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3. 先阅读下面的文字，再回答问题.
题目：在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$. 若 $∠ A≠45°$，则 $AC≠ BC$.
证明：假设 $AC=BC$. 因为 $∠ C=90°$，$∠ A≠45°$，所以 $∠ A≠∠ B$.
所以 $AC≠ BC$.
这与假设相矛盾，故 $AC≠ BC$.
上面的证明过程是否正确？若正确，请指出其证明方法；若不正确，请改正.
题目：在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$. 若 $∠ A≠45°$，则 $AC≠ BC$.
证明：假设 $AC=BC$. 因为 $∠ C=90°$，$∠ A≠45°$，所以 $∠ A≠∠ B$.
所以 $AC≠ BC$.
这与假设相矛盾，故 $AC≠ BC$.
上面的证明过程是否正确？若正确，请指出其证明方法；若不正确，请改正.
答案
3. 解：不正确.
纠正：假设 $AC=BC$，则$∠A=∠B$.
又$\because ∠C=90°$,
$\therefore ∠A=∠B=45°$.
这与$∠A≠45°$相矛盾.
$\therefore AC=BC$ 的假设是不成立的.
因此，$AC≠BC$.
纠正：假设 $AC=BC$，则$∠A=∠B$.
又$\because ∠C=90°$,
$\therefore ∠A=∠B=45°$.
这与$∠A≠45°$相矛盾.
$\therefore AC=BC$ 的假设是不成立的.
因此，$AC≠BC$.
解析
【分析】
这道题考查反证法的正确应用，解题时首先要明确反证法的标准步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知条件、定理、公理等矛盾的结论；③由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确。原证明存在逻辑漏洞：在假设AC=BC后，没有从假设出发推导，反而直接用已知∠A≠45°推出AC≠BC，相当于把要证明的结论当成了推导依据，属于循环论证，因此证明错误。改正时按照反证法的规范步骤，从假设AC=BC出发，结合等腰三角形等边对等角、直角三角形两锐角互余的性质，推出和已知∠A≠45°矛盾的结果，即可完成正确证明。
【解析】
首先判断原证明不正确，原证明未从假设出发推导结论，直接用和待证结论等价的逻辑推导，属于循环论证，逻辑不成立。
正确改正过程：
假设 $AC=BC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠A=∠B$。
又$\because ∠C=90°$，直角三角形两锐角互余，
$\therefore ∠A=∠B=\frac{90°}{2}=45°$。
这与已知条件$∠A≠45°$相矛盾，
$\therefore AC=BC$ 的假设是不成立的，
因此$AC≠BC$。
【答案】
不正确.
纠正：假设 $AC=BC$，则$∠A=∠B$.
又$\because ∠C=90°$,
$\therefore ∠A=∠B=45°$.
这与$∠A≠45°$相矛盾.
$\therefore AC=BC$ 的假设是不成立的.
因此，$AC≠BC$.
【知识点】
反证法，等边对等角，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题重点考查反证法的规范使用，做题时要注意反证法的核心是从反设出发推导矛盾，不能将待证结论作为推导依据，避免出现循环论证的逻辑错误，熟练掌握反证法的推导流程是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
这道题考查反证法的正确应用，解题时首先要明确反证法的标准步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知条件、定理、公理等矛盾的结论；③由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确。原证明存在逻辑漏洞：在假设AC=BC后，没有从假设出发推导，反而直接用已知∠A≠45°推出AC≠BC，相当于把要证明的结论当成了推导依据，属于循环论证，因此证明错误。改正时按照反证法的规范步骤，从假设AC=BC出发，结合等腰三角形等边对等角、直角三角形两锐角互余的性质，推出和已知∠A≠45°矛盾的结果，即可完成正确证明。
【解析】
首先判断原证明不正确，原证明未从假设出发推导结论，直接用和待证结论等价的逻辑推导，属于循环论证，逻辑不成立。
正确改正过程：
假设 $AC=BC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠A=∠B$。
又$\because ∠C=90°$，直角三角形两锐角互余，
$\therefore ∠A=∠B=\frac{90°}{2}=45°$。
这与已知条件$∠A≠45°$相矛盾，
$\therefore AC=BC$ 的假设是不成立的，
因此$AC≠BC$。
【答案】
不正确.
纠正：假设 $AC=BC$，则$∠A=∠B$.
又$\because ∠C=90°$,
$\therefore ∠A=∠B=45°$.
这与$∠A≠45°$相矛盾.
$\therefore AC=BC$ 的假设是不成立的.
因此，$AC≠BC$.
【知识点】
反证法，等边对等角，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题重点考查反证法的规范使用，做题时要注意反证法的核心是从反设出发推导矛盾，不能将待证结论作为推导依据，避免出现循环论证的逻辑错误，熟练掌握反证法的推导流程是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个数是偶数.
答案
4. 证明：假设这两个整数都是奇数，且设其中一个奇数为 $2n+1$($n$ 是整数)，另一个奇数为 $2p+1$($p$ 是整数)，则$(2n+1)(2p+1)=2(2np+n+p)+1$.
$\therefore$ 无论 $n$，$p$ 取何整数，$2(2np+n+p)+1$都是奇数.
这与已知中这两个整数的积是偶数相矛盾.
$\therefore$ 假设是不成立的.
因此，这两个整数中至少有一个数是偶数.
$\therefore$ 无论 $n$，$p$ 取何整数，$2(2np+n+p)+1$都是奇数.
这与已知中这两个整数的积是偶数相矛盾.
$\therefore$ 假设是不成立的.
因此，这两个整数中至少有一个数是偶数.
解析
【分析】
本题使用反证法证明，解题思路遵循反证法的三步核心流程：①反设：先否定原命题的结论，原结论为“两个整数中至少有一个是偶数”，其否定为“两个整数都为奇数”；②归谬：将两个奇数用代数形式表示，通过整式乘法计算两者的乘积，推导乘积的奇偶性；③存真：发现推导结果与已知“两个整数的积是偶数”矛盾，即可说明反设不成立，原命题结论正确。
【解析】
证明：假设这两个整数都是奇数，且设其中一个奇数为$2n+1$（$n$是整数），另一个奇数为$2p+1$（$p$是整数），则
$(2n+1)(2p+1)=2(2np+n+p)+1$
$\because$ 无论$n$，$p$取何整数，$2(2np+n+p)$都是偶数，偶数加1为奇数
$\therefore$ $2(2np+n+p)+1$都是奇数，即两个奇数的乘积为奇数
这与已知中这两个整数的积是偶数相矛盾
$\therefore$ 假设是不成立的
因此，这两个整数中至少有一个数是偶数。
【答案】
证明：假设这两个整数都是奇数，且设其中一个奇数为 $2n+1$($n$ 是整数)，另一个奇数为 $2p+1$($p$ 是整数)，则$(2n+1)(2p+1)=2(2np+n+p)+1$.
$\therefore$ 无论 $n$，$p$ 取何整数，$2(2np+n+p)+1$都是奇数.
这与已知中这两个整数的积是偶数相矛盾.
$\therefore$ 假设是不成立的.
因此，这两个整数中至少有一个数是偶数.
【知识点】
反证法；奇偶性判定；整式乘法
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题的关键是正确对原结论进行反设，再通过代数运算推导得到与已知条件矛盾的结论，熟练掌握反证法的基本步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题使用反证法证明，解题思路遵循反证法的三步核心流程：①反设：先否定原命题的结论，原结论为“两个整数中至少有一个是偶数”，其否定为“两个整数都为奇数”；②归谬：将两个奇数用代数形式表示，通过整式乘法计算两者的乘积，推导乘积的奇偶性；③存真：发现推导结果与已知“两个整数的积是偶数”矛盾，即可说明反设不成立，原命题结论正确。
【解析】
证明：假设这两个整数都是奇数，且设其中一个奇数为$2n+1$（$n$是整数），另一个奇数为$2p+1$（$p$是整数），则
$(2n+1)(2p+1)=2(2np+n+p)+1$
$\because$ 无论$n$，$p$取何整数，$2(2np+n+p)$都是偶数，偶数加1为奇数
$\therefore$ $2(2np+n+p)+1$都是奇数，即两个奇数的乘积为奇数
这与已知中这两个整数的积是偶数相矛盾
$\therefore$ 假设是不成立的
因此，这两个整数中至少有一个数是偶数。
【答案】
证明：假设这两个整数都是奇数，且设其中一个奇数为 $2n+1$($n$ 是整数)，另一个奇数为 $2p+1$($p$ 是整数)，则$(2n+1)(2p+1)=2(2np+n+p)+1$.
$\therefore$ 无论 $n$，$p$ 取何整数，$2(2np+n+p)+1$都是奇数.
这与已知中这两个整数的积是偶数相矛盾.
$\therefore$ 假设是不成立的.
因此，这两个整数中至少有一个数是偶数.
【知识点】
反证法；奇偶性判定；整式乘法
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题的关键是正确对原结论进行反设，再通过代数运算推导得到与已知条件矛盾的结论，熟练掌握反证法的基本步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 甲、乙、丙、丁四人在院里玩球.
忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的花
盆. 李大爷跑出来查看，发现花盆被打碎
了. 李大爷问：“是谁闯的祸?”
甲说：“是乙不小心闯的祸.”
乙说：“是丙闯的祸.”
丙说：“乙说的不是实话.”
丁说：“反正不是我闯的祸.”
如果这四人中只有一个人说了实话，请
你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸.
忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的花
盆. 李大爷跑出来查看，发现花盆被打碎
了. 李大爷问：“是谁闯的祸?”
甲说：“是乙不小心闯的祸.”
乙说：“是丙闯的祸.”
丙说：“乙说的不是实话.”
丁说：“反正不是我闯的祸.”
如果这四人中只有一个人说了实话，请
你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸.
答案
5. 解：分三种情况进行讨论.
①若甲说的是实话，则乙说的不是实话，丙、丁说的是实话. 这种情况下，三个人说了实话，显然与已知条件不符.
②若甲说的不是实话，乙说的是实话，则丙说的不是实话，丁说的是实话. 这种情况下，两个人说了实话，显然与已知条件不符.
③若甲、乙说的都不是实话，则丙说的是实话，丁说的不是实话. 这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件.
由于丁说的不是实话，因此闯祸的人一定是丁.
①若甲说的是实话，则乙说的不是实话，丙、丁说的是实话. 这种情况下，三个人说了实话，显然与已知条件不符.
②若甲说的不是实话，乙说的是实话，则丙说的不是实话，丁说的是实话. 这种情况下，两个人说了实话，显然与已知条件不符.
③若甲、乙说的都不是实话，则丙说的是实话，丁说的不是实话. 这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件.
由于丁说的不是实话，因此闯祸的人一定是丁.
解析
【分析】
题目明确四人中只有一人说了实话，可采用假设法（反证法思路）分情况验证：先假设某个人说的是真话，再以此为依据判断其余三人说话的真假，若推导后出现多人说真话的情况，就与题干条件矛盾，说明该假设不成立，逐一排除不符合要求的情况后，就能推出闯祸的人。
【解析】
我们分三种情况讨论：
①若甲说的是实话，即闯祸的是乙，则乙说的是假话，丙说“乙说的不是实话”就是真话，丁说“反正不是我闯的祸”也是真话，此时有三人说实话，与“只有一人说实话”的条件矛盾，该情况不成立。
②若甲说的是假话、乙说的是实话，即闯祸的是丙，则丙说的是假话，丁说“反正不是我闯的祸”也是真话，此时有两人说实话，与“只有一人说实话”的条件矛盾，该情况不成立。
③若甲、乙说的都是假话，则乙说“是丙闯的祸”为假，因此丙说“乙说的不是实话”就是真话，要满足仅一人说实话的条件，丁说的一定是假话，丁说“反正不是我闯的祸”为假，说明闯祸的就是丁，该情况符合所有条件。
【答案】
丁闯的祸
【知识点】
1.反证法 2.逻辑推理
【点评】
这是逻辑推理类的典型题型，通过分情况假设、逐一排除矛盾项的方法即可求解，能有效锻炼逻辑思维能力和严谨的推导习惯。
【难度系数】
0.7
题目明确四人中只有一人说了实话，可采用假设法（反证法思路）分情况验证：先假设某个人说的是真话，再以此为依据判断其余三人说话的真假，若推导后出现多人说真话的情况，就与题干条件矛盾，说明该假设不成立，逐一排除不符合要求的情况后，就能推出闯祸的人。
【解析】
我们分三种情况讨论：
①若甲说的是实话，即闯祸的是乙，则乙说的是假话，丙说“乙说的不是实话”就是真话，丁说“反正不是我闯的祸”也是真话，此时有三人说实话，与“只有一人说实话”的条件矛盾，该情况不成立。
②若甲说的是假话、乙说的是实话，即闯祸的是丙，则丙说的是假话，丁说“反正不是我闯的祸”也是真话，此时有两人说实话，与“只有一人说实话”的条件矛盾，该情况不成立。
③若甲、乙说的都是假话，则乙说“是丙闯的祸”为假，因此丙说“乙说的不是实话”就是真话，要满足仅一人说实话的条件，丁说的一定是假话，丁说“反正不是我闯的祸”为假，说明闯祸的就是丁，该情况符合所有条件。
【答案】
丁闯的祸
【知识点】
1.反证法 2.逻辑推理
【点评】
这是逻辑推理类的典型题型，通过分情况假设、逐一排除矛盾项的方法即可求解，能有效锻炼逻辑思维能力和严谨的推导习惯。
【难度系数】
0.7
