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一、填空题
1. 长方形的周长为26 cm,其宽的2倍比长少1 cm,则该长方形的面积是
1. 长方形的周长为26 cm,其宽的2倍比长少1 cm,则该长方形的面积是
36
$\mathrm{cm^{2}}$.答案
1. 36
解析
【分析】
要计算长方形的面积，首先需要求出长方形的长和宽。题目给出了两个明确的等量关系：①长方形周长为26cm，结合周长公式可推导出长与宽的和为13cm；②宽的2倍比长少1cm，可直接建立长和宽的关系式。我们可以通过设未知数建立二元一次方程组，求解得到长和宽的具体数值后，代入长方形面积公式即可算出最终结果。
【解析】
解：设该长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2(x+y)=26 \\x - 2y = 1\end{cases}$
化简第一个方程得：$x + y = 13$，变形为$x = 13 - y$，将其代入第二个方程：
$13 - y - 2y = 1$
整理得$13 - 3y = 1$，解得$y=4$
将$y=4$代入$x=13-y$，得$x=13-4=9$
因此长方形的面积为：$S = x × y = 9 × 4 = 36\ \mathrm{cm^2}$
【答案】36
【知识点】二元一次方程组应用，长方形周长面积计算
【点评】本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系，注意不要将“宽的2倍比长少1”的关系式列反，避免出现理解性错误，整体计算门槛很低。
【难度系数】0.8
要计算长方形的面积，首先需要求出长方形的长和宽。题目给出了两个明确的等量关系：①长方形周长为26cm，结合周长公式可推导出长与宽的和为13cm；②宽的2倍比长少1cm，可直接建立长和宽的关系式。我们可以通过设未知数建立二元一次方程组，求解得到长和宽的具体数值后，代入长方形面积公式即可算出最终结果。
【解析】
解：设该长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2(x+y)=26 \\x - 2y = 1\end{cases}$
化简第一个方程得：$x + y = 13$，变形为$x = 13 - y$，将其代入第二个方程：
$13 - y - 2y = 1$
整理得$13 - 3y = 1$，解得$y=4$
将$y=4$代入$x=13-y$，得$x=13-4=9$
因此长方形的面积为：$S = x × y = 9 × 4 = 36\ \mathrm{cm^2}$
【答案】36
【知识点】二元一次方程组应用，长方形周长面积计算
【点评】本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系，注意不要将“宽的2倍比长少1”的关系式列反，避免出现理解性错误，整体计算门槛很低。
【难度系数】0.8
2. 一个三角形的三个角分别为$30°,50°,x$，另一个三角形的三个角分别为$y,50°,100°$，则$x+y=$
130°
。答案
2. 130°
解析
【分析】
这道题的核心解题依据是三角形内角和的固定性质，我们可以分三步推导：第一步先回忆三角形内角和为180°的规则，先对第一个已知两个内角30°、50°的三角形，用180°减去两个已知角算出x的值；第二步对第二个已知两个内角50°、100°的三角形，同样用内角和减去两个已知角算出y的值；第三步将得到的x和y相加，就能得到最终结果。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°：
1. 计算x的数值：
对第一个三角形列等式：$30° + 50° + x = 180°$
移项计算得：$x = 180° - 30° - 50° = 100°$
2. 计算y的数值：
对第二个三角形列等式：$y + 50° + 100° = 180°$
移项计算得：$y = 180° - 50° - 100° = 30°$
3. 计算x+y的结果：
$x + y = 100° + 30° = 130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形基础概念应用题，考察对三角形内角和性质的直接运用，没有设置复杂陷阱，只需要牢记内角和规则即可快速求解，计算时注意角度加减不要出现低级失误。
【难度系数】
0.9
这道题的核心解题依据是三角形内角和的固定性质，我们可以分三步推导：第一步先回忆三角形内角和为180°的规则，先对第一个已知两个内角30°、50°的三角形，用180°减去两个已知角算出x的值；第二步对第二个已知两个内角50°、100°的三角形，同样用内角和减去两个已知角算出y的值；第三步将得到的x和y相加，就能得到最终结果。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°：
1. 计算x的数值：
对第一个三角形列等式：$30° + 50° + x = 180°$
移项计算得：$x = 180° - 30° - 50° = 100°$
2. 计算y的数值：
对第二个三角形列等式：$y + 50° + 100° = 180°$
移项计算得：$y = 180° - 50° - 100° = 30°$
3. 计算x+y的结果：
$x + y = 100° + 30° = 130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形基础概念应用题，考察对三角形内角和性质的直接运用，没有设置复杂陷阱，只需要牢记内角和规则即可快速求解，计算时注意角度加减不要出现低级失误。
【难度系数】
0.9
3. 如图,在长方形$ABCD$中放入8个完全相同的小长方形,若$AB=5$,则图中涂色部分面积之和为
6
.答案
3. 6
解析
【分析】
这道题的核心是利用拼接图形隐含的边长等量关系，通过设未知数建立二元一次方程组，先求出小长方形的长和宽，再用整体作差的方法计算涂色部分面积。首先我们设小长方形的长为x，宽为y：第一步观察竖直方向已知边AB=5，可得到AB长度等于小长方形的长加2倍小长方形的宽，列出第一个方程；第二步观察图形水平方向的对齐关系，能得到小长方形的长等于3倍小长方形的宽，列出第二个方程。解出x和y后，先算出大长方形的长AD，得到大长方形总面积，再减去8个小长方形的总面积，就能直接得到涂色部分的面积，不需要逐块计算阴影。
【解析】
设每个小长方形的长为$x$，宽为$y$，根据图形的边长等量关系列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 5 \\x = 3y\end{cases}$
将$x=3y$代入第一个方程，得$3y+2y=5$，解得$y=1$，代入得$x=3×1=3$。
计算大长方形$ABCD$的长：$AD = x + 3y = 3 + 3×1 = 6$，
大长方形总面积：$S_{ABCD}=AB× AD = 5×6 = 30$，
8个小长方形的总面积：$S_{小总}=8xy = 8×3×1 = 24$，
因此涂色部分面积之和为$30 - 24 = 6$。
【答案】6
【知识点】二元一次方程组应用，长方形面积计算
【点评】本题采用整体作差的思路求解阴影面积，避免了分割计算每块阴影的繁琐步骤，重点考察学生从拼接图形中挖掘隐含边长等量关系的能力，是几何拼接类求面积的典型技巧。
【难度系数】0.6
这道题的核心是利用拼接图形隐含的边长等量关系，通过设未知数建立二元一次方程组，先求出小长方形的长和宽，再用整体作差的方法计算涂色部分面积。首先我们设小长方形的长为x，宽为y：第一步观察竖直方向已知边AB=5，可得到AB长度等于小长方形的长加2倍小长方形的宽，列出第一个方程；第二步观察图形水平方向的对齐关系，能得到小长方形的长等于3倍小长方形的宽，列出第二个方程。解出x和y后，先算出大长方形的长AD，得到大长方形总面积，再减去8个小长方形的总面积，就能直接得到涂色部分的面积，不需要逐块计算阴影。
【解析】
设每个小长方形的长为$x$，宽为$y$，根据图形的边长等量关系列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 5 \\x = 3y\end{cases}$
将$x=3y$代入第一个方程，得$3y+2y=5$，解得$y=1$，代入得$x=3×1=3$。
计算大长方形$ABCD$的长：$AD = x + 3y = 3 + 3×1 = 6$，
大长方形总面积：$S_{ABCD}=AB× AD = 5×6 = 30$，
8个小长方形的总面积：$S_{小总}=8xy = 8×3×1 = 24$，
因此涂色部分面积之和为$30 - 24 = 6$。
【答案】6
【知识点】二元一次方程组应用，长方形面积计算
【点评】本题采用整体作差的思路求解阴影面积，避免了分割计算每块阴影的繁琐步骤，重点考察学生从拼接图形中挖掘隐含边长等量关系的能力，是几何拼接类求面积的典型技巧。
【难度系数】0.6
4. 如图,现有若干片相同的拼图,其凸出的部分是直径为4 cm 的半圆.已知4片拼图紧密拼成一排时的长度为 38 cm,则
6
片拼图紧密拼成一排时的长度为 56 cm.答案
4. 6
解析
【分析】
我们首先观察拼图的拼接特征：相邻两片拼图拼接时，前一片右侧的凸出半圆会完全嵌入后一片左侧的凹陷半圆中，因此每新增一片拼图，总长度的增量是固定值。解题思路为：先根据已知的“4片拼图总长度38cm”推导出总长度和拼图数量的通用关系式，再将目标总长度56cm代入关系式，求解对应的拼图数量即可。这里要注意，拼接时凸出和凹陷的部分完全卡合，不会额外增加长度，仅首尾两端的半圆各贡献了半径方向的延伸量，避免直接用单个拼图完整长度累加导致错误。
【解析】
设每新增1片拼图，拼接后总长度的增量为$x\ \mathrm{cm}$。
观察图形测量规则：拼接后的总长度，最左端从第一片拼图左侧凹陷半圆的直径竖线开始，最右端到最后一片拼图右侧凸出半圆的端点结束，因此总长度的通用表达式为：
$L = n· x + 2$
（其中2是最后一片拼图凸出半圆向外延伸的半径长度，直径为4cm，半径为2cm）
将已知条件$n=4$，$L=38\ \mathrm{cm}$代入表达式：
$4x + 2 = 38$
解得：$x=9\ \mathrm{cm}$，即每新增1片拼图总长度增加9cm。
当总长度$L=56\ \mathrm{cm}$时，代入关系式：
$9n + 2 = 56$
解得：$9n=54$，$n=6$。
【答案】
6
【知识点】
图形规律探究，一元一次方程应用
【点评】
本题属于典型的拼接类规律应用题，核心是避开“直接按单个拼图完整长度累加”的思维误区，通过分析拼接时凹凸部分完全嵌合的特征，得到总长度随拼图数量变化的线性关系，利用已知条件先求出单位增量再列方程求解，难度适中。
【难度系数】
0.6
我们首先观察拼图的拼接特征：相邻两片拼图拼接时，前一片右侧的凸出半圆会完全嵌入后一片左侧的凹陷半圆中，因此每新增一片拼图，总长度的增量是固定值。解题思路为：先根据已知的“4片拼图总长度38cm”推导出总长度和拼图数量的通用关系式，再将目标总长度56cm代入关系式，求解对应的拼图数量即可。这里要注意，拼接时凸出和凹陷的部分完全卡合，不会额外增加长度，仅首尾两端的半圆各贡献了半径方向的延伸量，避免直接用单个拼图完整长度累加导致错误。
【解析】
设每新增1片拼图，拼接后总长度的增量为$x\ \mathrm{cm}$。
观察图形测量规则：拼接后的总长度，最左端从第一片拼图左侧凹陷半圆的直径竖线开始，最右端到最后一片拼图右侧凸出半圆的端点结束，因此总长度的通用表达式为：
$L = n· x + 2$
（其中2是最后一片拼图凸出半圆向外延伸的半径长度，直径为4cm，半径为2cm）
将已知条件$n=4$，$L=38\ \mathrm{cm}$代入表达式：
$4x + 2 = 38$
解得：$x=9\ \mathrm{cm}$，即每新增1片拼图总长度增加9cm。
当总长度$L=56\ \mathrm{cm}$时，代入关系式：
$9n + 2 = 56$
解得：$9n=54$，$n=6$。
【答案】
6
【知识点】
图形规律探究，一元一次方程应用
【点评】
本题属于典型的拼接类规律应用题，核心是避开“直接按单个拼图完整长度累加”的思维误区，通过分析拼接时凹凸部分完全嵌合的特征，得到总长度随拼图数量变化的线性关系，利用已知条件先求出单位增量再列方程求解，难度适中。
【难度系数】
0.6
二、解答题
5. 用 28 米长的铁丝围成一个长方形,这个长方形的长与宽的比是 $5:2$,求这个长方形的面积.
5. 用 28 米长的铁丝围成一个长方形,这个长方形的长与宽的比是 $5:2$,求这个长方形的面积.
答案
5. 因为这个长方形的长与宽的比是5:2，所以设这个长方形的长为5r米，则这个长方形的宽为2r米.根据题意，得(5r+2r)×2=28，解得r=2.所以5r=10，2r=4.所以这个长方形的长为10米，宽为4米.所以这个长方形的面积为10×4=40(平方米)
解析
【分析】
首先要明确28米铁丝的长度就是围成的长方形的周长，长方形周长的计算公式为周长=2×(长+宽)。题目给出长和宽的比是5:2，我们可以利用比例设参数的思路，把长表示为5份对应的量、宽表示为2份对应的量，也就是设长为5r米，宽为2r米，这样天然满足长和宽的比例要求。接下来把长和宽代入周长公式，列出关于r的一元一次方程，解出r之后就能算出实际的长和宽，最后用长方形面积=长×宽计算最终面积即可，用设比例系数的方法还能规避直接把总长度28按5:2分配的常见错误。
【解析】
解：设这个长方形的长为5r米，由长与宽的比为5:2，可得对应的宽为2r米。
根据长方形周长公式，结合铁丝总长为28米，列方程：
$(5r + 2r) × 2 = 28$
化简得：
$14r = 28$
解得：
$r=2$
因此长方形的实际长为：$5r = 5×2 =10$ 米
长方形的实际宽为：$2r = 2×2 =4$ 米
再根据长方形面积公式计算面积：
$10×4 =40 \mathrm{（平方米）}$
【答案】
这个长方形的面积为40平方米
【知识点】
长方形周长计算，长方形面积计算，比例应用
【点评】
本题是比的应用和长方形周长面积结合的基础应用题，核心易错点是学生容易忽略周长包含2条长和2条宽，直接将28米按5:2拆分得到长和宽，使用设比例系数的方法可以有效避开该易错点，解题逻辑更清晰。
【难度系数】
0.7
首先要明确28米铁丝的长度就是围成的长方形的周长，长方形周长的计算公式为周长=2×(长+宽)。题目给出长和宽的比是5:2，我们可以利用比例设参数的思路，把长表示为5份对应的量、宽表示为2份对应的量，也就是设长为5r米，宽为2r米，这样天然满足长和宽的比例要求。接下来把长和宽代入周长公式，列出关于r的一元一次方程，解出r之后就能算出实际的长和宽，最后用长方形面积=长×宽计算最终面积即可，用设比例系数的方法还能规避直接把总长度28按5:2分配的常见错误。
【解析】
解：设这个长方形的长为5r米，由长与宽的比为5:2，可得对应的宽为2r米。
根据长方形周长公式，结合铁丝总长为28米，列方程：
$(5r + 2r) × 2 = 28$
化简得：
$14r = 28$
解得：
$r=2$
因此长方形的实际长为：$5r = 5×2 =10$ 米
长方形的实际宽为：$2r = 2×2 =4$ 米
再根据长方形面积公式计算面积：
$10×4 =40 \mathrm{（平方米）}$
【答案】
这个长方形的面积为40平方米
【知识点】
长方形周长计算，长方形面积计算，比例应用
【点评】
本题是比的应用和长方形周长面积结合的基础应用题，核心易错点是学生容易忽略周长包含2条长和2条宽，直接将28米按5:2拆分得到长和宽，使用设比例系数的方法可以有效避开该易错点，解题逻辑更清晰。
【难度系数】
0.7
6. 如图,每个图案均是由长度相等的木棒按一定的规律拼接而成的,依据此规律,继续拼接图案.按这种方式拼接出来的一个图案用了100根木棒,你认为可能吗?如果可能,那么是第几个图案?如果不可能,请说明理由.
答案
6. 不可能 理由:因为设第n个图案用了100根木棒，则$2n+1=100$，解得$n=\frac{99}{2}=49.5$，不是整数，不符合题意，所以按这种方式拼接出来的一个图案不可能用了100根木棒.
解析
【分析】
我们先从给出的前4个图案入手，逐个统计每个图案使用的木棒数量：第1个图案是单个三角形，用了3根木棒；第2个图案拼接2个三角形，数出木棒总数是5根；第3个图案拼接3个三角形，木棒总数是7根；第4个图案拼接4个三角形，木棒总数是9根。观察可以发现，每新增1个三角形，只需要新增2根木棒（相邻三角形会共用1条边，不需要额外加3根），由此可以推导出第n个图案对应的木棒总数的通用表达式。之后我们假设存在某个图案一共用了100根木棒，把木棒数代入表达式列方程求解，判断解是否为正整数（图案的序号必须是正整数），就能得出结论。
【解析】
解：首先统计前几个图案的木棒数，推导规律：
第1个图案：木棒数为$3 = 2×1 + 1$
第2个图案：木棒数为$5 = 2×2 + 1$
第3个图案：木棒数为$7 = 2×3 + 1$
第4个图案：木棒数为$9 = 2×4 + 1$
由此归纳可得：第n个图案使用的木棒总数为 $ 2n + 1 $。
假设存在某一个图案使用了100根木棒，令木棒总数等于100，列方程：
$ 2n + 1 = 100 $
解方程得：
$ 2n = 99 $
$ n = 49.5 $
由于图案的序号n必须是正整数，49.5不是正整数，不符合实际意义，因此不存在这样的图案。
【答案】
不可能，理由：设第n个图案用了100根木棒，则$2n+1=100$，解得$n=\frac{99}{2}=49.5$，不是正整数，不符合题意，所以按这种方式拼接出来的一个图案不可能用100根木棒。
【知识点】
图形规律探究，一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础的图形类规律探究问题，解题的核心是通过统计前序图案的木棒数量，归纳出木棒数与图案序号的关系式，再结合实际问题中序号必须为正整数的约束条件判断结果是否合理，解题时要注意相邻三角形共用边的特点，避免错误推导规律。
【难度系数】
0.7
我们先从给出的前4个图案入手，逐个统计每个图案使用的木棒数量：第1个图案是单个三角形，用了3根木棒；第2个图案拼接2个三角形，数出木棒总数是5根；第3个图案拼接3个三角形，木棒总数是7根；第4个图案拼接4个三角形，木棒总数是9根。观察可以发现，每新增1个三角形，只需要新增2根木棒（相邻三角形会共用1条边，不需要额外加3根），由此可以推导出第n个图案对应的木棒总数的通用表达式。之后我们假设存在某个图案一共用了100根木棒，把木棒数代入表达式列方程求解，判断解是否为正整数（图案的序号必须是正整数），就能得出结论。
【解析】
解：首先统计前几个图案的木棒数，推导规律：
第1个图案：木棒数为$3 = 2×1 + 1$
第2个图案：木棒数为$5 = 2×2 + 1$
第3个图案：木棒数为$7 = 2×3 + 1$
第4个图案：木棒数为$9 = 2×4 + 1$
由此归纳可得：第n个图案使用的木棒总数为 $ 2n + 1 $。
假设存在某一个图案使用了100根木棒，令木棒总数等于100，列方程：
$ 2n + 1 = 100 $
解方程得：
$ 2n = 99 $
$ n = 49.5 $
由于图案的序号n必须是正整数，49.5不是正整数，不符合实际意义，因此不存在这样的图案。
【答案】
不可能，理由：设第n个图案用了100根木棒，则$2n+1=100$，解得$n=\frac{99}{2}=49.5$，不是正整数，不符合题意，所以按这种方式拼接出来的一个图案不可能用100根木棒。
【知识点】
图形规律探究，一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础的图形类规律探究问题，解题的核心是通过统计前序图案的木棒数量，归纳出木棒数与图案序号的关系式，再结合实际问题中序号必须为正整数的约束条件判断结果是否合理，解题时要注意相邻三角形共用边的特点，避免错误推导规律。
【难度系数】
0.7
