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1.填一填。
（1）一个圆的半径由3 cm增加到5 cm，面积增加了()cm²。
（2）用一根铁丝围成一个正方形，边长正好是6.28 m。如果围成一个圆，这个圆的半径是()m。
（3）在一张长9 cm，宽4 cm的长方形纸上画一个最大的圆，它的半径是()cm。如果在上面画一个最大的半圆，它的半径是()cm。
（1）一个圆的半径由3 cm增加到5 cm，面积增加了()cm²。
（2）用一根铁丝围成一个正方形，边长正好是6.28 m。如果围成一个圆，这个圆的半径是()m。
（3）在一张长9 cm，宽4 cm的长方形纸上画一个最大的圆，它的半径是()cm。如果在上面画一个最大的半圆，它的半径是()cm。
答案
(1)
$3.14×5^2 - 3.14×3^2 = 3.14×(25-9) = 50.24$
答案：$\boldsymbol{50.24}$
(2)
铁丝总长：$6.28×4 = 25.12\ \mathrm{m}$
圆的半径：$25.12÷3.14÷2 = 4\ \mathrm{m}$
答案：$\boldsymbol{4}$
(3)
最大圆的直径等于长方形的宽，半径：$4÷2 = 2\ \mathrm{cm}$
最大半圆的半径不能超过长方形的宽，且直径不超过长方形的长，半径为$4\ \mathrm{cm}$
答案：$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$
$3.14×5^2 - 3.14×3^2 = 3.14×(25-9) = 50.24$
答案：$\boldsymbol{50.24}$
(2)
铁丝总长：$6.28×4 = 25.12\ \mathrm{m}$
圆的半径：$25.12÷3.14÷2 = 4\ \mathrm{m}$
答案：$\boldsymbol{4}$
(3)
最大圆的直径等于长方形的宽，半径：$4÷2 = 2\ \mathrm{cm}$
最大半圆的半径不能超过长方形的宽，且直径不超过长方形的长，半径为$4\ \mathrm{cm}$
答案：$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
（1）要求半径增加后圆的面积增加量，思路是用半径为5cm的大圆面积减去半径为3cm的原来圆的面积，用到圆的面积公式$S=π r^2$计算即可。
（2）铁丝长度是固定不变的，所以正方形的周长等于后续围成的圆的周长，先算出正方形周长即圆的周长，再根据圆的周长公式$C=2π r$反推求出半径。
（3）长方形内画最大的圆，圆的直径最大只能等于长方形的宽，否则圆会超出长方形边界；画最大的半圆时，既要保证半圆的直径不超过长方形的长，还要保证半圆的半径不超过长方形的宽，结合两个限制条件判断最大半径即可。
【解析】
（1）取$π=3.14$，根据圆的面积公式计算：
增加的面积=大圆面积-原来圆的面积
$=3.14×5^2 - 3.14×3^2$
$=3.14×(25-9)$
$=3.14×16$
$=50.24(\mathrm{cm}^2)$
（2）先算铁丝总长度即正方形周长：
$6.28×4=25.12(\mathrm{m})$
再根据圆的周长公式求半径：
$r=C÷π÷2=25.12÷3.14÷2=4(\mathrm{m})$
（3）①画最大的圆：直径等于长方形的宽4cm，半径为$4÷2=2(\mathrm{cm})$
②画最大的半圆：若半径取4cm，直径为8cm，小于长方形的长9cm，且半径等于长方形的宽，不会超出边界，所以最大半圆半径为4cm。
【答案】
（1）$\boldsymbol{50.24}$；（2）$\boldsymbol{4}$；（3）$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$
【知识点】
圆的面积计算，圆的周长计算，图形裁剪最值规律
【点评】
本题属于圆相关的基础应用类题型，解题核心是熟练掌握圆的周长、面积公式，同时要找准题目中的不变量和图形边界的限制条件，避免忽略限制条件导致出错。
【难度系数】
0.7
（1）要求半径增加后圆的面积增加量，思路是用半径为5cm的大圆面积减去半径为3cm的原来圆的面积，用到圆的面积公式$S=π r^2$计算即可。
（2）铁丝长度是固定不变的，所以正方形的周长等于后续围成的圆的周长，先算出正方形周长即圆的周长，再根据圆的周长公式$C=2π r$反推求出半径。
（3）长方形内画最大的圆，圆的直径最大只能等于长方形的宽，否则圆会超出长方形边界；画最大的半圆时，既要保证半圆的直径不超过长方形的长，还要保证半圆的半径不超过长方形的宽，结合两个限制条件判断最大半径即可。
【解析】
（1）取$π=3.14$，根据圆的面积公式计算：
增加的面积=大圆面积-原来圆的面积
$=3.14×5^2 - 3.14×3^2$
$=3.14×(25-9)$
$=3.14×16$
$=50.24(\mathrm{cm}^2)$
（2）先算铁丝总长度即正方形周长：
$6.28×4=25.12(\mathrm{m})$
再根据圆的周长公式求半径：
$r=C÷π÷2=25.12÷3.14÷2=4(\mathrm{m})$
（3）①画最大的圆：直径等于长方形的宽4cm，半径为$4÷2=2(\mathrm{cm})$
②画最大的半圆：若半径取4cm，直径为8cm，小于长方形的长9cm，且半径等于长方形的宽，不会超出边界，所以最大半圆半径为4cm。
【答案】
（1）$\boldsymbol{50.24}$；（2）$\boldsymbol{4}$；（3）$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$
【知识点】
圆的面积计算，圆的周长计算，图形裁剪最值规律
【点评】
本题属于圆相关的基础应用类题型，解题核心是熟练掌握圆的周长、面积公式，同时要找准题目中的不变量和图形边界的限制条件，避免忽略限制条件导致出错。
【难度系数】
0.7
2.判断题。（对的画“√”，错的画“×”）
（1）半圆的面积就是同圆的面积除以2。（）
（2）圆周长的一半与半圆的周长相等。（）
（3）直径是半径的2倍，半径是直径的一半。（）
（4）两端都在圆上的线段叫作圆的直径。（）
（1）半圆的面积就是同圆的面积除以2。（）
（2）圆周长的一半与半圆的周长相等。（）
（3）直径是半径的2倍，半径是直径的一半。（）
（4）两端都在圆上的线段叫作圆的直径。（）
答案
(1) √
(2) ×
(3) ×
(4) ×
(2) ×
(3) ×
(4) ×
解析
【分析】
这是一组关于圆的基础概念的判断题，解题时要逐一对照圆的相关定义、公式，重点关注概念表述是否完整、有没有遗漏前提条件，还要注意区分易混淆的概念：
1. 先回忆半圆面积的推导：半圆是圆平均分成2份的其中1份，据此判断面积关系；
2. 区分“圆周长的一半”和“半圆的周长”两个概念，明确两者的组成部分；
3. 回忆直径和半径的倍数关系的适用前提；
4. 对照直径的完整定义，判断表述是否缺少关键条件。
【解析】
（1）半圆是将同圆平均分成2份得到的图形，它的面积就是对应圆的面积除以2，表述正确。
（2）圆周长的一半仅指圆的弧长的一半，而半圆的周长是圆周长的一半加1条直径的长度，二者不相等，表述错误。
（3）“直径是半径的2倍，半径是直径的一半”的前提是在同圆或等圆中，题干没有说明这个前提，表述错误。
（4）直径的定义是：经过圆心，且两端都在圆上的线段，题干缺少“经过圆心”的条件，表述错误。
【答案】
（1）√；（2）×；（3）×；（4）×
【知识点】
圆的相关概念；半圆的周长与面积；直径与半径的关系
【点评】
本题属于圆的基础概念辨析题，易错点在于容易遗漏概念的前提条件、混淆相近概念，学习时要精准记忆概念的完整表述，遇到判断题时要逐一核对表述是否符合定义的全部要求。
【难度系数】
0.6
这是一组关于圆的基础概念的判断题，解题时要逐一对照圆的相关定义、公式，重点关注概念表述是否完整、有没有遗漏前提条件，还要注意区分易混淆的概念：
1. 先回忆半圆面积的推导：半圆是圆平均分成2份的其中1份，据此判断面积关系；
2. 区分“圆周长的一半”和“半圆的周长”两个概念，明确两者的组成部分；
3. 回忆直径和半径的倍数关系的适用前提；
4. 对照直径的完整定义，判断表述是否缺少关键条件。
【解析】
（1）半圆是将同圆平均分成2份得到的图形，它的面积就是对应圆的面积除以2，表述正确。
（2）圆周长的一半仅指圆的弧长的一半，而半圆的周长是圆周长的一半加1条直径的长度，二者不相等，表述错误。
（3）“直径是半径的2倍，半径是直径的一半”的前提是在同圆或等圆中，题干没有说明这个前提，表述错误。
（4）直径的定义是：经过圆心，且两端都在圆上的线段，题干缺少“经过圆心”的条件，表述错误。
【答案】
（1）√；（2）×；（3）×；（4）×
【知识点】
圆的相关概念；半圆的周长与面积；直径与半径的关系
【点评】
本题属于圆的基础概念辨析题，易错点在于容易遗漏概念的前提条件、混淆相近概念，学习时要精准记忆概念的完整表述，遇到判断题时要逐一核对表述是否符合定义的全部要求。
【难度系数】
0.6
3. 如图，学校操场的跑道是由一个长方形的两条长边和两个半圆组成的，跑道一周的长度是多少？
答案
3.14×40 + 60×2
= 125.6 + 120
= 245.6（m）
答：跑道一周的长度是245.6米。
= 125.6 + 120
= 245.6（m）
答：跑道一周的长度是245.6米。
解析
【分析】
要求跑道一周的长度，首先观察跑道的组成：两端是两个完全相同的半圆，合起来刚好是1个整圆，中间是长方形的两条长边。所以跑道周长=整圆的周长+两条直道（长方形的长）的长度和。已知圆的直径是40m，直道长60m，代入对应公式计算即可。
【解析】
先计算两端弯道拼成的整圆的周长，再计算两条直道的总长度，最后求和：
$\begin{aligned}&3.14×40 + 60×2\\=&125.6 + 120\\=&245.6(\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
245.6米
【知识点】
圆的周长计算；组合图形周长计算
【点评】
本题解题关键是明确两个半圆形弯道可以拼接为一个完整的圆，注意不要误将长方形的两条宽计入周长，要清楚组合图形的周长仅指外围一周的长度。
【难度系数】
0.7
要求跑道一周的长度，首先观察跑道的组成：两端是两个完全相同的半圆，合起来刚好是1个整圆，中间是长方形的两条长边。所以跑道周长=整圆的周长+两条直道（长方形的长）的长度和。已知圆的直径是40m，直道长60m，代入对应公式计算即可。
【解析】
先计算两端弯道拼成的整圆的周长，再计算两条直道的总长度，最后求和：
$\begin{aligned}&3.14×40 + 60×2\\=&125.6 + 120\\=&245.6(\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
245.6米
【知识点】
圆的周长计算；组合图形周长计算
【点评】
本题解题关键是明确两个半圆形弯道可以拼接为一个完整的圆，注意不要误将长方形的两条宽计入周长，要清楚组合图形的周长仅指外围一周的长度。
【难度系数】
0.7
4.一个钟表的时针长8 cm，分针长10 cm，从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是多少？一昼夜分针尖端走过的路程是多少？
答案
$3.14×8^2÷2$
$=3.14×64÷2$
$=100.48\ (\mathrm{cm}^2)$
$2×3.14×10×24$
$=62.8×24$
$=1507.2\ (\mathrm{cm})$
答：从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是100.48平方厘米，一昼夜分针尖端走过的路程是1507.2厘米。
$=3.14×64÷2$
$=100.48\ (\mathrm{cm}^2)$
$2×3.14×10×24$
$=62.8×24$
$=1507.2\ (\mathrm{cm})$
答：从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是100.48平方厘米，一昼夜分针尖端走过的路程是1507.2厘米。
解析
【分析】
我们分两步思考解题：
1. 求时针扫过的面积：时针的长度就是它扫过的圆的半径，从中午12时到下午6时，时针刚好转动半圈，因此扫过的面积就是半径为8cm的圆面积的一半，代入圆的面积公式计算后除以2即可。
2. 求一昼夜分针尖端走过的路程：分针的长度就是它转动一圈形成的圆的半径，分针1小时转动1圈，一昼夜共24小时，因此分针一共转动24圈，总路程就是半径为10cm的圆的周长乘24，代入圆的周长公式计算后乘24即可。
【解析】
计算时针扫过的面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，时针走半圈，可得：
$3.14×8^2÷2$
$=3.14×64÷2$
$=100.48\ (\mathrm{cm}^2)$
计算一昼夜分针尖端走过的路程：
根据圆的周长公式$C=2π r$，一昼夜分针走24圈，可得：
$2×3.14×10×24$
$=62.8×24$
$=1507.2\ (\mathrm{cm})$
【答案】
从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是100.48平方厘米，一昼夜分针尖端走过的路程是1507.2厘米。
【知识点】
圆的面积计算、圆的周长计算、钟表转动规律
【点评】
本题结合生活中的钟表场景出题，解题核心是先准确判断时针、分针的转动圈数，再匹配对应半径代入公式计算，易错点是容易混淆两种针的转动周期和对应的半径长度。
【难度系数】
0.6
我们分两步思考解题：
1. 求时针扫过的面积：时针的长度就是它扫过的圆的半径，从中午12时到下午6时，时针刚好转动半圈，因此扫过的面积就是半径为8cm的圆面积的一半，代入圆的面积公式计算后除以2即可。
2. 求一昼夜分针尖端走过的路程：分针的长度就是它转动一圈形成的圆的半径，分针1小时转动1圈，一昼夜共24小时，因此分针一共转动24圈，总路程就是半径为10cm的圆的周长乘24，代入圆的周长公式计算后乘24即可。
【解析】
计算时针扫过的面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，时针走半圈，可得：
$3.14×8^2÷2$
$=3.14×64÷2$
$=100.48\ (\mathrm{cm}^2)$
计算一昼夜分针尖端走过的路程：
根据圆的周长公式$C=2π r$，一昼夜分针走24圈，可得：
$2×3.14×10×24$
$=62.8×24$
$=1507.2\ (\mathrm{cm})$
【答案】
从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是100.48平方厘米，一昼夜分针尖端走过的路程是1507.2厘米。
【知识点】
圆的面积计算、圆的周长计算、钟表转动规律
【点评】
本题结合生活中的钟表场景出题，解题核心是先准确判断时针、分针的转动圈数，再匹配对应半径代入公式计算，易错点是容易混淆两种针的转动周期和对应的半径长度。
【难度系数】
0.6
5.如图,三个圆的周长都是25.12 cm,涂色部分的面积是多少平方厘米？
答案
25.12÷3.14÷2 = 4(cm)
360° - 90° = 270°
3.14×4²×(270°÷360°) = 3.14×16×$\frac{3}{4}$ = 37.68(cm²)
答：涂色部分的面积是37.68平方厘米。
360° - 90° = 270°
3.14×4²×(270°÷360°) = 3.14×16×$\frac{3}{4}$ = 37.68(cm²)
答：涂色部分的面积是37.68平方厘米。
解析
【分析】
首先观察题目条件：三个圆周长相等，说明三个圆的半径完全相同，涂色部分是三个分别以三个圆心为顶点的扇形。接下来思考，扇形面积由半径和圆心角决定，现在半径相同，我们只需要求出三个扇形的圆心角总和就可以合并计算面积。再结合图形特征：三个扇形的圆心角和图中的直角共同构成四边形的内角，四边形内角和为360°，因此三个圆心角的和为360°减去90°等于270°，相当于$\frac{3}{4}$个整圆的面积。所以解题步骤为先根据周长求出圆的半径，再计算$\frac{3}{4}$个圆的面积即可。
【解析】
1. 计算圆的半径：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得半径$r=C÷π÷2$，代入周长25.12cm计算：
$25.12÷3.14÷2=4(\mathrm{cm})$
2. 计算三个涂色扇形的圆心角总和：
四边形内角和为360°，其中一个内角为直角90°，剩下三个内角对应三个扇形的圆心角，和为：
$360°-90°=270°$
即三个扇形面积之和等于同半径圆面积的$\frac{270°}{360°}=\frac{3}{4}$。
3. 计算涂色部分面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入半径计算：
$3.14×4^2×\frac{3}{4}=3.14×16×\frac{3}{4}=37.68(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
涂色部分的面积是37.68平方厘米。
【知识点】
圆的周长计算；扇形面积计算；组合图形面积计算
【点评】
本题解题核心是发现三个涂色扇形半径相等，通过计算圆心角之和将分散的扇形转化为规则的$\frac{3}{4}$圆求解，简化了计算过程，考察了学生的图形观察能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
首先观察题目条件：三个圆周长相等，说明三个圆的半径完全相同，涂色部分是三个分别以三个圆心为顶点的扇形。接下来思考，扇形面积由半径和圆心角决定，现在半径相同，我们只需要求出三个扇形的圆心角总和就可以合并计算面积。再结合图形特征：三个扇形的圆心角和图中的直角共同构成四边形的内角，四边形内角和为360°，因此三个圆心角的和为360°减去90°等于270°，相当于$\frac{3}{4}$个整圆的面积。所以解题步骤为先根据周长求出圆的半径，再计算$\frac{3}{4}$个圆的面积即可。
【解析】
1. 计算圆的半径：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得半径$r=C÷π÷2$，代入周长25.12cm计算：
$25.12÷3.14÷2=4(\mathrm{cm})$
2. 计算三个涂色扇形的圆心角总和：
四边形内角和为360°，其中一个内角为直角90°，剩下三个内角对应三个扇形的圆心角，和为：
$360°-90°=270°$
即三个扇形面积之和等于同半径圆面积的$\frac{270°}{360°}=\frac{3}{4}$。
3. 计算涂色部分面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入半径计算：
$3.14×4^2×\frac{3}{4}=3.14×16×\frac{3}{4}=37.68(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
涂色部分的面积是37.68平方厘米。
【知识点】
圆的周长计算；扇形面积计算；组合图形面积计算
【点评】
本题解题核心是发现三个涂色扇形半径相等，通过计算圆心角之和将分散的扇形转化为规则的$\frac{3}{4}$圆求解，简化了计算过程，考察了学生的图形观察能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
