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8. 某地区用电量与应缴电费之间的关系如表,则下列说法错误的是(
A.用电量每增加1千瓦时,应缴电费增加0.55元
B.若用电量为8千瓦时,则应缴电费4.4元
C.若应缴电费为2.75元,则用电量为5千瓦时
D.若小明的应缴电费比小红多2元,则小明的用电量比小红的用电量多1.1千瓦时
D
).A.用电量每增加1千瓦时,应缴电费增加0.55元
B.若用电量为8千瓦时,则应缴电费4.4元
C.若应缴电费为2.75元,则用电量为5千瓦时
D.若小明的应缴电费比小红多2元,则小明的用电量比小红的用电量多1.1千瓦时
答案
8. D 【点拨】本题考查函数的表示方法,正比例函数的解析式、图象与性质.
【解析】观察表中数据可知,用电量每增加 1 千瓦时,应缴电费增加0.55 元,A 正确;设用电量为 $x$,应缴电费为 $y$,由表中数据可知,应缴电费与用电量的函数解析式为 $y=0.55x$. 当 $x=8$ 时,$y=4.4$,B 正确;当 $y=2.75$ 时,$0.55x=2.75$,解得 $x=5$,C 正确;若小明的应缴电费比小红多 2 元,则小明的用电量比小红的用电量多$\frac{2}{0.55}=\frac{40}{11}＞1.1$,D错误. 故选 D.
【解析】观察表中数据可知,用电量每增加 1 千瓦时,应缴电费增加0.55 元,A 正确;设用电量为 $x$,应缴电费为 $y$,由表中数据可知,应缴电费与用电量的函数解析式为 $y=0.55x$. 当 $x=8$ 时,$y=4.4$,B 正确;当 $y=2.75$ 时,$0.55x=2.75$,解得 $x=5$,C 正确;若小明的应缴电费比小红多 2 元,则小明的用电量比小红的用电量多$\frac{2}{0.55}=\frac{40}{11}＞1.1$,D错误. 故选 D.
解析
【分析】
本题需先根据表格数据确定用电量与应缴电费的正比例关系，得出函数解析式，再逐一验证各选项的正确性，找出错误说法。
【解析】
观察表格数据：用电量每增加1千瓦时，应缴电费增加0.55元，故A选项正确；
设用电量为$x$千瓦时，应缴电费为$y$元，由数据可知二者成正比例关系，函数解析式为$y = 0.55x$。
当$x=8$时，$y=0.55×8=4.4$元，故B选项正确；
当$y=2.75$时，代入解析式得$0.55x=2.75$，解得$x=5$，故C选项正确；
若应缴电费多2元，设用电量多$a$千瓦时，则$0.55a=2$，解得$a=\frac{40}{11}\approx3.64$千瓦时，并非1.1千瓦时，故D选项错误。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数应用、函数关系式
【点评】
本题结合实际场景考查正比例函数的应用，核心是确定函数解析式后验证各选项，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.3
本题需先根据表格数据确定用电量与应缴电费的正比例关系，得出函数解析式，再逐一验证各选项的正确性，找出错误说法。
【解析】
观察表格数据：用电量每增加1千瓦时，应缴电费增加0.55元，故A选项正确；
设用电量为$x$千瓦时，应缴电费为$y$元，由数据可知二者成正比例关系，函数解析式为$y = 0.55x$。
当$x=8$时，$y=0.55×8=4.4$元，故B选项正确；
当$y=2.75$时，代入解析式得$0.55x=2.75$，解得$x=5$，故C选项正确；
若应缴电费多2元，设用电量多$a$千瓦时，则$0.55a=2$，解得$a=\frac{40}{11}\approx3.64$千瓦时，并非1.1千瓦时，故D选项错误。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数应用、函数关系式
【点评】
本题结合实际场景考查正比例函数的应用，核心是确定函数解析式后验证各选项，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.3
9. 已知过点$(2,3)$的直线$y = ax + b(a≠0)$不经过第四象限，设$S = a + 2b$，则$S$的取值范围为（
A.$\dfrac{3}{2} ≤ S ＜ 6$
B.$-6 ＜ S ≤ -\dfrac{3}{2}$
C.$-6 ≤ S ≤ -\dfrac{3}{2}$
D.$3 ≤ S ≤ 6$
A
）。A.$\dfrac{3}{2} ≤ S ＜ 6$
B.$-6 ＜ S ≤ -\dfrac{3}{2}$
C.$-6 ≤ S ≤ -\dfrac{3}{2}$
D.$3 ≤ S ≤ 6$
答案
9. A 【点拨】本题考查直线过定点问题,直线在坐标系中的位置与系数的关系,数形结合思想.
【解析】如图,$\because$ 直线 $y = ax + b$($a ≠ 0$) 过点$(2,3)$且不经过第四象限,$\therefore$ 直线 $y = ax + b$只能在图中 $l_1$,$l_2$ 的位置中间,且 $l_1$ 经过坐标原点,$l_2$ 与 $x$ 轴平行,$2a + b = 3$,$a＞0$,$0≤ b≤3$,$\therefore b = 3 - 2a$,$\therefore S = a + 2b = 6 - 3a$,
$\therefore \begin{cases}a＞0,\\0≤3-2a≤3,\end{cases}$解得 $0 ＜ a ≤ \frac{3}{2}$,$\therefore -\frac{9}{2}≤ -3a ＜ 0$,$\therefore \frac{3}{2}≤ 6 - 3a ＜ 6$. 即 $\frac{3}{2}≤ S ＜ 6$. 故选 A.
解析
【分析】
首先，直线$y = ax + b(a≠0)$过点$(2,3)$，将点代入解析式可得$2a + b = 3$；其次，直线不经过第四象限，说明斜率$a＞0$，且截距$b≥0$；结合图像可知，直线介于$l_1$（过原点，即$b=0$）和$l_2$（$y=3$，即$b=3$）之间，又$a≠0$，故$b＜3$，$a≤\frac{3}{2}$。接下来用$a$表示$b$，代入$S=a + 2b$，结合$a$的取值范围即可求出$S$的范围。
【解析】
1. 因为直线$y = ax + b(a≠0)$过点$(2,3)$，将点代入解析式得：$2a + b = 3$，即$b = 3 - 2a$。
2. 直线不经过第四象限，所以斜率$a＞0$，且截距$b≥0$；结合图像，直线介于$l_1$（过原点，$b=0$）和$l_2$（$y=3$，$b=3$）之间，又$a≠0$，故$b＜3$，因此$b$的范围是$0≤b＜3$，对应的$a$的范围：由$b=3-2a≥0$得$a≤\frac{3}{2}$，结合$a＞0$，得$0＜a≤\frac{3}{2}$。
3. 将$b=3-2a$代入$S=a + 2b$，得：$S = a + 2(3 - 2a) = 6 - 3a$。
4. 由$0＜a≤\frac{3}{2}$，两边同乘$-3$（不等号方向改变）得：$-\frac{9}{2}≤ -3a ＜ 0$，两边加6得：$\frac{3}{2}≤ 6 - 3a ＜ 6$，即$\frac{3}{2}≤ S ＜ 6$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图像与系数关系、不等式应用
【点评】
本题结合一次函数图像性质，通过待定系数法建立系数关系，利用不等式求解取值范围，体现数形结合思想，需准确把握直线不经过第四象限的条件及图像对应的系数范围。
【难度系数】
0.5
首先，直线$y = ax + b(a≠0)$过点$(2,3)$，将点代入解析式可得$2a + b = 3$；其次，直线不经过第四象限，说明斜率$a＞0$，且截距$b≥0$；结合图像可知，直线介于$l_1$（过原点，即$b=0$）和$l_2$（$y=3$，即$b=3$）之间，又$a≠0$，故$b＜3$，$a≤\frac{3}{2}$。接下来用$a$表示$b$，代入$S=a + 2b$，结合$a$的取值范围即可求出$S$的范围。
【解析】
1. 因为直线$y = ax + b(a≠0)$过点$(2,3)$，将点代入解析式得：$2a + b = 3$，即$b = 3 - 2a$。
2. 直线不经过第四象限，所以斜率$a＞0$，且截距$b≥0$；结合图像，直线介于$l_1$（过原点，$b=0$）和$l_2$（$y=3$，$b=3$）之间，又$a≠0$，故$b＜3$，因此$b$的范围是$0≤b＜3$，对应的$a$的范围：由$b=3-2a≥0$得$a≤\frac{3}{2}$，结合$a＞0$，得$0＜a≤\frac{3}{2}$。
3. 将$b=3-2a$代入$S=a + 2b$，得：$S = a + 2(3 - 2a) = 6 - 3a$。
4. 由$0＜a≤\frac{3}{2}$，两边同乘$-3$（不等号方向改变）得：$-\frac{9}{2}≤ -3a ＜ 0$，两边加6得：$\frac{3}{2}≤ 6 - 3a ＜ 6$，即$\frac{3}{2}≤ S ＜ 6$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图像与系数关系、不等式应用
【点评】
本题结合一次函数图像性质，通过待定系数法建立系数关系，利用不等式求解取值范围，体现数形结合思想，需准确把握直线不经过第四象限的条件及图像对应的系数范围。
【难度系数】
0.5
10. 如图,在正方形ABCD中,E,F,G三点分别在边AD,AB,CD上,且△EFG为等边三角形.若AF=5,DG=6,则$\frac{AE}{DE}$的值为(
A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{7}{4}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
B
).A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{7}{4}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
10. B 【点拨】本题考查正方形的性质,等边三角形的性质,勾股定理,含$30°$角的直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质.
【解析】如图,在正方形 $ABCD$ 外部作 $∠ AFM=30°$,$∠ DGN=30°$,$FM$ 交 $DA$ 的延长线于点 $M$,$GN$ 交 $AD$ 的延长线于点 $N$,则 $∠ M = ∠ N = 90° - 30° = 60°$. $\because AF=5$,$DG=6$,
$\therefore$ 易得 $AM=\frac{5\sqrt{3}}{3}$,$MF=\frac{10\sqrt{3}}{3}$,$DN=2\sqrt{3}$,$NG=4\sqrt{3}$. 由题意得,$∠ FEG=∠ M=60°$,$EF=EG$. $\because ∠ FEN=∠ EFM + ∠ M = ∠ FEG + ∠ GEN$,
$\therefore ∠ EFM = ∠ GEN$,在 $△ EFM$ 和 $△ GEN$ 中,$\begin{cases}∠ M = ∠ N = 60°,\\∠ EFM = ∠ GEN,\\EF = GE,\end{cases}$
$\therefore △ EFM ≌ △ GEN(\mathrm{AAS})$,$\therefore ME=NG=4\sqrt{3}$,$MF=NE=\frac{10\sqrt{3}}{3}$,$\therefore AE=ME - AM=4\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$,$DE=NE - ND=\frac{10\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore \frac{AE}{DE}=\frac{7}{4}$. 故选 B.
解析
【分析】
要解决本题，需结合正方形和等边三角形的性质，通过构造辅助线转化问题。思路是：在正方形外部构造两个含30°角的直角三角形，利用等边三角形的角的关系证明两个三角形全等，得到对应边相等，再结合已知线段长度计算AE和DE，最终求出它们的比值。
【解析】
如图，在正方形 $ABCD$ 外部作 $∠AFM=30°$，$∠DGN=30°$，$FM$ 交 $DA$ 的延长线于点 $M$，$GN$ 交 $AD$ 的延长线于点 $N$，则 $∠M=∠N=90°-30°=60°$。
已知 $AF=5$，$DG=6$，在 $Rt△AFM$ 中，$∠AFM=30°$，由三角函数得：
$AM=AF·\tan30°=5×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$，$MF=\frac{AF}{\cos30°}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$；
在 $Rt△DGN$ 中，$∠DGN=30°$，同理得：
$DN=DG·\tan30°=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，$NG=\frac{DG}{\cos30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$。
因为 $△EFG$ 为等边三角形，所以 $EF=EG$，$∠FEG=60°$。
由三角形外角性质，$∠FEN=∠EFM + ∠M$，又 $∠FEN=∠FEG + ∠GEN$，故 $∠EFM=∠GEN$。
在 $△EFM$ 和 $△GEN$ 中：
$\begin{cases}∠M=∠N=60° \\∠EFM=∠GEN \\EF=GE\end{cases}$
所以 $△EFM≌△GEN(\mathrm{AAS})$，因此 $ME=NG=4\sqrt{3}$，$MF=NE=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。
计算得：
$AE=ME - AM=4\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
$DE=NE - ND=\frac{10\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故 $\frac{AE}{DE}=\frac{\frac{7\sqrt{3}}{3}}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=\frac{7}{4}$。
【答案】B
【知识点】正方形性质、等边三角形性质、全等三角形判定、解直角三角形
【点评】本题综合运用了正方形、等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及解直角三角形的知识，通过构造辅助线将分散的条件集中，是解决此类几何问题的关键，对学生的几何综合能力要求较高。
【难度系数】0.5
要解决本题，需结合正方形和等边三角形的性质，通过构造辅助线转化问题。思路是：在正方形外部构造两个含30°角的直角三角形，利用等边三角形的角的关系证明两个三角形全等，得到对应边相等，再结合已知线段长度计算AE和DE，最终求出它们的比值。
【解析】
如图，在正方形 $ABCD$ 外部作 $∠AFM=30°$，$∠DGN=30°$，$FM$ 交 $DA$ 的延长线于点 $M$，$GN$ 交 $AD$ 的延长线于点 $N$，则 $∠M=∠N=90°-30°=60°$。
已知 $AF=5$，$DG=6$，在 $Rt△AFM$ 中，$∠AFM=30°$，由三角函数得：
$AM=AF·\tan30°=5×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$，$MF=\frac{AF}{\cos30°}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$；
在 $Rt△DGN$ 中，$∠DGN=30°$，同理得：
$DN=DG·\tan30°=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，$NG=\frac{DG}{\cos30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$。
因为 $△EFG$ 为等边三角形，所以 $EF=EG$，$∠FEG=60°$。
由三角形外角性质，$∠FEN=∠EFM + ∠M$，又 $∠FEN=∠FEG + ∠GEN$，故 $∠EFM=∠GEN$。
在 $△EFM$ 和 $△GEN$ 中：
$\begin{cases}∠M=∠N=60° \\∠EFM=∠GEN \\EF=GE\end{cases}$
所以 $△EFM≌△GEN(\mathrm{AAS})$，因此 $ME=NG=4\sqrt{3}$，$MF=NE=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。
计算得：
$AE=ME - AM=4\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
$DE=NE - ND=\frac{10\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故 $\frac{AE}{DE}=\frac{\frac{7\sqrt{3}}{3}}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=\frac{7}{4}$。
【答案】B
【知识点】正方形性质、等边三角形性质、全等三角形判定、解直角三角形
【点评】本题综合运用了正方形、等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及解直角三角形的知识，通过构造辅助线将分散的条件集中，是解决此类几何问题的关键，对学生的几何综合能力要求较高。
【难度系数】0.5
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11. 化简: $\sqrt{45} =$
11. 化简: $\sqrt{45} =$
$3\sqrt{5}$
.答案
11. $3\sqrt{5}$ 【点拨】本题考查二次根式化简.
【解析】$\sqrt{45} = \sqrt{5×3^2}=3\sqrt{5}$. 故答案为 $3\sqrt{5}$.
【解析】$\sqrt{45} = \sqrt{5×3^2}=3\sqrt{5}$. 故答案为 $3\sqrt{5}$.
解析
【分析】化简二次根式时，需利用二次根式的性质，将被开方数分解出完全平方数的因数，把能开得尽方的因数开出来，得到最简二次根式。
【解析】先将被开方数45分解为9×5，其中9是完全平方数（3²），根据二次根式乘法性质√(ab)=√a·√b（a≥0，b≥0），可得√45=√(9×5)=√9×√5=3√5。
【答案】$3\sqrt{5}$
【知识点】二次根式化简
【点评】本题是基础的二次根式化简题，直接考查最简二次根式的化简方法，属于对基础知识的常规应用。
【难度系数】0.9
【解析】先将被开方数45分解为9×5，其中9是完全平方数（3²），根据二次根式乘法性质√(ab)=√a·√b（a≥0，b≥0），可得√45=√(9×5)=√9×√5=3√5。
【答案】$3\sqrt{5}$
【知识点】二次根式化简
【点评】本题是基础的二次根式化简题，直接考查最简二次根式的化简方法，属于对基础知识的常规应用。
【难度系数】0.9
12. 已知一次函数$y=-\dfrac{1}{3}x - 4$，当$-3≤ x≤ 3$时，$y$的最大值是________.
答案
12. $-3$ 【点拨】本题考查一次函数的图象与性质.
【解析】$\because -\frac{1}{3}＜0$,$\therefore y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore$ 当 $x = -3$ 时,$y$ 取最大值,最大值为 $-\frac{1}{3}×(-3)-4=1-4=-3$. 故答案为 $-3$.
【解析】$\because -\frac{1}{3}＜0$,$\therefore y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore$ 当 $x = -3$ 时,$y$ 取最大值,最大值为 $-\frac{1}{3}×(-3)-4=1-4=-3$. 故答案为 $-3$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用一次函数的增减性：对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此在给定的$x$取值范围内，$x$取最小值时，$y$取得最大值。本题先判断$k$的符号确定函数增减性，再结合$x$的范围找到对应最值的$x$值，最后代入计算即可。
【解析】
对于一次函数$y=-\dfrac{1}{3}x - 4$，其中$k=-\dfrac{1}{3}$，因为$-\dfrac{1}{3}＜0$，所以该函数的$y$随$x$的增大而减小。
已知$-3≤ x≤ 3$，则当$x$取最小值$-3$时，$y$取得最大值。
将$x=-3$代入函数解析式：
$y=-\dfrac{1}{3}×(-3) - 4 = 1 - 4 = -3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一次函数的性质、一次函数的最值
【点评】
本题考查一次函数的增减性及给定区间内函数最值的求解，属于基础题型，需熟练掌握一次函数的图象与性质，利用增减性判断最值对应的$x$值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需利用一次函数的增减性：对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此在给定的$x$取值范围内，$x$取最小值时，$y$取得最大值。本题先判断$k$的符号确定函数增减性，再结合$x$的范围找到对应最值的$x$值，最后代入计算即可。
【解析】
对于一次函数$y=-\dfrac{1}{3}x - 4$，其中$k=-\dfrac{1}{3}$，因为$-\dfrac{1}{3}＜0$，所以该函数的$y$随$x$的增大而减小。
已知$-3≤ x≤ 3$，则当$x$取最小值$-3$时，$y$取得最大值。
将$x=-3$代入函数解析式：
$y=-\dfrac{1}{3}×(-3) - 4 = 1 - 4 = -3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一次函数的性质、一次函数的最值
【点评】
本题考查一次函数的增减性及给定区间内函数最值的求解，属于基础题型，需熟练掌握一次函数的图象与性质，利用增减性判断最值对应的$x$值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.7
13. 若一组数据的方差为 $ s^2 = \frac{(3 - \overline{x})^2 + 3(5 - \overline{x})^2 + (6 - \overline{x})^2 + 2(8 - \overline{x})^2}{7} $，则这组数据的众数为 ______。
答案
13. $5$ 【点拨】本题考查众数与方差的定义.
【解析】由题意得,这组数据中出现次数最多的数是 $5$,共出现 $3$ 次,$\therefore$ 这组数据的众数是 $5$. 故答案为 $5$.
【解析】由题意得,这组数据中出现次数最多的数是 $5$,共出现 $3$ 次,$\therefore$ 这组数据的众数是 $5$. 故答案为 $5$.
解析
【分析】首先回忆方差的定义：方差公式为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}m_i(x_i-\overline{x})^2$，其中$m_i$是数据$x_i$出现的次数，$n$是数据总个数。接着观察题目给出的方差表达式，提取每个数据对应的出现次数，再依据众数的定义（一组数据中出现次数最多的数）确定众数。
【解析】根据方差的定义，题目中的方差表达式里，各数据及出现次数为：3出现1次，5出现3次，6出现1次，8出现2次。因为众数是一组数据中出现次数最多的数，5出现的次数最多（共3次），所以这组数据的众数为5。
【答案】5
【知识点】方差的定义；众数的定义
【点评】本题结合方差公式考查众数的概念，关键是理解方差表达式中各项系数代表的数据出现次数，属于基础概念题，难度不大。
【难度系数】0.6
【解析】根据方差的定义，题目中的方差表达式里，各数据及出现次数为：3出现1次，5出现3次，6出现1次，8出现2次。因为众数是一组数据中出现次数最多的数，5出现的次数最多（共3次），所以这组数据的众数为5。
【答案】5
【知识点】方差的定义；众数的定义
【点评】本题结合方差公式考查众数的概念，关键是理解方差表达式中各项系数代表的数据出现次数，属于基础概念题，难度不大。
【难度系数】0.6
14. 如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,∠BOC=120°,AC=2,则BC的长为________.
答案
14. $\sqrt{3}$ 【点拨】本题考查矩形的性质,含$30°$角的直角三角形的性质,勾股定理.
【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore OA=OC=OB=OD$.
又$\because ∠ BOC=120°$,$\therefore ∠ ACB = ∠ DBC = \frac{1}{2}(180° - ∠ BOC)=30°$,
$\therefore AB=\frac{1}{2}AC=1$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理得,$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$. 故答案为 $\sqrt{3}$.
【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore OA=OC=OB=OD$.
又$\because ∠ BOC=120°$,$\therefore ∠ ACB = ∠ DBC = \frac{1}{2}(180° - ∠ BOC)=30°$,
$\therefore AB=\frac{1}{2}AC=1$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理得,$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$. 故答案为 $\sqrt{3}$.
解析
【分析】
这是一道矩形相关的计算题，解题思路如下：首先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，得到OA=OB=OC=OD；再结合∠BOC=120°，通过等腰三角形内角和算出∠ACB=30°；接着根据含30°角的直角三角形的性质，求出AB的长度；最后用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 矩形的对角线相等且互相平分，即OA=OC=OB=OD。
已知AC=2，
∴ OC=OB=AC/2=1。
又
∵ ∠BOC=120°，在△BOC中，OB=OC，
∴ ∠ACB=(180°-∠BOC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边AB等于斜边AC的一半，
∴ AB=AC/2=2÷2=1。
再由勾股定理得：BC=√(AC² - AB²)=√(2² -1²)=√3。
【答案】
√3
【知识点】
矩形的性质、含30°角的直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题考查矩形性质与直角三角形相关知识的结合应用，属于基础计算题，需熟练掌握矩形对角线的特点、含30°角直角三角形的边的关系，结合勾股定理即可完成求解。
【难度系数】
0.6
这是一道矩形相关的计算题，解题思路如下：首先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，得到OA=OB=OC=OD；再结合∠BOC=120°，通过等腰三角形内角和算出∠ACB=30°；接着根据含30°角的直角三角形的性质，求出AB的长度；最后用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 矩形的对角线相等且互相平分，即OA=OC=OB=OD。
已知AC=2，
∴ OC=OB=AC/2=1。
又
∵ ∠BOC=120°，在△BOC中，OB=OC，
∴ ∠ACB=(180°-∠BOC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边AB等于斜边AC的一半，
∴ AB=AC/2=2÷2=1。
再由勾股定理得：BC=√(AC² - AB²)=√(2² -1²)=√3。
【答案】
√3
【知识点】
矩形的性质、含30°角的直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题考查矩形性质与直角三角形相关知识的结合应用，属于基础计算题，需熟练掌握矩形对角线的特点、含30°角直角三角形的边的关系，结合勾股定理即可完成求解。
【难度系数】
0.6
15. 在平面直角坐标系中,一次函数$y_{1}=mx+2m-1(m≠0)$的图象为直线$l$,下列
结论,①无论$m$取何值,直线$l$一定经过某个定点;②过点$O$作$OH⊥l$,垂足为$H$,则$OH$的最大值是$\sqrt{5}$;③若直线$l$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,$△ AOB$为等腰三角形,则$m=1$;④一次函数$y_{2}=a(x-3)+1(a≠0)$的图象为直线$l_{2}$,若无论$x$取何值,始终有$y_{1}＞y_{2}$,则$m＞\frac{2}{5}$.其中正确的是
结论,①无论$m$取何值,直线$l$一定经过某个定点;②过点$O$作$OH⊥l$,垂足为$H$,则$OH$的最大值是$\sqrt{5}$;③若直线$l$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,$△ AOB$为等腰三角形,则$m=1$;④一次函数$y_{2}=a(x-3)+1(a≠0)$的图象为直线$l_{2}$,若无论$x$取何值,始终有$y_{1}＞y_{2}$,则$m＞\frac{2}{5}$.其中正确的是
①②④
.(填序号)答案
15. ①②④ 【点拨】本题考查一次函数的图象与性质,直线过定点问题,等腰三角形的性质,数形结合思想.
【解析】由题意得,$y_1 = m(x + 2) - 1$. 当 $x = -2$ 时,$y_1 = -1$,$\therefore$ 无论$m$ 取何值,直线 $l$ 一定经过定点 $(-2,-1)$,①正确;$\because$ 点 $H$ 与点 $(-2,-1)$ 重合时,$OH$ 取最大值,此时$OH=\sqrt{(-2-0)^2 + (-1-0)^2}=\sqrt{5}$,②正确;在 $y_1 = m(x + 2) - 1$($m ≠ 0$) 中,当 $x = 0$ 时,$y_1 = 2m - 1$,当 $y_1 = 0$ 时,$x = \frac{1}{m} - 2$,
$\therefore A(\frac{1}{m}-2,0)$,$B(0,2m-1)$. $\because ∠ AOB=90°$,$△ AOB$ 为等腰三角形,$\therefore OA=OB$,$\therefore \left|\frac{1}{m}-2\right|=|2m-1|$,即 $\frac{1}{m}-2=2m-1$ 或 $\frac{1}{m}-2=1-2m$,解得 $m=\pm1$ 或 $m=\frac{1}{2}$. 而当 $m=\frac{1}{2}$ 时,直线 $l$ 经过原点$O$,此时 $△ AOB$ 不存在,不合题意,舍去,$\therefore m=\pm1$,③错误;由题意得,直线 $l_2$ 经过定点 $(3,1)$,$\because$ 无论 $x$ 取何值,始终有 $y_1＞y_2$,$\therefore$ 直线$l// l_2$,且直线 $l$ 在 $l_2$ 的上方.$\therefore a=m$. 设过定点 $(-2,-1)$,$(3,1)$ 的直线为 $l_3$:$y=kx+b$,则 $\begin{cases}-2k + b = -1,\\3k + b = 1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\frac{2}{5},\\b=-\frac{1}{5},\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $l_3$ 的解析式为 $y=\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}$. 当 $a=m=\frac{2}{5}$ 时,直线 $l$ 与 $l_2$,$l_3$ 重合. 当 $a=m＞\frac{2}{5}$ 时,直线 $l$ 在 $l_2$ 的上方,无论 $x$ 取何值,始终有 $y_1＞y_2$. 当 $a=m＜\frac{2}{5}$ 时,直线 $l$ 在 $l_2$ 的下方,无论 $x$ 取何值,始终有 $y_1＜y_2$,④正确,
$\therefore$ 正确的结论有①②④. 故答案为①②④.
【解析】由题意得,$y_1 = m(x + 2) - 1$. 当 $x = -2$ 时,$y_1 = -1$,$\therefore$ 无论$m$ 取何值,直线 $l$ 一定经过定点 $(-2,-1)$,①正确;$\because$ 点 $H$ 与点 $(-2,-1)$ 重合时,$OH$ 取最大值,此时$OH=\sqrt{(-2-0)^2 + (-1-0)^2}=\sqrt{5}$,②正确;在 $y_1 = m(x + 2) - 1$($m ≠ 0$) 中,当 $x = 0$ 时,$y_1 = 2m - 1$,当 $y_1 = 0$ 时,$x = \frac{1}{m} - 2$,
$\therefore A(\frac{1}{m}-2,0)$,$B(0,2m-1)$. $\because ∠ AOB=90°$,$△ AOB$ 为等腰三角形,$\therefore OA=OB$,$\therefore \left|\frac{1}{m}-2\right|=|2m-1|$,即 $\frac{1}{m}-2=2m-1$ 或 $\frac{1}{m}-2=1-2m$,解得 $m=\pm1$ 或 $m=\frac{1}{2}$. 而当 $m=\frac{1}{2}$ 时,直线 $l$ 经过原点$O$,此时 $△ AOB$ 不存在,不合题意,舍去,$\therefore m=\pm1$,③错误;由题意得,直线 $l_2$ 经过定点 $(3,1)$,$\because$ 无论 $x$ 取何值,始终有 $y_1＞y_2$,$\therefore$ 直线$l// l_2$,且直线 $l$ 在 $l_2$ 的上方.$\therefore a=m$. 设过定点 $(-2,-1)$,$(3,1)$ 的直线为 $l_3$:$y=kx+b$,则 $\begin{cases}-2k + b = -1,\\3k + b = 1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\frac{2}{5},\\b=-\frac{1}{5},\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $l_3$ 的解析式为 $y=\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}$. 当 $a=m=\frac{2}{5}$ 时,直线 $l$ 与 $l_2$,$l_3$ 重合. 当 $a=m＞\frac{2}{5}$ 时,直线 $l$ 在 $l_2$ 的上方,无论 $x$ 取何值,始终有 $y_1＞y_2$. 当 $a=m＜\frac{2}{5}$ 时,直线 $l$ 在 $l_2$ 的下方,无论 $x$ 取何值,始终有 $y_1＜y_2$,④正确,
$\therefore$ 正确的结论有①②④. 故答案为①②④.
解析
【分析】要判断四个结论的正确性，需逐一分析：①将一次函数解析式变形，分离参数找到与m无关的定点；②利用直线过定点的几何性质，确定原点到直线的最大距离；③先求直线与坐标轴交点坐标，结合等腰直角三角形的性质列方程求解，注意排除使三角形不存在的情况；④根据y₁＞y₂恒成立的条件，结合两直线平行的性质和定点坐标分析斜率关系，进而确定m的范围。
【解析】
1. 分析结论①：
将$y_1=mx+2m-1$变形为$y_1=m(x+2)-1$，令含m的项系数为0，即$x+2=0$，得$x=-2$，此时$y_1=-1$，与m无关，故直线l过定点$(-2,-1)$，①正确。
2. 分析结论②：
设定点$P(-2,-1)$，OH是原点O到直线l的垂线段，根据几何性质，原点到过定点P的直线的距离最大值为OP的长度。计算得$OP=\sqrt{(-2-0)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{5}$，故OH的最大值为$\sqrt{5}$，②正确。
3. 分析结论③：
当$x=0$时，$y_1=2m-1$，即$B(0,2m-1)$；当$y_1=0$时，$0=mx+2m-1$，解得$x=\frac{1}{m}-2$，即$A(\frac{1}{m}-2,0)$。
因为$∠ AOB=90°$，$△ AOB$为等腰三角形，所以$OA=OB$，即$\left|\frac{1}{m}-2\right|=|2m-1|$。
分情况解方程：
当$\frac{1}{m}-2=2m-1$时，解得$m=\frac{1}{2}$或$m=-1$；
当$\frac{1}{m}-2=1-2m$时，解得$m=\frac{1}{2}$或$m=1$。
当$m=\frac{1}{2}$时，A点与原点O重合，$△ AOB$不存在，舍去；故$m=\pm1$，③错误。
4. 分析结论④：
$y_2=a(x-3)+1$，当$x=3$时，$y_2=1$，故直线$l_2$过定点$(3,1)$。
若无论x取何值，$y_1＞y_2$恒成立，则直线l与$l_2$平行（斜率相等，即$a=m$），且直线l在$l_2$上方。
直线l过定点$(-2,-1)$，直线$l_2$过定点$(3,1)$，两直线平行时，斜率等于过这两个定点直线的斜率：$\frac{1-(-1)}{3-(-2)}=\frac{2}{5}$。
当$m=a=\frac{2}{5}$时，两直线重合，$y_1=y_2$，不满足条件；当$m=a＞\frac{2}{5}$时，直线l在$l_2$上方，$y_1＞y_2$恒成立，④正确。
综上，正确结论为①②④。
【答案】①②④
【知识点】一次函数的性质、直线过定点问题、等腰三角形的性质
【点评】本题综合考查一次函数的多个核心知识点，需结合数形结合思想分析，解题时要注意特殊情况的排除（如三角形不存在的情况），对学生的逻辑分析能力要求较高，需逐一验证每个结论的正确性。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 分析结论①：
将$y_1=mx+2m-1$变形为$y_1=m(x+2)-1$，令含m的项系数为0，即$x+2=0$，得$x=-2$，此时$y_1=-1$，与m无关，故直线l过定点$(-2,-1)$，①正确。
2. 分析结论②：
设定点$P(-2,-1)$，OH是原点O到直线l的垂线段，根据几何性质，原点到过定点P的直线的距离最大值为OP的长度。计算得$OP=\sqrt{(-2-0)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{5}$，故OH的最大值为$\sqrt{5}$，②正确。
3. 分析结论③：
当$x=0$时，$y_1=2m-1$，即$B(0,2m-1)$；当$y_1=0$时，$0=mx+2m-1$，解得$x=\frac{1}{m}-2$，即$A(\frac{1}{m}-2,0)$。
因为$∠ AOB=90°$，$△ AOB$为等腰三角形，所以$OA=OB$，即$\left|\frac{1}{m}-2\right|=|2m-1|$。
分情况解方程：
当$\frac{1}{m}-2=2m-1$时，解得$m=\frac{1}{2}$或$m=-1$；
当$\frac{1}{m}-2=1-2m$时，解得$m=\frac{1}{2}$或$m=1$。
当$m=\frac{1}{2}$时，A点与原点O重合，$△ AOB$不存在，舍去；故$m=\pm1$，③错误。
4. 分析结论④：
$y_2=a(x-3)+1$，当$x=3$时，$y_2=1$，故直线$l_2$过定点$(3,1)$。
若无论x取何值，$y_1＞y_2$恒成立，则直线l与$l_2$平行（斜率相等，即$a=m$），且直线l在$l_2$上方。
直线l过定点$(-2,-1)$，直线$l_2$过定点$(3,1)$，两直线平行时，斜率等于过这两个定点直线的斜率：$\frac{1-(-1)}{3-(-2)}=\frac{2}{5}$。
当$m=a=\frac{2}{5}$时，两直线重合，$y_1=y_2$，不满足条件；当$m=a＞\frac{2}{5}$时，直线l在$l_2$上方，$y_1＞y_2$恒成立，④正确。
综上，正确结论为①②④。
【答案】①②④
【知识点】一次函数的性质、直线过定点问题、等腰三角形的性质
【点评】本题综合考查一次函数的多个核心知识点，需结合数形结合思想分析，解题时要注意特殊情况的排除（如三角形不存在的情况），对学生的逻辑分析能力要求较高，需逐一验证每个结论的正确性。
【难度系数】0.5
16. 定义:若点A到x轴、y轴的距离和为1,则称点A为“和一点”.例:点B(-0.2,0.8)到x轴、y轴距离和为1,则点B是“和一点”,点C(0,1),D(-0.5,-0.5)也是“和一点”.一次函数$y=kx+b$($k≠0$)的图象经过点E(2,-2),且图象上存在“和一点”,则k的取值范围为________.
答案
16. $-2≤ k≤ -\frac{1}{2}$ 【点拨】本题考查新定义“和一点”的应用,绝对值的定义,待定系数法确定一次函数的解析式,数形结合思想.
【解析】设 $A(x,y)$ 为“和一点”,则 $|x|+|y|=1$,
即 $\begin{cases}x + y = 1(x≥0,y≥0),\\-x + y = 1(x≤0,y≥0),\\x - y = 1(x≥0,y≤0),\\-x - y = 1(x≤0,y≤0),\end{cases}$
$\therefore$ 所有“和一点”在如图所示的正方形$MNPQ$ 的四条边上,$\because$ 一次函数 $y = kx + b$($k ≠ 0$) 的图象经过点 $E(2,-2)$ 且图象上存在“和一点”,$\therefore$ 一次函数图象与正方形 $MNPQ$ 的四条边至少有一个交点,即一次函数图象夹在直线 $NE$ 与直线 $PE$ 之间. 设直线 $PE$ 的解析式为 $y = k_1x + b_1$,
则 $\begin{cases}k_1 + b_1 = 0,\\2k_1 + b_1 = -2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1 = -2,\\b_1 = 2.\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $PE$ 的解析式为 $y = -2x + 2$. 设直线 $NE$ 的解析式为 $y = k_2x + b_2$,则 $\begin{cases}b_2 = -1,\\2k_2 + b_2 = -2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2 = -\frac{1}{2},\\b_2 = -1.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $NE$ 的解析式为 $y = -\frac{1}{2}x - 1$,$\therefore k$ 的最大值为 $-\frac{1}{2}$,最小值为 $-2$,$\therefore k$ 的取值范围为 $-2≤ k≤ -\frac{1}{2}$. 故答案为 $-2≤ k≤ -\frac{1}{2}$.
解析
【分析】首先明确“和一点”的定义：点到x轴、y轴的距离和为1，即满足|x|+|y|=1，该方程对应以(1,0)、(0,1)、(-1,0)、(0,-1)为顶点的正方形的四条边。题目要求一次函数$y=kx+b$过点$E(2,-2)$且图像上存在“和一点”，等价于该一次函数图像与上述正方形有交点，因此需找到直线过$E$点时与正方形边界顶点相交的两种极端情况，计算对应$k$值，进而确定$k$的取值范围。
【解析】设“和一点”$A(x,y)$，根据定义得$|x|+|y|=1$，对应正方形的四条边。
因为一次函数$y=kx+b$经过$E(2,-2)$，代入得$-2=2k+b$，即$b=-2-2k$，故一次函数为$y=kx-2-2k$。
1. 当直线经过正方形顶点$P(1,0)$时，代入得$0=k×1 -2 -2k$，解得$k=-2$；
2. 当直线经过正方形顶点$N(0,-1)$时，代入得$-1=k×0 -2 -2k$，解得$k=-\frac{1}{2}$；
由于直线需与正方形四条边至少有一个交点，因此$k$的取值范围为$-2≤k≤-\frac{1}{2}$。
【答案】$-2≤ k≤ -\frac{1}{2}$
【知识点】一次函数的性质、绝对值方程、新定义问题
【点评】本题结合新定义考查一次函数的应用，核心是将“和一点”转化为绝对值方程对应的图形，利用数形结合思想找到直线的边界情况，进而确定参数范围，需要学生具备转化分析能力。
【难度系数】0.5
【解析】设“和一点”$A(x,y)$，根据定义得$|x|+|y|=1$，对应正方形的四条边。
因为一次函数$y=kx+b$经过$E(2,-2)$，代入得$-2=2k+b$，即$b=-2-2k$，故一次函数为$y=kx-2-2k$。
1. 当直线经过正方形顶点$P(1,0)$时，代入得$0=k×1 -2 -2k$，解得$k=-2$；
2. 当直线经过正方形顶点$N(0,-1)$时，代入得$-1=k×0 -2 -2k$，解得$k=-\frac{1}{2}$；
由于直线需与正方形四条边至少有一个交点，因此$k$的取值范围为$-2≤k≤-\frac{1}{2}$。
【答案】$-2≤ k≤ -\frac{1}{2}$
【知识点】一次函数的性质、绝对值方程、新定义问题
【点评】本题结合新定义考查一次函数的应用，核心是将“和一点”转化为绝对值方程对应的图形，利用数形结合思想找到直线的边界情况，进而确定参数范围，需要学生具备转化分析能力。
【难度系数】0.5
