三、解答题(共55分)
10. (20分)解方程：
(1) $3x-2(20-x)+5=0$；
(2) $\dfrac{3}{2}[(x-\dfrac{2}{3})+\dfrac{4}{3}]=3$；
(3) $\dfrac{2x+1}{3}=\dfrac{5x-1}{6}$；
(4)

10. (1) x=7 (2) x=$\dfrac{4}{3}$
(3) x=3 (4) x=$\dfrac{3}{10}$

【分析】
这是一道分母含有小数的一元一次方程，解题时首先利用分数的基本性质，将所有分母的小数转化为整数，避免小数运算出错；之后找到所有整数分母的最小公倍数，对方程两边同时乘最小公倍数去掉分母，再依次完成去括号、移项、合并同类项、将x的系数化为1的步骤，即可解出方程，最后可代入原方程验算确认结果正确。
【解析】
第一步：利用分数基本性质将分母化为整数
对$\frac{0.5x+0.9}{0.5}$，分子分母同乘10，得$\frac{5x+9}{5}$
$\frac{x-5}{3}$分母已经是整数，保持不变
对$\frac{0.01+0.02x}{0.03}$，分子分母同乘100，得$\frac{1+2x}{3}$
原方程化简为：
$\frac{5x+9}{5} + \frac{x-5}{3} = \frac{1+2x}{3}$
第二步：去分母，方程两边同时乘分母5和3的最小公倍数15：
$3(5x+9) + 5(x-5) = 5(1+2x)$
第三步：去括号：
$15x + 27 + 5x - 25 = 5 + 10x$
第四步：合并同类项：
$20x + 2 = 5 + 10x$
第五步：移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$20x - 10x = 5 - 2$
$10x = 3$
第六步：系数化为1：
$x=\frac{3}{10}$
【答案】
$x=\dfrac{3}{10}$
【知识点】
一元一次方程解法，分数基本性质，去分母运算
【点评】
本题的易错点是将小数分母化为整数时，容易错误漏乘分子的部分项，或是去分母时漏乘不含分母的项，需要熟练掌握分母含小数的一元一次方程的标准化简步骤，注意运算细节避免出错。
【难度系数】
0.6

11. (10分)一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和为13,若把十位上的数字与个位上的数字交换位置,得到的新两位数比原两位数大27,求原来的两位数.

11. 设原数个位上的数字为x,则十位上的数字为13-x. 根据题意,可得10(13-x)+x+27=10x+13-x,解得x=8,则13-x=5. 答:原来的两位数是58

【分析】
这是典型的一元一次方程数字类应用题，解题思路如下：
1. 首先明确两位数的表示规则：一个两位数的数值 = 10×十位上的数字 + 个位上的数字，不能直接将十位数字和个位数字相加代表两位数。
2. 从题目中提取两个等量关系：①原数的十位数字 + 原数的个位数字 = 13；②交换位置后得到的新两位数 - 原两位数 = 27。
3. 利用第一个等量关系只设一个未知数即可：设原数个位数字为x，那么十位数字就可以用(13-x)来表示，接着分别用含x的代数式写出原两位数和新两位数，再代入第二个等量关系列出一元一次方程，求解后即可得到两个数位上的数字，最终算出原两位数。
【解析】
解：设原来两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为13 - x。
根据两位数的表示方法，原两位数可表示为：$10×(13 - x) + x$
交换数位后得到的新两位数可表示为：$10x + (13 - x)$
根据“新两位数比原两位数大27”列方程：
$10(13 - x) + x + 27 = 10x + 13 - x$
展开化简：
$157 - 9x = 9x + 13$
移项合并同类项得：
$-18x = -144$
解得：$x = 8$
则十位上的数字为$13 - x = 13 - 8 = 5$
因此原来的两位数为$10×5 + 8 = 58$
答：原来的两位数是58。
【答案】原来的两位数是58
【知识点】一元一次方程应用，两位数的表示
【点评】本题属于一元一次方程的基础应用题型，核心易错点是很多同学会忽略十位的计数权重是10，错误直接用十位数字加个位数字代表两位数，只要掌握多位数的正确表示方法，找准题目给出的两个等量关系，就可以顺利完成求解。
【难度系数】0.7

12. (12 分) 小明解方程 $\dfrac{2x-1}{5}+1=\dfrac{x+a}{2}$ 时, 由于粗心大意, 在去分母时, 方程左边的 1 没有乘 10, 由此求得的解为 $x=4$, 试求 $a$ 的值, 并正确求出方程的解.

12. 由题意,得2(2x-1)+1=5(x+a),把x=4代入,得a=-1. 将a=-1代入原方程,得$\dfrac{2x-1}{5}+1=\dfrac{x-1}{2}$,去分母,得4x-2+10=5x-5,移项、合并同类项,得-x=-13,解得x=13

【分析】
这道题属于一元一次方程的错中求解题型，解题的核心思路是：首先明确小明去分母时的错误操作对应的错误方程，小明去分母时仅漏乘了左侧的常数1，因此他实际求解的并不是原方程，而是变形错误的方程，已知他得到的解x=4是这个错误方程的解，将x=4代入错误方程即可求出参数a的值；之后把求得的a代回原方程，按照解一元一次方程的正规步骤计算，就能得到原方程的正确解。注意不能直接把x=4代入原方程，因为x=4并不满足原方程。
【解析】
1. 写出小明错误变形得到的方程
原方程为$\dfrac{2x-1}{5}+1=\dfrac{x+a}{2}$，去分母时正常操作是两边同乘分母的最小公倍数10，小明漏乘了左侧的常数1，因此他得到的错误方程为：
$2(2x-1)+1=5(x+a)$
2. 代入错解x=4求a
将x=4代入上述错误方程：
左边$=2×(2×4 -1)+1=2×7+1=15$
右边$=5×(4+a)$
因此有$15=5(4+a)$，展开得$15=20+5a$，移项计算得$5a=-5$，解得$a=-1$。
3. 代入a=-1求解原方程
将$a=-1$代入原方程，得：
$\dfrac{2x-1}{5}+1=\dfrac{x-1}{2}$
两边同乘10去分母，得：
$2(2x-1)+10=5(x-1)$
展开括号：$4x-2+10=5x-5$
移项合并同类项：$-x=-13$
解得$x=13$。
【答案】
a的值为-1，原方程的正确解为x=13
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，错中求解
【点评】
本题是典型的一元一次方程错中求解类题目，既考察了学生对去分母步骤的掌握程度，也引导学生规避去分母时漏乘常数项的常见易错点，解题的关键是明确错解仅满足错误变形后的方程，先通过错解反推参数，再代入原方程计算正确结果。
【难度系数】
0.6

13. (13 分)已知某铁路桥长 600 米,若一列火车匀速通过该桥,火车从开始上桥到车尾离开桥共用了 30 秒,整列火车完全在桥上的时间为 20 秒,求火车的长度.

13. 设火车的长度是x米. 根据题意,得$\dfrac{600+x}{30}=\dfrac{600-x}{20}$,解得x=120. 答:火车的长度是120米

【分析】
这是典型的火车过桥类行程问题，核心解题思路是抓住火车匀速行驶、速度始终不变这个隐含等量关系。首先我们需要明确两个不同运动场景下火车的实际行驶路程：第一个场景是火车从开始上桥到车尾完全离开桥，车头的移动距离等于桥的总长度加上火车自身的长度；第二个场景是整列火车完全在桥上，此时车头的移动距离等于桥的总长度减去火车自身的长度。我们设火车长度为x米，就可以分别用两个场景的路程除以对应时间，表示出火车的行驶速度，令两个速度相等就能列出方程，求解即可得到火车长度。
【解析】
解：设火车的长度为x米。
1. 推导两个过程的速度表达式：
火车从开始上桥到车尾离开桥，总行驶路程为桥长+车长，即$(600+x)$米，用时30秒，因此火车速度可表示为$\frac{600+x}{30}$ 米/秒；
整列火车完全在桥上时，总行驶路程为桥长-车长，即$(600-x)$米，用时20秒，因此火车速度也可表示为$\frac{600-x}{20}$ 米/秒。
2. 结合匀速运动速度相等的性质列方程：
$\frac{600+x}{30}=\frac{600-x}{20}$
3. 解方程：
两边同乘60去分母得：$2(600+x)=3(600-x)$
展开括号：$1200+2x=1800-3x$
移项合并同类项得：$5x=600$
解得：$x=120$
验证可知结果符合实际运动逻辑，作答即可。
答：火车的长度是120米。
【答案】
火车的长度是120米
【知识点】
一元一次方程应用，火车过桥行程模型
【点评】
本题的易错点是学生容易混淆两种场景下火车的实际行驶路程，出现漏加、错减火车长度的错误，解题时可以通过画简易示意图标记车头的起止位置，快速准确得到对应路程，利用匀速运动速度相等建立等量关系是这类问题的通用解法。
【难度系数】
0.6