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1. (2025·玄武区期末)若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{a}{x - 1}-\frac{x}{2(x - 1)} = 1$ 有增根，则 $ a $ 的值是 （
A.1
B.2
C.0
D.$\frac{1}{2}$
A.1
B.2
C.0
D.$\frac{1}{2}$
答案
1. D
2. 若分式方程 $\frac{2}{x - 1}=1-\frac{m}{x - 1}$ 的解为正数，则 $ m $ 的取值范围为 （
A.$ m ＞ - 3 $
B.$ m ＞ - 3 $ 且 $ m ≠ - 2 $
C.$ m ＜ 3 $
D.$ m ＜ 3 $ 且 $ m ≠ - 2 $
A.$ m ＞ - 3 $
B.$ m ＞ - 3 $ 且 $ m ≠ - 2 $
C.$ m ＜ 3 $
D.$ m ＜ 3 $ 且 $ m ≠ - 2 $
答案
2. B
3. 若点 $ Q(x,y) $ 满足 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}$，则称点 $ Q $ 为“美好点”. 写出一个“美好点”的坐标：
$(2,-1)$(答案不唯一)
.答案
3. $(2,-1)$(答案不唯一)
4. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{x + m}{x - 2}+\frac{1}{2 - x}=3$ 无解，则 $ m $ 的值为
$-1$
.答案
4. $-1$
5. 解方程：
(1) $\frac{3}{x - 1}=\frac{4}{x}$；
(2) $\frac{x - 8}{x - 7}-\frac{1}{7 - x}=8$；
(3) $\frac{1}{x - 3}-2=\frac{3x}{3 - x}$；
(4) $\frac{1}{x - 2}=\frac{1 - x}{2 - x}-3$.
(1) $\frac{3}{x - 1}=\frac{4}{x}$；
(2) $\frac{x - 8}{x - 7}-\frac{1}{7 - x}=8$；
(3) $\frac{1}{x - 3}-2=\frac{3x}{3 - x}$；
(4) $\frac{1}{x - 2}=\frac{1 - x}{2 - x}-3$.
答案
5. 解: (1) 方程两边同乘 $x(x - 1)$，得 $3x = 4(x - 1)$，
解这个方程，得 $x = 4$。
检验: 当 $x = 4$ 时，$x(x - 1) ≠ 0$。
$\therefore$ 原方程的解是 $x = 4$。
(2) 方程两边同乘 $x - 7$，得 $x - 8 + 1 = 8(x - 7)$，
解这个方程，得 $x = 7$。
检验: 当 $x = 7$ 时，$x - 7 = 0$，$x = 7$ 是增根。
$\therefore$ 原方程无解。
(3) 方程两边同乘 $x - 3$，得 $1 - 2(x - 3) = - 3x$，
解这个方程，得 $x = - 7$。
检验: 当 $x = - 7$ 时，$x - 3 ≠ 0$。
$\therefore$ 原方程的解为 $x = - 7$。
(4) 方程两边同乘 $x - 2$，得 $1 = x - 1 - 3(x - 2)$，
解这个方程，得 $x = 2$。
检验: 当 $x = 2$ 时，$x - 2 = 0$，$x = 2$ 是增根。
$\therefore$ 原方程无解。
解这个方程，得 $x = 4$。
检验: 当 $x = 4$ 时，$x(x - 1) ≠ 0$。
$\therefore$ 原方程的解是 $x = 4$。
(2) 方程两边同乘 $x - 7$，得 $x - 8 + 1 = 8(x - 7)$，
解这个方程，得 $x = 7$。
检验: 当 $x = 7$ 时，$x - 7 = 0$，$x = 7$ 是增根。
$\therefore$ 原方程无解。
(3) 方程两边同乘 $x - 3$，得 $1 - 2(x - 3) = - 3x$，
解这个方程，得 $x = - 7$。
检验: 当 $x = - 7$ 时，$x - 3 ≠ 0$。
$\therefore$ 原方程的解为 $x = - 7$。
(4) 方程两边同乘 $x - 2$，得 $1 = x - 1 - 3(x - 2)$，
解这个方程，得 $x = 2$。
检验: 当 $x = 2$ 时，$x - 2 = 0$，$x = 2$ 是增根。
$\therefore$ 原方程无解。
6. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2m + x}{x - 3}-\frac{2}{x}=1$ 有增根，则此分式方程的增根为 （
A.0
B.3
C.3 或 0
D.- 1 或 3
A.0
B.3
C.3 或 0
D.- 1 或 3
答案
6. B
7. 若关于 $ x $ 的方程 $\frac{2x + m}{x - 3}+\frac{x - 2}{3 - x}=2$ 的解是非负数，则 $ m $ 的取值范围为
$m ≥ - 8$ 且 $m ≠ - 5$
.答案
7. $m ≥ - 8$ 且 $m ≠ - 5$
8. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{mx}{x - 3}-3=\frac{5}{3 - x}$ 无解，则 $ m $ 的值为
$3$ 或 $- \frac{5}{3}$
.答案
8. $3$ 或 $- \frac{5}{3}$
9. 解方程：
(1) $\frac{2}{x}+\frac{x}{x + 3}=1$；
(2) $\frac{1}{x - 1}-\frac{2}{x + 1}=\frac{4}{x^{2}-1}$；
(3) $\frac{x}{x + 2}+\frac{3}{x - 3}=1$；
(4) $\frac{1}{x - 2}+\frac{1 - x}{2 - x}=3$.
(1) $\frac{2}{x}+\frac{x}{x + 3}=1$；
(2) $\frac{1}{x - 1}-\frac{2}{x + 1}=\frac{4}{x^{2}-1}$；
(3) $\frac{x}{x + 2}+\frac{3}{x - 3}=1$；
(4) $\frac{1}{x - 2}+\frac{1 - x}{2 - x}=3$.
答案
9. 解: (1) 方程两边同乘 $x(x + 3)$，
得 $2(x + 3) + x^{2} = x(x + 3)$，
解这个方程，得 $x = 6$。
检验: 当 $x = 6$ 时，$x(x + 3) ≠ 0$，
$\therefore$ 原方程的解是 $x = 6$。
(2) 方程两边同乘 $(x - 1)(x + 1)$，
得 $(x + 1) - 2(x - 1) = 4$，
解这个方程，得 $x = - 1$。
检验: 当 $x = - 1$ 时，$x^{2} - 1 = 0$，$x = - 1$ 是增根。
$\therefore$ 原方程无解。
(3) 方程两边同乘 $(x + 2)(x - 3)$，得
$x(x - 3) + 3(x + 2) = (x + 2)(x - 3)$，
解这个方程，得 $x = - 12$。
检验: 当 $x = - 12$ 时，$(x + 2)(x - 3) ≠ 0$，
$\therefore$ 原方程的解是 $x = - 12$。
(4) 方程两边同乘 $x - 2$，得 $1 + x - 1 = 3x - 6$，
解这个方程，得 $x = 3$。
检验: 当 $x = 3$ 时，$x - 2 ≠ 0$，
$\therefore$ 原方程的解是 $x = 3$。
得 $2(x + 3) + x^{2} = x(x + 3)$，
解这个方程，得 $x = 6$。
检验: 当 $x = 6$ 时，$x(x + 3) ≠ 0$，
$\therefore$ 原方程的解是 $x = 6$。
(2) 方程两边同乘 $(x - 1)(x + 1)$，
得 $(x + 1) - 2(x - 1) = 4$，
解这个方程，得 $x = - 1$。
检验: 当 $x = - 1$ 时，$x^{2} - 1 = 0$，$x = - 1$ 是增根。
$\therefore$ 原方程无解。
(3) 方程两边同乘 $(x + 2)(x - 3)$，得
$x(x - 3) + 3(x + 2) = (x + 2)(x - 3)$，
解这个方程，得 $x = - 12$。
检验: 当 $x = - 12$ 时，$(x + 2)(x - 3) ≠ 0$，
$\therefore$ 原方程的解是 $x = - 12$。
(4) 方程两边同乘 $x - 2$，得 $1 + x - 1 = 3x - 6$，
解这个方程，得 $x = 3$。
检验: 当 $x = 3$ 时，$x - 2 ≠ 0$，
$\therefore$ 原方程的解是 $x = 3$。
