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20. (8分)如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1$的解析式为$y = x + 1$,$l_1$与$x$轴交于点$C$,直线$l_2$经过点$A,B$,已知$A(2,0),B(0,4)$,直线$l_1$与$l_2$相交于点$P$.
(1)求直线$l_2$的解析式;
(2)求$△ ACP$的面积;
(3)直线$x = m$与$x$轴交于点$E$,与直线$l_1,l_2$分别交于点$M,N$.若点$M,N,E$中有两点关于第三个点对称,求$m$的值.
(1)求直线$l_2$的解析式;
(2)求$△ ACP$的面积;
(3)直线$x = m$与$x$轴交于点$E$,与直线$l_1,l_2$分别交于点$M,N$.若点$M,N,E$中有两点关于第三个点对称,求$m$的值.
答案
20. 【点拨】本题考查待定系数法求直线的解析式.
【解析】(1)设直线 $l_2$ 的解析式为 $y = kx + 4$,
则 $2k + 4 = 0$,解得 $k = -2$.
$\therefore$ 直线 $l_2$ 的解析式为 $y = -2x + 4$.
(2)在 $y = x + 1$ 中,令 $y = x + 1 = 0$,解得 $x = -1$,$\therefore C(-1,0)$.
联立 $\begin{cases}y = x + 1,\\y = -2x + 4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases}$
$\therefore P(1,2)$,$\therefore S_{△ ACP} = \frac{1}{2}AC × y_P = \frac{1}{2} × (2 + 1) × 2 = 3$.
(3)由题意得,$M(m,m + 1)$,$N(m,-2m + 4)$,$E(m,0)$.
当 $M,N$ 关于点 $E$ 对称时,$m + 1 + (-2m + 4) = 0$,解得 $m = 5$,
当 $M,E$ 关于点 $N$ 对称时,$m + 1 + 0 = 2(-2m + 4)$,解得 $m = \frac{7}{5}$,
当 $N,E$ 关于点 $M$ 对称时,$-2m + 4 + 0 = 2(m + 1)$,解得 $m = \frac{1}{2}$,
$\therefore m$ 的值为 5 或 $\frac{7}{5}$ 或 $\frac{1}{2}$.
【解析】(1)设直线 $l_2$ 的解析式为 $y = kx + 4$,
则 $2k + 4 = 0$,解得 $k = -2$.
$\therefore$ 直线 $l_2$ 的解析式为 $y = -2x + 4$.
(2)在 $y = x + 1$ 中,令 $y = x + 1 = 0$,解得 $x = -1$,$\therefore C(-1,0)$.
联立 $\begin{cases}y = x + 1,\\y = -2x + 4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases}$
$\therefore P(1,2)$,$\therefore S_{△ ACP} = \frac{1}{2}AC × y_P = \frac{1}{2} × (2 + 1) × 2 = 3$.
(3)由题意得,$M(m,m + 1)$,$N(m,-2m + 4)$,$E(m,0)$.
当 $M,N$ 关于点 $E$ 对称时,$m + 1 + (-2m + 4) = 0$,解得 $m = 5$,
当 $M,E$ 关于点 $N$ 对称时,$m + 1 + 0 = 2(-2m + 4)$,解得 $m = \frac{7}{5}$,
当 $N,E$ 关于点 $M$ 对称时,$-2m + 4 + 0 = 2(m + 1)$,解得 $m = \frac{1}{2}$,
$\therefore m$ 的值为 5 或 $\frac{7}{5}$ 或 $\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题是一次函数的综合应用，解题思路如下：
1. 求直线$l_2$的解析式：已知$l_2$过$A(2,0)$和$B(0,4)$，用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入$B$点得$b=4$，再代入$A$点求$k$即可。
2. 求$△ ACP$的面积：先求$l_1$与$x$轴交点$C$的坐标，再联立$l_1$和$l_2$的方程得交点$P$的坐标，$△ ACP$以$AC$为底，$P$的纵坐标为高，用三角形面积公式计算。
3. 求$m$的值：直线$x=m$上的$M、N、E$三点横坐标均为$m$，分别写出三点坐标，分三种情况（$M、N$关于$E$对称；$M、E$关于$N$对称；$N、E$关于$M$对称），利用中点坐标公式列方程求解。
【解析】
(1) 设直线$l_2$的解析式为$y=kx+b$，
因为$l_2$过$B(0,4)$，所以$b=4$，即$y=kx+4$。
又$l_2$过$A(2,0)$，代入得$2k + 4 = 0$，解得$k=-2$。
$\therefore$ 直线$l_2$的解析式为$y=-2x + 4$。
(2) 在$y=x + 1$中，令$y=0$，则$x + 1 = 0$，解得$x=-1$，$\therefore C(-1,0)$。
联立$\begin{cases}y=x + 1\\y=-2x + 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$，$\therefore P(1,2)$。
$AC$的长度为$2 - (-1)=3$，$△ ACP$的高为$P$的纵坐标$2$，
$\therefore S_{△ ACP}=\frac{1}{2}×AC×2=\frac{1}{2}×3×2=3$。
(3) 由题意得，$M(m,m + 1)$，$N(m,-2m + 4)$，$E(m,0)$。
分三种情况讨论：
① 当$M、N$关于点$E$对称时，中点坐标公式：$\frac{y_M + y_N}{2}=y_E$，即$\frac{(m + 1)+(-2m + 4)}{2}=0$，化简得$-m + 5=0$，解得$m=5$；
② 当$M、E$关于点$N$对称时，$\frac{y_M + y_E}{2}=y_N$，即$\frac{(m + 1)+0}{2}=-2m + 4$，化简得$m + 1=-4m + 8$，解得$m=\frac{7}{5}$；
③ 当$N、E$关于点$M$对称时，$\frac{y_N + y_E}{2}=y_M$，即$\frac{(-2m + 4)+0}{2}=m + 1$，化简得$-m + 2=m + 1$，解得$m=\frac{1}{2}$。
综上，$m$的值为$5$或$\frac{7}{5}$或$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $y=-2x + 4$；(2) $3$；(3) $5$或$\frac{7}{5}$或$\frac{1}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点，点的对称（中点坐标公式）
【点评】
本题综合考查一次函数的核心知识点，涵盖待定系数法、函数交点、三角形面积计算及点的对称性质，第三问需分情况讨论避免漏解，是一次函数的典型综合题。
【难度系数】
0.5
本题是一次函数的综合应用，解题思路如下：
1. 求直线$l_2$的解析式：已知$l_2$过$A(2,0)$和$B(0,4)$，用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入$B$点得$b=4$，再代入$A$点求$k$即可。
2. 求$△ ACP$的面积：先求$l_1$与$x$轴交点$C$的坐标，再联立$l_1$和$l_2$的方程得交点$P$的坐标，$△ ACP$以$AC$为底，$P$的纵坐标为高，用三角形面积公式计算。
3. 求$m$的值：直线$x=m$上的$M、N、E$三点横坐标均为$m$，分别写出三点坐标，分三种情况（$M、N$关于$E$对称；$M、E$关于$N$对称；$N、E$关于$M$对称），利用中点坐标公式列方程求解。
【解析】
(1) 设直线$l_2$的解析式为$y=kx+b$，
因为$l_2$过$B(0,4)$，所以$b=4$，即$y=kx+4$。
又$l_2$过$A(2,0)$，代入得$2k + 4 = 0$，解得$k=-2$。
$\therefore$ 直线$l_2$的解析式为$y=-2x + 4$。
(2) 在$y=x + 1$中，令$y=0$，则$x + 1 = 0$，解得$x=-1$，$\therefore C(-1,0)$。
联立$\begin{cases}y=x + 1\\y=-2x + 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$，$\therefore P(1,2)$。
$AC$的长度为$2 - (-1)=3$，$△ ACP$的高为$P$的纵坐标$2$，
$\therefore S_{△ ACP}=\frac{1}{2}×AC×2=\frac{1}{2}×3×2=3$。
(3) 由题意得，$M(m,m + 1)$，$N(m,-2m + 4)$，$E(m,0)$。
分三种情况讨论：
① 当$M、N$关于点$E$对称时，中点坐标公式：$\frac{y_M + y_N}{2}=y_E$，即$\frac{(m + 1)+(-2m + 4)}{2}=0$，化简得$-m + 5=0$，解得$m=5$；
② 当$M、E$关于点$N$对称时，$\frac{y_M + y_E}{2}=y_N$，即$\frac{(m + 1)+0}{2}=-2m + 4$，化简得$m + 1=-4m + 8$，解得$m=\frac{7}{5}$；
③ 当$N、E$关于点$M$对称时，$\frac{y_N + y_E}{2}=y_M$，即$\frac{(-2m + 4)+0}{2}=m + 1$，化简得$-m + 2=m + 1$，解得$m=\frac{1}{2}$。
综上，$m$的值为$5$或$\frac{7}{5}$或$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $y=-2x + 4$；(2) $3$；(3) $5$或$\frac{7}{5}$或$\frac{1}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点，点的对称（中点坐标公式）
【点评】
本题综合考查一次函数的核心知识点，涵盖待定系数法、函数交点、三角形面积计算及点的对称性质，第三问需分情况讨论避免漏解，是一次函数的典型综合题。
【难度系数】
0.5
21. (8分)如图是由小正方形组成的网格,每个小正方形的顶点叫作格点,点A是网格线上一点,点B,C是格点,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.
(1)在图1中,先画AC的中点D,再过点D画$DE// AB$,且$DE=AB$;
(2)在图2中,先过点B画$BF⊥ BC$,且$BF=BC$,再过点A画BC边上的高AG.
(1)在图1中,先画AC的中点D,再过点D画$DE// AB$,且$DE=AB$;
(2)在图2中,先过点B画$BF⊥ BC$,且$BF=BC$,再过点A画BC边上的高AG.
答案
21. 【点拨】本题考查网格的结构特征、应用与设计作图.
【解析】(1)如图 1,$DE$ 即为所求.
(2)如图 2,$BF$,$AG$ 即为所求.
解析
【分析】
本题是网格中的无刻度直尺作图题，需利用网格的格点特征及几何性质解题：
(1) 画AC中点D：在网格中，AC为格点间线段，可通过横、纵向格点数的平均值确定中点D；再利用网格竖直方向平行的特点，结合AB的方向，作DE平行AB且长度等于AB，AB为竖直方向，故DE也为竖直方向，长度与AB相等。
(2) 画BF⊥BC且BF=BC：先确定BC的斜率，根据垂直直线斜率乘积为-1，找到垂直于BC的方向，结合网格边长确定点F，使BF长度等于BC；画BC边上的高AG：根据BC的斜率，找到垂直于BC的方向，过点A作该方向线段，与BC交于G，即为高AG。
【解析】
(1) 步骤：① 连接AC，利用网格中点坐标性质，找到AC的中点D；② 过点D作竖直方向线段DE，使DE长度等于AB，此时DE//AB，DE即为所求。
(2) 步骤：① 确定BC的方向，从点B出发，作垂直于BC的线段BF，使BF长度等于BC，BF即为所求；② 根据BC的斜率，找到垂直于BC的方向，过点A作该方向线段，与BC交于点G，AG即为BC边上的高。
【答案】
21. 【点拨】本题考查网格的结构特征、应用与设计作图.
【解析】(1)如图 1,$DE$ 即为所求.
(2)如图 2,$BF$,$AG$ 即为所求.
【知识点】
网格作图、线段中点、平行线与垂线
【点评】
本题依托网格考查几何作图，需结合网格格点特征，运用线段中点、平行、垂直的性质完成作图，体现网格在几何作图中的工具性，考查学生的观察与几何应用能力。
【难度系数】
0.5
本题是网格中的无刻度直尺作图题，需利用网格的格点特征及几何性质解题：
(1) 画AC中点D：在网格中，AC为格点间线段，可通过横、纵向格点数的平均值确定中点D；再利用网格竖直方向平行的特点，结合AB的方向，作DE平行AB且长度等于AB，AB为竖直方向，故DE也为竖直方向，长度与AB相等。
(2) 画BF⊥BC且BF=BC：先确定BC的斜率，根据垂直直线斜率乘积为-1，找到垂直于BC的方向，结合网格边长确定点F，使BF长度等于BC；画BC边上的高AG：根据BC的斜率，找到垂直于BC的方向，过点A作该方向线段，与BC交于G，即为高AG。
【解析】
(1) 步骤：① 连接AC，利用网格中点坐标性质，找到AC的中点D；② 过点D作竖直方向线段DE，使DE长度等于AB，此时DE//AB，DE即为所求。
(2) 步骤：① 确定BC的方向，从点B出发，作垂直于BC的线段BF，使BF长度等于BC，BF即为所求；② 根据BC的斜率，找到垂直于BC的方向，过点A作该方向线段，与BC交于点G，AG即为BC边上的高。
【答案】
21. 【点拨】本题考查网格的结构特征、应用与设计作图.
【解析】(1)如图 1,$DE$ 即为所求.
(2)如图 2,$BF$,$AG$ 即为所求.
【知识点】
网格作图、线段中点、平行线与垂线
【点评】
本题依托网格考查几何作图，需结合网格格点特征，运用线段中点、平行、垂直的性质完成作图，体现网格在几何作图中的工具性，考查学生的观察与几何应用能力。
【难度系数】
0.5
