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8 [2024 呼和浩特] 如图,正四边形 $ABCD$ 和正五边形 $CEFGH$ 内接于 $\odot O$,$AD$ 和 $EF$ 相交于点 $M$,则 $∠ AMF$ 的度数为
$27°$
.答案
8. $27°$ 【解析】如图, 连接 $OG$,$OF$,$OD$,$OE$,$DF$,$AC$. $\because$ 四边形
$ABCD$ 是正方形, $\therefore ∠ ADC=90°$, $\therefore AC$ 过圆心 $O$, $\therefore ∠ AOD=$
$\dfrac{1}{4}× 360°=90°$. $\because$ 正五边形 $CEFGH$ 内接于 $\odot O$, $\therefore ∠ FOG=$
$∠ EOF=\dfrac{1}{5}× 360°=72°$, $\overset{\frown}{GH}=\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{FE}=\overset{\frown}{CE}$, $\therefore \overset{\frown}{GC}=\overset{\frown}{FC}$,
$\therefore ∠ GOC = ∠ FOC$, $\therefore ∠ AOG = ∠ AOF = \dfrac{1}{2}∠ FOG=36°$,
$\therefore ∠ DOF=90°-36°=54°$, $\therefore ∠ DOE=72°-54°=18°$,
$\therefore ∠ AMF = ∠ MFD + ∠ MDF = \dfrac{1}{2}∠ DOE + \dfrac{1}{2}∠ AOF = \dfrac{1}{2}×$
$18°+\dfrac{1}{2}× 36°=27°$.
9 [2024 雅安]如图,$\odot O$的周长为$8π$,正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$,则$△ OAB$的面积为
$4\sqrt{3}$
.答案
9. $4\sqrt{3}$
10 分类讨论思想 [2025 上海]已知平面内有一个角,一个圆与这个角的两边都有两个交点.若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的两条边,则这个角的度数为
$108°$ 或 $36°$
.答案
10. $108°$ 或 $36°$ 【解析】如图①, $∠ MPN$ 是正五边形的一个内角,
此时 $∠ MPN=\dfrac{(5-2)× 180°}{5}=108°$; 如图②, $∠ OAB$ 和 $∠ OBA$ 是正
五边形的两个外角, $\therefore ∠ OAB = ∠ OBA = \dfrac{360°}{5}=72°$, 此时 $∠ AOB=$
$180°-72°-72°=36°$. 因此满足题意的角的度数为 $108°$ 或 $36°$.
11 如图①所示为地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形. 如图②,$AE$是$\odot O$的直径,用无刻度的直尺和圆规作$\odot O$的内接正八边形$ABCDEFGH$(不写作法,保留作图痕迹).
答案
11. 如图
12 如图,正五边形 $ABCDE$ 内接于$\odot O$,先作直径 $AF$; 再以点 $F$ 为圆心, $FO$ 长为半径作圆弧,与$\odot O$ 交于点 $M,N$; 最后连接 $AM,MN,NA,DN$.
(1) 求$∠ ABC$的度数.
(2) $△ AMN$ 是正三角形吗? 请说明理由.
(3) 从点 $A$ 开始,以 $DN$ 长为半径,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正 $n$ 边形,求 $n$ 的值.
(1) 求$∠ ABC$的度数.
(2) $△ AMN$ 是正三角形吗? 请说明理由.
(3) 从点 $A$ 开始,以 $DN$ 长为半径,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正 $n$ 边形,求 $n$ 的值.
答案
12. (1) $\because$ 五边形 $ABCDE$ 是正五边形, $\therefore ∠ ABC=$
$\dfrac{(5-2)× 180°}{5}=108°$ (2) $△ AMN$ 是正三角形 理由: 连接 $ON$,
$NF$. 由作图, 得 $FN=OF$. $\because OF=ON$, $\therefore FN=OF=ON$,
$\therefore △ FON$ 是等边三角形, $\therefore ∠ NFA=60°$. $\because \overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{AN}$,
$\therefore ∠ NMA=∠ NFA=60°$. 同理, 可得 $∠ ANM=60°$, $\therefore$ 在 $△ AMN$
中, $∠ MAN=60°$, $\therefore ∠ NMA = ∠ ANM = ∠ MAN$, $\therefore △ AMN$ 是正
三角形. (3) 由(2), 得 $△ AMN$ 是正三角形, $\therefore ∠ AON=$
$2∠ AMN=120°$, $\therefore \overset{\frown}{AN}=120°$. $\because \overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AE}=2× \dfrac{360°}{5}=144°$,
$\therefore \overset{\frown}{DN}=\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AN}=24°$, $\therefore n=\dfrac{360°}{24°}=15$
$\dfrac{(5-2)× 180°}{5}=108°$ (2) $△ AMN$ 是正三角形 理由: 连接 $ON$,
$NF$. 由作图, 得 $FN=OF$. $\because OF=ON$, $\therefore FN=OF=ON$,
$\therefore △ FON$ 是等边三角形, $\therefore ∠ NFA=60°$. $\because \overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{AN}$,
$\therefore ∠ NMA=∠ NFA=60°$. 同理, 可得 $∠ ANM=60°$, $\therefore$ 在 $△ AMN$
中, $∠ MAN=60°$, $\therefore ∠ NMA = ∠ ANM = ∠ MAN$, $\therefore △ AMN$ 是正
三角形. (3) 由(2), 得 $△ AMN$ 是正三角形, $\therefore ∠ AON=$
$2∠ AMN=120°$, $\therefore \overset{\frown}{AN}=120°$. $\because \overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AE}=2× \dfrac{360°}{5}=144°$,
$\therefore \overset{\frown}{DN}=\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AN}=24°$, $\therefore n=\dfrac{360°}{24°}=15$
