三角形的相关性质，结合内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(4)如图，数轴上点P表示的数为(
第1(4)题
A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10}-1$
C.$\sqrt{10}+1$
D.2.1
B
)第1(4)题
A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10}-1$
C.$\sqrt{10}+1$
D.2.1
答案
1(4) B
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：图中长方形的宽为1，水平方向长为3个单位长度，我们要先利用勾股定理求出长方形对角线的长度；再明确点P是以长方形右下角的点为圆心、对角线长为半径画弧与数轴正半轴的交点，结合长方形右下角在数轴上的坐标，即可求出点P表示的数。
【解析】
1. 计算长方形对角线长度：
由图可知长方形的长为3，宽为1，根据勾股定理，对角线的长度为$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
2. 确定长方形右下角的数轴坐标：
观察数轴可得，长方形右下角对应的数是2。
3. 计算点P表示的数：
因为圆的半径等于对角线长$\sqrt{10}$，所以点P到右下角点的距离为$\sqrt{10}$，因此点P表示的数为$2 + (\sqrt{10} - 3) = \sqrt{10}-1$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，数轴的应用，实数与数轴的对应
【点评】
本题考查利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法，解题的核心是准确求出对角线的长度，再结合数轴上点的位置关系计算对应数值，是对几何与代数结合的基础考查。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：图中长方形的宽为1，水平方向长为3个单位长度，我们要先利用勾股定理求出长方形对角线的长度；再明确点P是以长方形右下角的点为圆心、对角线长为半径画弧与数轴正半轴的交点，结合长方形右下角在数轴上的坐标，即可求出点P表示的数。
【解析】
1. 计算长方形对角线长度：
由图可知长方形的长为3，宽为1，根据勾股定理，对角线的长度为$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
2. 确定长方形右下角的数轴坐标：
观察数轴可得，长方形右下角对应的数是2。
3. 计算点P表示的数：
因为圆的半径等于对角线长$\sqrt{10}$，所以点P到右下角点的距离为$\sqrt{10}$，因此点P表示的数为$2 + (\sqrt{10} - 3) = \sqrt{10}-1$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，数轴的应用，实数与数轴的对应
【点评】
本题考查利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法，解题的核心是准确求出对角线的长度，再结合数轴上点的位置关系计算对应数值，是对几何与代数结合的基础考查。
【难度系数】
0.7
(5)如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$的平分线与边BC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP。若$∠ ABP=32°$，$∠ ACP=14°$，则$∠ A$的度数为（
A.$46°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$82°$
C
）A.$46°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$82°$
答案
1(5) C
解析
【分析】
首先根据角平分线的性质，由BP平分∠ABC可得∠CBP与∠ABP相等；再根据线段垂直平分线的性质，点P在BC的垂直平分线上，故PB=PC，由等边对等角可推出∠PBC=∠PCB；最后结合三角形内角和为180°，先求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数，即可计算得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵BP平分∠ABC，∠ABP=32°
∴∠CBP=∠ABP=32°，∠ABC=2∠ABP=64°
∵点P在BC的垂直平分线上
∴PB=PC
∴∠PCB=∠CBP=32°
∴∠ACB=∠PCB + ∠ACP = 32°+14°=46°
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-64°-46°=70°
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将角平分线、垂直平分线的性质与三角形内角和定理结合考查，解题的关键是通过性质推导得到相等的角，再代入内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.7
首先根据角平分线的性质，由BP平分∠ABC可得∠CBP与∠ABP相等；再根据线段垂直平分线的性质，点P在BC的垂直平分线上，故PB=PC，由等边对等角可推出∠PBC=∠PCB；最后结合三角形内角和为180°，先求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数，即可计算得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵BP平分∠ABC，∠ABP=32°
∴∠CBP=∠ABP=32°，∠ABC=2∠ABP=64°
∵点P在BC的垂直平分线上
∴PB=PC
∴∠PCB=∠CBP=32°
∴∠ACB=∠PCB + ∠ACP = 32°+14°=46°
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-64°-46°=70°
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将角平分线、垂直平分线的性质与三角形内角和定理结合考查，解题的关键是通过性质推导得到相等的角，再代入内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.7
(6)已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为（
A.27
B.21或27
C.25
D.21
A
）A.27
B.21或27
C.25
D.21
答案
1(6) A
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形的性质和三角形三边关系求解，解题思路如下：首先等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出两边长为5和11，未明确腰和底边，因此需要分两种情况讨论：①腰长为5、底边长为11；②腰长为11、底边长为5。随后利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断两种情况是否能构成三角形，最后计算符合条件的三角形的周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当腰长为5，底边长为11时，三角形三边长为5、5、11。
因为 $5+5=10＜11$，不满足三角形三边关系，所以该情况无法构成三角形，舍去。
2. 当腰长为11，底边长为5时，三角形三边长为11、11、5。
验证三边关系：$11+5=16＞11$，$11+11=22＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为 $11+11+5=27$。
综上，该等腰三角形的周长为27。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形相关计算的常见易错题，解题时需注意：若题目没有明确说明等腰三角形的腰和底边，一定要先分类讨论，再用三角形三边关系验证是否能构成三角形，避免未验证直接计算两种情况的周长导致错选。
【难度系数】
0.6
本题需要结合等腰三角形的性质和三角形三边关系求解，解题思路如下：首先等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出两边长为5和11，未明确腰和底边，因此需要分两种情况讨论：①腰长为5、底边长为11；②腰长为11、底边长为5。随后利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断两种情况是否能构成三角形，最后计算符合条件的三角形的周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当腰长为5，底边长为11时，三角形三边长为5、5、11。
因为 $5+5=10＜11$，不满足三角形三边关系，所以该情况无法构成三角形，舍去。
2. 当腰长为11，底边长为5时，三角形三边长为11、11、5。
验证三边关系：$11+5=16＞11$，$11+11=22＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为 $11+11+5=27$。
综上，该等腰三角形的周长为27。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形相关计算的常见易错题，解题时需注意：若题目没有明确说明等腰三角形的腰和底边，一定要先分类讨论，再用三角形三边关系验证是否能构成三角形，避免未验证直接计算两种情况的周长导致错选。
【难度系数】
0.6
(7)若三角形的三边长分别取下列各组数，则不是直角三角形的一组是（
A.3，4，5
B.6，8，10
C.5，12，13
D.5，6，8
D
）A.3，4，5
B.6，8，10
C.5，12，13
D.5，6，8
答案
1(7) D
解析
【分析】
本题考查直角三角形的判定，解题核心是运用勾股定理的逆定理：若一个三角形的两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时依次对每个选项的三边进行验证即可：先找出每组数中的最大边，再计算两条较小边的平方和，将其与最大边的平方比较，若相等则是直角三角形，反之则不是。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A选项：三边长为3，4，5，最大边是5。
计算得：$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，即$3^2+4^2=5^2$，能构成直角三角形。
B选项：三边长为6，8，10，最大边是10。
计算得：$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，即$6^2+8^2=10^2$，能构成直角三角形。
C选项：三边长为5，12，13，最大边是13。
计算得：$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，即$5^2+12^2=13^2$，能构成直角三角形。
D选项：三边长为5，6，8，最大边是8。
计算得：$5^2+6^2=25+36=61$，$8^2=64$，$61≠64$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握勾股定理逆定理的使用方法，注意验证时要以最长边作为斜边的对应边进行计算，避免因边的对应错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的判定，解题核心是运用勾股定理的逆定理：若一个三角形的两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时依次对每个选项的三边进行验证即可：先找出每组数中的最大边，再计算两条较小边的平方和，将其与最大边的平方比较，若相等则是直角三角形，反之则不是。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A选项：三边长为3，4，5，最大边是5。
计算得：$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，即$3^2+4^2=5^2$，能构成直角三角形。
B选项：三边长为6，8，10，最大边是10。
计算得：$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，即$6^2+8^2=10^2$，能构成直角三角形。
C选项：三边长为5，12，13，最大边是13。
计算得：$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，即$5^2+12^2=13^2$，能构成直角三角形。
D选项：三边长为5，6，8，最大边是8。
计算得：$5^2+6^2=25+36=61$，$8^2=64$，$61≠64$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握勾股定理逆定理的使用方法，注意验证时要以最长边作为斜边的对应边进行计算，避免因边的对应错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
(8)如图，$△ ABD$和$△ ACE$都是等边三角形. 下列结论中，正确的个数为(
①$BE=CD$；
②$FA$平分$∠ DFE$；
③$∠ BFC=120°$；
④$AF+BF=DF$.
A.2
B.3
C.4
D.1
C
)①$BE=CD$；
②$FA$平分$∠ DFE$；
③$∠ BFC=120°$；
④$AF+BF=DF$.
A.2
B.3
C.4
D.1
答案
1(8) C
解析
【分析】
本题属于共顶点等边三角形的“手拉手”模型问题，解题思路如下：1. 先利用等边三角形的边、角相等的性质，推导得到△DAC和△BAE全等，验证结论①；2. 由全等得到对应角相等，结合三角形内角和推导角度，验证结论③；3. 通过全等三角形面积相等，推导点A到CD、BE的距离相等，结合角平分线的判定验证结论②；4. 用截长补短法构造全等和等边三角形，验证结论④即可。
【解析】
已知△ABD和△ACE都是等边三角形，因此$AD=AB$，$AC=AE$，$∠ DAB=∠ CAE=60°$。
1. 验证①：
$∠ DAB+∠ BAC=∠ CAE+∠ BAC$，即$∠ DAC=∠ BAE$。
在$△ DAC$和$△ BAE$中：
$\begin{cases}AD=AB \\∠ DAC=∠ BAE \\AC=AE\end{cases}$
$\therefore△ DAC≌△ BAE(\mathrm{SAS})$，$\therefore CD=BE$，①正确。
2. 验证③：
由$△ DAC≌△ BAE$得$∠ ADC=∠ ABE$，设AB与CD交于点G。
在$△ DGA$和$△ BGF$中，$∠ DGA=∠ BGF$（对顶角相等），因此$∠ BFG=∠ DAG=60°$，
$\therefore∠ BFC=180°-∠ BFG=120°$，③正确。
3. 验证②：
过点A作$AM⊥ CD$于M，$AN⊥ BE$于N。
$\because△ DAC≌△ BAE$，$\therefore S_{△ DAC}=S_{△ BAE}$，且$CD=BE$，
$\therefore\frac{1}{2}× CD× AM=\frac{1}{2}× BE× AN$，得$AM=AN$。
根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知点A在$∠ DFE$的平分线上，即$FA$平分$∠ DFE$，②正确。
4. 验证④：
在DF上截取$DH=BF$，连接AH。
在$△ ADH$和$△ ABF$中：
$\begin{cases}AD=AB \\∠ ADH=∠ ABF \\DH=BF\end{cases}$
$\therefore△ ADH≌△ ABF(\mathrm{SAS})$，$\therefore AH=AF$，$∠ DAH=∠ BAF$。
$\because∠ DAH+∠ HAB=∠ DAB=60°$，$\therefore∠ BAF+∠ HAB=∠ HAF=60°$，
$\therefore△ AHF$是等边三角形，$\therefore HF=AF$。
$\therefore DF=DH+HF=BF+AF$，即$AF+BF=DF$，④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题是典型的“手拉手”几何模型应用题，综合性较强，需要熟练运用全等、等边三角形、角平分线相关性质推导结论，掌握常见几何模型可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
本题属于共顶点等边三角形的“手拉手”模型问题，解题思路如下：1. 先利用等边三角形的边、角相等的性质，推导得到△DAC和△BAE全等，验证结论①；2. 由全等得到对应角相等，结合三角形内角和推导角度，验证结论③；3. 通过全等三角形面积相等，推导点A到CD、BE的距离相等，结合角平分线的判定验证结论②；4. 用截长补短法构造全等和等边三角形，验证结论④即可。
【解析】
已知△ABD和△ACE都是等边三角形，因此$AD=AB$，$AC=AE$，$∠ DAB=∠ CAE=60°$。
1. 验证①：
$∠ DAB+∠ BAC=∠ CAE+∠ BAC$，即$∠ DAC=∠ BAE$。
在$△ DAC$和$△ BAE$中：
$\begin{cases}AD=AB \\∠ DAC=∠ BAE \\AC=AE\end{cases}$
$\therefore△ DAC≌△ BAE(\mathrm{SAS})$，$\therefore CD=BE$，①正确。
2. 验证③：
由$△ DAC≌△ BAE$得$∠ ADC=∠ ABE$，设AB与CD交于点G。
在$△ DGA$和$△ BGF$中，$∠ DGA=∠ BGF$（对顶角相等），因此$∠ BFG=∠ DAG=60°$，
$\therefore∠ BFC=180°-∠ BFG=120°$，③正确。
3. 验证②：
过点A作$AM⊥ CD$于M，$AN⊥ BE$于N。
$\because△ DAC≌△ BAE$，$\therefore S_{△ DAC}=S_{△ BAE}$，且$CD=BE$，
$\therefore\frac{1}{2}× CD× AM=\frac{1}{2}× BE× AN$，得$AM=AN$。
根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知点A在$∠ DFE$的平分线上，即$FA$平分$∠ DFE$，②正确。
4. 验证④：
在DF上截取$DH=BF$，连接AH。
在$△ ADH$和$△ ABF$中：
$\begin{cases}AD=AB \\∠ ADH=∠ ABF \\DH=BF\end{cases}$
$\therefore△ ADH≌△ ABF(\mathrm{SAS})$，$\therefore AH=AF$，$∠ DAH=∠ BAF$。
$\because∠ DAH+∠ HAB=∠ DAB=60°$，$\therefore∠ BAF+∠ HAB=∠ HAF=60°$，
$\therefore△ AHF$是等边三角形，$\therefore HF=AF$。
$\therefore DF=DH+HF=BF+AF$，即$AF+BF=DF$，④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题是典型的“手拉手”几何模型应用题，综合性较强，需要熟练运用全等、等边三角形、角平分线相关性质推导结论，掌握常见几何模型可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
