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三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答应写出过程)
17. (8分)计算:(1)$\sqrt{18} - \sqrt{12} × \frac{\sqrt{2}}{2}$; (2)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{2} + (\sqrt{6} - 1)^2$.
17. (8分)计算:(1)$\sqrt{18} - \sqrt{12} × \frac{\sqrt{2}}{2}$; (2)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{2} + (\sqrt{6} - 1)^2$.
答案
17. 【点拨】本题考查二次根式的运算.
【解析】(1)$\sqrt{18} - \sqrt{12} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$.
(2)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{2} + (\sqrt{6} - 1)^2 = \sqrt{\frac{48}{2}} + 6 - 2\sqrt{6} + 1 = \sqrt{24} + 6 - 2\sqrt{6} + 1 = 2\sqrt{6} + 6 - 2\sqrt{6} + 1 = 7$.
【解析】(1)$\sqrt{18} - \sqrt{12} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$.
(2)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{2} + (\sqrt{6} - 1)^2 = \sqrt{\frac{48}{2}} + 6 - 2\sqrt{6} + 1 = \sqrt{24} + 6 - 2\sqrt{6} + 1 = 2\sqrt{6} + 6 - 2\sqrt{6} + 1 = 7$.
解析
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题思路是：先遵循“先乘除后加减”的运算顺序，将每个二次根式化简为最简二次根式，再结合运算法则计算，最后合并同类二次根式。第(1)题先计算乘法部分，再与化简后的$\sqrt{18}$相减；第(2)题先计算除法，再用完全平方公式展开平方项，最后合并同类项。
【解析】(1) $\sqrt{18} - \sqrt{12} × \frac{\sqrt{2}}{2}$
$= 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{2}}{2}$
$= 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$；
(2) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{2} + (\sqrt{6} - 1)^2$
$= \sqrt{\frac{48}{2}} + (\sqrt{6})^2 - 2×\sqrt{6}×1 + 1^2$
$= \sqrt{24} + 6 - 2\sqrt{6} + 1$
$= 2\sqrt{6} + 6 - 2\sqrt{6} + 1$
$= 7$。
【答案】(1) $3\sqrt{2} - \sqrt{6}$；(2) $7$
【知识点】二次根式的混合运算，最简二次根式，完全平方公式
【点评】本题是二次根式运算的基础题，考查二次根式的化简、乘除加减运算及完全平方公式的应用，运算顺序和同类二次根式合并是解题核心，难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】0.7
【解析】(1) $\sqrt{18} - \sqrt{12} × \frac{\sqrt{2}}{2}$
$= 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{2}}{2}$
$= 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$；
(2) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{2} + (\sqrt{6} - 1)^2$
$= \sqrt{\frac{48}{2}} + (\sqrt{6})^2 - 2×\sqrt{6}×1 + 1^2$
$= \sqrt{24} + 6 - 2\sqrt{6} + 1$
$= 2\sqrt{6} + 6 - 2\sqrt{6} + 1$
$= 7$。
【答案】(1) $3\sqrt{2} - \sqrt{6}$；(2) $7$
【知识点】二次根式的混合运算，最简二次根式，完全平方公式
【点评】本题是二次根式运算的基础题，考查二次根式的化简、乘除加减运算及完全平方公式的应用，运算顺序和同类二次根式合并是解题核心，难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】0.7
18. (8分)如图,将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠,使C,A两点重合,点D落在点G处,已知$AB=4$,
$BC=8.$
(1)求证:$△ AEF$是等腰三角形;
(2)求线段FD的长.
$BC=8.$
(1)求证:$△ AEF$是等腰三角形;
(2)求线段FD的长.
答案
18. 【点拨】本题考查矩形的性质、翻折变换的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理.
【解析】(1)证明:由折叠的性质可知,$∠ AEF = ∠ CEF$,
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore AD// BC$,
$\therefore ∠ AFE = ∠ CEF$,$\therefore ∠ AEF = ∠ AFE$,$\therefore AE = AF$,
$\therefore △ AEF$ 是等腰三角形.
(2)由折叠的性质可知,$AE = CE$,
设 $AE = CE = x$,则 $BE = BC - CE = 8 - x$,
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$AB^2 + BE^2 = AE^2$,即 $4^2 + (8 - x)^2 = x^2$,
解得 $x = 5$.
$\therefore AE = AF = 5$,$\therefore FD = AD - AF = BC - AF = 8 - 5 = 3$.
【解析】(1)证明:由折叠的性质可知,$∠ AEF = ∠ CEF$,
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore AD// BC$,
$\therefore ∠ AFE = ∠ CEF$,$\therefore ∠ AEF = ∠ AFE$,$\therefore AE = AF$,
$\therefore △ AEF$ 是等腰三角形.
(2)由折叠的性质可知,$AE = CE$,
设 $AE = CE = x$,则 $BE = BC - CE = 8 - x$,
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$AB^2 + BE^2 = AE^2$,即 $4^2 + (8 - x)^2 = x^2$,
解得 $x = 5$.
$\therefore AE = AF = 5$,$\therefore FD = AD - AF = BC - AF = 8 - 5 = 3$.
解析
【分析】
要解决本题，第(1)问需证明△AEF是等腰三角形，根据折叠性质可得∠AEF=∠CEF，再利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，进而推出∠AEF=∠AFE，即可证得两边相等；第(2)问求FD的长，需先求出AF的长度，利用折叠性质得AE=CE，设未知数结合勾股定理求出AE，再由AF=AE，结合AD=BC，即可算出FD。
【解析】
(1) 证明：由折叠的性质，得∠AEF = ∠CEF。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠AFE = ∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠AEF = ∠AFE，
∴ AE = AF，即△AEF是等腰三角形。
(2) 解：由折叠的性质，得AE = CE。
设AE = CE = x，则BE = BC - CE = 8 - x。
在Rt△ABE中，根据勾股定理：AB² + BE² = AE²，
代入AB=4，得4² + (8 - x)² = x²，
计算得：16 + 64 - 16x + x² = x²，
化简得：80 - 16x = 0，解得x = 5。
由(1)知AF = AE = 5，又
∵ AD = BC = 8，
∴ FD = AD - AF = 8 - 5 = 3。
【答案】(1) △AEF是等腰三角形；(2) FD的长为3。
【知识点】矩形性质、翻折变换、勾股定理
【点评】本题结合矩形折叠的几何变换，考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，解题关键是利用折叠性质找到相等的线段和角，结合矩形性质建立等量关系，难度适中。
【难度系数】0.5
要解决本题，第(1)问需证明△AEF是等腰三角形，根据折叠性质可得∠AEF=∠CEF，再利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，进而推出∠AEF=∠AFE，即可证得两边相等；第(2)问求FD的长，需先求出AF的长度，利用折叠性质得AE=CE，设未知数结合勾股定理求出AE，再由AF=AE，结合AD=BC，即可算出FD。
【解析】
(1) 证明：由折叠的性质，得∠AEF = ∠CEF。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠AFE = ∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠AEF = ∠AFE，
∴ AE = AF，即△AEF是等腰三角形。
(2) 解：由折叠的性质，得AE = CE。
设AE = CE = x，则BE = BC - CE = 8 - x。
在Rt△ABE中，根据勾股定理：AB² + BE² = AE²，
代入AB=4，得4² + (8 - x)² = x²，
计算得：16 + 64 - 16x + x² = x²，
化简得：80 - 16x = 0，解得x = 5。
由(1)知AF = AE = 5，又
∵ AD = BC = 8，
∴ FD = AD - AF = 8 - 5 = 3。
【答案】(1) △AEF是等腰三角形；(2) FD的长为3。
【知识点】矩形性质、翻折变换、勾股定理
【点评】本题结合矩形折叠的几何变换，考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，解题关键是利用折叠性质找到相等的线段和角，结合矩形性质建立等量关系，难度适中。
【难度系数】0.5
19. (8分)某中学为了解学生对探月工程知识的掌握情况,随机抽取部分学生进行测试,并对成绩(百分制)进行整理,信息如下:
答案
解：
(1) 本次抽取的学生总人数为 $ 2 ÷ 0.04 = 50 $，
60≤x＜70这一组的频数为 $ 50 × 0.16 = 8 $。
(2) 80≤x＜90这一组的频数为 $ 50 × 0.32 = 16 $，
各组频数依次为2，8，20，16，8。
将50名学生的成绩从小到大排列，中位数为第25、第26个数据的平均数。
前两组累计频数为 $ 2+8=10 $，前三组累计频数为 $ 10+20=30 $，因此第25、第26个数据均落在70≤x＜80这一组。
70≤x＜80组的成绩从小到大排列，第15、第16个数据分别为78、78，
因此本次测试成绩的中位数为 $ \frac{78+78}{2} = 78 $。
(3) 样本中成绩不低于80分的频率为 $ \frac{16+8}{50} = 0.48 $，
估计该校优秀学生人数为 $ 1200 × 0.48 = 576 $。
答：估计该校优秀的学生人数为576人。
(1) 本次抽取的学生总人数为 $ 2 ÷ 0.04 = 50 $，
60≤x＜70这一组的频数为 $ 50 × 0.16 = 8 $。
(2) 80≤x＜90这一组的频数为 $ 50 × 0.32 = 16 $，
各组频数依次为2，8，20，16，8。
将50名学生的成绩从小到大排列，中位数为第25、第26个数据的平均数。
前两组累计频数为 $ 2+8=10 $，前三组累计频数为 $ 10+20=30 $，因此第25、第26个数据均落在70≤x＜80这一组。
70≤x＜80组的成绩从小到大排列，第15、第16个数据分别为78、78，
因此本次测试成绩的中位数为 $ \frac{78+78}{2} = 78 $。
(3) 样本中成绩不低于80分的频率为 $ \frac{16+8}{50} = 0.48 $，
估计该校优秀学生人数为 $ 1200 × 0.48 = 576 $。
答：估计该校优秀的学生人数为576人。
解析
【分析】本题为统计综合题，分三小问求解：①第(1)问利用“总人数=频数÷频率”“频数=总人数×频率”，先由已知组的频数和频率算出抽取总人数，再求60≤x＜70组的频数；②第(2)问，中位数是排序后中间位置的数，总人数50为偶数，需找第25、26个数据，通过累计频数确定其所在组，再计算中位数；③第(3)问用样本频率估计总体，先算样本中不低于80分的频率，再乘该校总人数得优秀人数。
【解析】解：
(1) 抽取的学生总人数：$2÷0.04=50$；
60≤x＜70组的频数：$50×0.16=8$。
(2) 80≤x＜90组的频数：$50×0.32=16$，各组频数为2，8，20，16，8。
50个数据的中位数是第25、26个数据的平均数；
前两组累计频数：$2+8=10$，前三组累计频数：$10+20=30$，故第25、26个数据在70≤x＜80组；
该组内第15、16个数据为78、78，因此中位数：$\frac{78+78}{2}=78$。
(3) 样本中成绩不低于80分的频率：$\frac{16+8}{50}=0.48$；
估计该校优秀学生人数：$1200×0.48=576$。
答：估计该校优秀的学生人数为576人。
【答案】576人
【知识点】频数与频率、中位数、用样本估计总体
【点评】本题考查统计基础知识点，题型常规，步骤清晰，需掌握频数与频率的关系、中位数计算方法及样本估计总体的思想，属于易得分的统计题。
【难度系数】0.7
【解析】解：
(1) 抽取的学生总人数：$2÷0.04=50$；
60≤x＜70组的频数：$50×0.16=8$。
(2) 80≤x＜90组的频数：$50×0.32=16$，各组频数为2，8，20，16，8。
50个数据的中位数是第25、26个数据的平均数；
前两组累计频数：$2+8=10$，前三组累计频数：$10+20=30$，故第25、26个数据在70≤x＜80组；
该组内第15、16个数据为78、78，因此中位数：$\frac{78+78}{2}=78$。
(3) 样本中成绩不低于80分的频率：$\frac{16+8}{50}=0.48$；
估计该校优秀学生人数：$1200×0.48=576$。
答：估计该校优秀的学生人数为576人。
【答案】576人
【知识点】频数与频率、中位数、用样本估计总体
【点评】本题考查统计基础知识点，题型常规，步骤清晰，需掌握频数与频率的关系、中位数计算方法及样本估计总体的思想，属于易得分的统计题。
【难度系数】0.7
a. 成绩频数分布表：
b. 成绩在$70≤x＜80$这一组的具体分数是(单位:分)：
请根据以上信息回答下列问题：
(1)本次测试共抽取了
(2)本次测试成绩的中位数是
(3)若成绩在80分及以上为优秀,该学校总共有3 000名学生,估计该学校成绩优秀的学生有多少名？
b. 成绩在$70≤x＜80$这一组的具体分数是(单位:分)：
请根据以上信息回答下列问题：
(1)本次测试共抽取了
50
名学生；(2)本次测试成绩的中位数是
78.5
；(3)若成绩在80分及以上为优秀,该学校总共有3 000名学生,估计该学校成绩优秀的学生有多少名？
答案
19. 【点拨】本题考查频数分布表,中位数的定义,用样本估计总体.
【解析】(1)本次测试共抽取的学生人数为 $7 + 9 + 12 + 16 + 6 = 50$(名). 故答案为 50.
(2)把 50 名学生的成绩按从小到大排列,最中间第 25 位和第 26 位的数据分别是 78,79.
$\therefore$ 本次测试成绩的中位数是 $\frac{78 + 79}{2}=78.5$. 故答案为 78.5.
(3)$3\ 000 × \frac{16 + 6}{50} = 1\ 320$(名).
答:估计该学校成绩优秀的学生有 1 320 名.
【解析】(1)本次测试共抽取的学生人数为 $7 + 9 + 12 + 16 + 6 = 50$(名). 故答案为 50.
(2)把 50 名学生的成绩按从小到大排列,最中间第 25 位和第 26 位的数据分别是 78,79.
$\therefore$ 本次测试成绩的中位数是 $\frac{78 + 79}{2}=78.5$. 故答案为 78.5.
(3)$3\ 000 × \frac{16 + 6}{50} = 1\ 320$(名).
答:估计该学校成绩优秀的学生有 1 320 名.
解析
【分析】
要解决这三个问题，需结合统计相关知识逐步分析：
1. 求抽取的学生总数，需将成绩频数分布表中各组的频数相加求和；
2. 求中位数时，因数据总数为偶数，中位数是排序后中间两个数的平均数，需确定第25、26位对应的成绩；
3. 估计优秀学生数，需先算出样本中80分及以上的人数占比，再乘以学校总人数。
【解析】
(1) 本次测试抽取的学生总数为各组频数之和：$7 + 9 + 12 + 16 + 6 = 50$（名）；
(2) 50名学生的成绩按从小到大排列，中位数是第25位和第26位数据的平均数，由题意得这两个数据为78和79，故中位数为$\frac{78 + 79}{2} = 78.5$；
(3) 样本中成绩优秀（80分及以上）的人数为$16 + 6 = 22$名，占比为$\frac{22}{50}$，因此估计学校优秀学生数为$3000 × \frac{22}{50} = 1320$（名）。
【答案】
(1)50；(2)78.5；(3)1320名
【知识点】
频数分布表、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计基础知识点的应用，步骤明确，需掌握频数求和、中位数计算、样本估计总体的方法，属于常规统计题型。
【难度系数】
0.7
要解决这三个问题，需结合统计相关知识逐步分析：
1. 求抽取的学生总数，需将成绩频数分布表中各组的频数相加求和；
2. 求中位数时，因数据总数为偶数，中位数是排序后中间两个数的平均数，需确定第25、26位对应的成绩；
3. 估计优秀学生数，需先算出样本中80分及以上的人数占比，再乘以学校总人数。
【解析】
(1) 本次测试抽取的学生总数为各组频数之和：$7 + 9 + 12 + 16 + 6 = 50$（名）；
(2) 50名学生的成绩按从小到大排列，中位数是第25位和第26位数据的平均数，由题意得这两个数据为78和79，故中位数为$\frac{78 + 79}{2} = 78.5$；
(3) 样本中成绩优秀（80分及以上）的人数为$16 + 6 = 22$名，占比为$\frac{22}{50}$，因此估计学校优秀学生数为$3000 × \frac{22}{50} = 1320$（名）。
【答案】
(1)50；(2)78.5；(3)1320名
【知识点】
频数分布表、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计基础知识点的应用，步骤明确，需掌握频数求和、中位数计算、样本估计总体的方法，属于常规统计题型。
【难度系数】
0.7
