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9. 分式$\frac{7}{x - 2}$与$\frac{x}{2 - x}$的和为$4$,则$x$的值为
3
.答案
9. 3
10. 若分式方程$\frac{x}{x - 1}=3-\frac{mx}{1 - x}$的解为正整数,则整数$m$的值为
$-1$
.答案
10. $ -1 $
11. 解方程：
(1)$\frac{2x - 5}{x - 2}=\frac{3x - 3}{x - 2}-3$；
(2)$\frac{x}{x - 1}=\frac{3}{2(x - 1)}-2$；
(3)$\frac{9}{3 + x}=\frac{6}{3 - x}$；
(4)$\frac{x}{x - 2}-1=\frac{4}{x^{2}-4x + 4}$.
(1)$\frac{2x - 5}{x - 2}=\frac{3x - 3}{x - 2}-3$；
(2)$\frac{x}{x - 1}=\frac{3}{2(x - 1)}-2$；
(3)$\frac{9}{3 + x}=\frac{6}{3 - x}$；
(4)$\frac{x}{x - 2}-1=\frac{4}{x^{2}-4x + 4}$.
答案
11. 解：(1) 方程两边同乘 $ x - 2 $，得 $ 2x - 5 = 3x - 3 - 3(x - 2) $，解这个方程，得 $ x = 4 $。检验：当 $ x = 4 $ 时，$ x - 2 ≠ 0 $。$ \therefore $ 原方程的解是 $ x = 4 $。(2) 方程两边同乘 $ 2(x - 1) $，得 $ 2x = 3 - 4(x - 1) $，解这个方程，得 $ x = \frac{7}{6} $。检验：当 $ x = \frac{7}{6} $ 时，$ 2(x - 1) ≠ 0 $。$ \therefore $ 原方程的解为 $ x = \frac{7}{6} $。(3) 方程两边同乘 $ (3 + x)(3 - x) $，得 $ 9(3 - x) = 6(3 + x) $，解这个方程，得 $ x = \frac{3}{5} $。检验：当 $ x = \frac{3}{5} $ 时，$ (3 + x)(3 - x) ≠ 0 $。$ \therefore $ 原方程的解为 $ x = \frac{3}{5} $。(4) 方程两边同乘 $ (x - 2)^{2} $，得 $ x(x - 2) - (x - 2)^{2} = 4 $，解这个方程，得 $ x = 4 $。检验：当 $ x = 4 $ 时，$ (x - 2)^{2} ≠ 0 $。$ \therefore $ 原方程的解为 $ x = 4 $。
12. 已知$y=\frac{x}{x^{2}-x}÷\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x + 1}-\frac{2}{x + 1}$.当$x$为何值时,$y$的值为$\frac{1}{3}$？
答案
12. 解：根据题意，得 $ \frac{x}{x^{2} - x} ÷ \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2x + 1} - \frac{2}{x + 1} = \frac{1}{3} $，$ \frac{x}{x(x - 1)} · \frac{(x - 1)^{2}}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{2}{x + 1} = \frac{1}{3} $，即 $ -\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{3} $，解得 $ x = -4 $。检验：当 $ x = -4 $ 时，$ x(x - 1)(x + 1) ≠ 0 $。$ \therefore $ 原方程的解为 $ x = -4 $。$ \therefore $ 当 $ x = -4 $ 时，$ y $ 的值为 $ \frac{1}{3} $。
13. (2025·宿豫期中)定义$a\otimes b = 2a+\frac{1}{b}$.根据定义,解答下列问题：
(1)$2\otimes(-1)=$
(2)计算：$\frac{1}{x - y}\otimes(x + y)-\frac{1}{x + y}\otimes(x - y)$；
(3)求方程$2\otimes(x - 2)=1\otimes(4 - 2x)$的解.
(1)$2\otimes(-1)=$
3
；(2)计算：$\frac{1}{x - y}\otimes(x + y)-\frac{1}{x + y}\otimes(x - y)$；
(3)求方程$2\otimes(x - 2)=1\otimes(4 - 2x)$的解.
答案
13. (1) 3
(2) 解：$ \because a \otimes b = 2a + \frac{1}{b} $，$ \therefore $ 原式 $ = \frac{2}{x - y} + \frac{1}{x + y} - \frac{2}{x + y} - \frac{1}{x - y} = \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} = \frac{x + y - x + y}{(x + y)(x - y)} = \frac{2y}{x^{2} - y^{2}} $。
(3) 解：由题意，得 $ 4 + \frac{1}{x - 2} = 2 + \frac{1}{4 - 2x} $，解得 $ x = \frac{5}{4} $，检验：当 $ x = \frac{5}{4} $ 时，$ 4 - 2x ≠ 0 $。$ \therefore $ 原方程的解为 $ x = \frac{5}{4} $。
(2) 解：$ \because a \otimes b = 2a + \frac{1}{b} $，$ \therefore $ 原式 $ = \frac{2}{x - y} + \frac{1}{x + y} - \frac{2}{x + y} - \frac{1}{x - y} = \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} = \frac{x + y - x + y}{(x + y)(x - y)} = \frac{2y}{x^{2} - y^{2}} $。
(3) 解：由题意，得 $ 4 + \frac{1}{x - 2} = 2 + \frac{1}{4 - 2x} $，解得 $ x = \frac{5}{4} $，检验：当 $ x = \frac{5}{4} $ 时，$ 4 - 2x ≠ 0 $。$ \therefore $ 原方程的解为 $ x = \frac{5}{4} $。
