10. 如图，点 $ A,B $ 在数轴上，它们对应的数分别为 $-2,\frac{x}{x + 2}$.
(1) 若点 $ A,B $ 到原点的距离相等，求 $ x $ 的值；
(2) 若点 $ C $ 在数轴上对应的数为 $\frac{1}{2x + 4}$，且点 $ A,B $ 到点 $ C $ 的距离相等，求 $ x $ 的值.

10. 解: (1) 由题意得 $\frac{x}{x + 2} = 2$，解得 $x = - 4$。
检验: 当 $x = - 4$ 时，$x + 2 ≠ 0$。
$\therefore$ 原方程的解是 $x = - 4$，
故 $x$ 的值为 $- 4$。
(2) 由题意得 $\frac{x}{x + 2} - \frac{1}{2x + 4} = \frac{1}{2x + 4} - (- 2)$，
解得 $x = - 5$。
检验: 当 $x = - 5$ 时，$2(x + 2) ≠ 0$，
$\therefore$ 原方程的解是 $x = - 5$。$\therefore x$ 的值为 $- 5$。

11. 已知关于 $ x $ 的方程 $\frac{2}{x - 1}-\frac{mx}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{1}{x + 2}$.
(1) 若 $ m = 4 $，求方程的解；
(2) 若该方程无解，试求 $ m $ 的值.

11. 解: (1) 把 $m = 4$ 代入方程 $\frac{2}{x - 1} - \frac{mx}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{1}{x + 2}$，得 $\frac{2}{x - 1} - \frac{4x}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{1}{x + 2}$，
方程两边同乘 $(x - 1)(x + 2)$，得 $2(x + 2) - 4x = x - 1$，
解这个方程，得 $x = \frac{5}{3}$。
检验: 当 $x = \frac{5}{3}$ 时，$(x - 1)(x + 2) ≠ 0$，
$\therefore$ 原方程的解是 $x = \frac{5}{3}$。
即 $m = 4$ 时，方程的解是 $x = \frac{5}{3}$。
(2) 方程 $\frac{2}{x - 1} - \frac{mx}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{1}{x + 2}$ 两边同乘 $(x - 1) · (x + 2)$，得 $2(x + 2) - mx = x - 1$，①
整理得 $(1 - m)x = - 5$。②
第一种情况: 当 $x - 1 = 0$ 时，方程无解，此时 $x = 1$，
把 $x = 1$ 代入②，解得 $m = 6$；
第二种情况: 当 $x + 2 = 0$ 时，方程无解，此时 $x = - 2$，
把 $x = - 2$ 代入②，解得 $m = - \frac{3}{2}$；
第三种情况: $\because (1 - m)x = - 5$，
$\therefore$ 当 $1 - m = 0$ 时，方程无解，此时 $m = 1$。
综上可知，$m$ 的值为 $6$ 或 $- \frac{3}{2}$ 或 $1$。

12. 已知关于 $ x $ 的方程 $\frac{2x}{x - 2}+\frac{m}{x - 2}=3$.
(1) 当 $ m $ 取何值时，此方程的解为 $ x = 3 $?
(2) 当 $ m $ 取何值时，此方程会产生增根?
(3) 当此方程的解是正数时，求 $ m $ 的取值范围.

12. 解: (1) 把 $x = 3$ 代入方程 $\frac{2x}{x - 2} + \frac{m}{x - 2} = 3$，
得 $6 + m = 3$，解得 $m = - 3$。
(2) 方程两边同乘 $x - 2$，得 $2x + m = 3x - 6$，
解得 $x = m + 6$。
$\because$ 方程的增根为 $x = 2$，$\therefore m + 6 = 2$，解得 $m = - 4$。
(3) 由 (2) 知 $x = m + 6$。
$\because x ＞ 0$，$\therefore m + 6 ＞ 0$，解得 $m ＞ - 6$。
$\because x ≠ 2$，即 $m + 6 ≠ 2$，$\therefore m ≠ - 4$，
$\therefore m$ 的取值范围是 $m ＞ - 6$ 且 $m ≠ - 4$。