38.一段长方体木料,刚好可以截成8个立方体(如图),表面积增加了$126\ \mathrm{dm}^2$,原长方体木料的表面积是($\quad$)$\mathrm{dm}^2$,体积是($\quad$)$\mathrm{dm}^3$。
(3分)

306
216

【分析】要解决这个问题，需先明确长方体切割成立方体时，切割次数与增加表面积的关系：截成8个立方体需要切7次，每切1次增加2个小正方形面，由此算出增加的总面数；结合增加的表面积求出单个小正方形面的面积，进而得到小立方体的棱长；再根据原长方体与小立方体的尺寸关系，计算原长方体的表面积和体积。
【解析】1. 计算增加的面数：将长方体截成8个立方体，切割次数为$8-1=7$次，每切1次增加2个小正方形面，总增加面数为$7×2=14$个。
2. 求小正方形面的面积：已知表面积增加$126\ \mathrm{dm}^2$，单个小正方形面面积为$126÷14=9\ \mathrm{dm}^2$，则小立方体棱长为$\sqrt{9}=3\ \mathrm{dm}$。
3. 确定原长方体尺寸：原长方体的长是小立方体棱长的8倍，即长$=8×3=24\ \mathrm{dm}$，宽和高均为$3\ \mathrm{dm}$。
4. 计算表面积：根据长方体表面积公式$S=2(ab+ah+bh)$，代入得$S=2×(24×3+24×3+3×3)=2×153=306\ \mathrm{dm}^2$。
5. 计算体积：根据长方体体积公式$V=abh$，代入得$V=24×3×3=216\ \mathrm{dm}^3$。
【答案】306；216
【知识点】长方体表面积计算，长方体体积计算，立体图形切割
【点评】本题结合立体图形切割考查长方体的表面积和体积计算，关键是理解切割后增加的面数，推导小立方体棱长，再计算原长方体的相关量，需具备空间想象能力和公式运用能力，难度适中。
【难度系数】0.5

39.一项工程，甲先做6天，再乙做4天，刚好完成这项工程的64%，剩下的甲、乙合作用了3天完成，甲单独完成这项工程需要多少天？（3分）

剩下部分：1-64\%=36\%
合作效率：36\%÷3=12\%
甲、乙合作4天完成：12\%×4=48\%
甲做2天：64\%-48\%=16\%
甲每天：16\%÷2=8\%
甲单独做时间：$1÷8\%=12.5(\mathrm{天})$
答：甲单独完成这项工程需要12.5天。

【分析】
首先将这项工程总量看作单位“1”，先计算剩余工作量；再根据剩余工作量和甲乙合作时间，求出甲乙合作的工作效率；接着把“甲先做6天，乙再做4天”转化为“甲乙合作4天 + 甲单独做2天”，结合已知的完成64%，算出甲单独做2天的工作量；最后求出甲的工作效率，进而计算甲单独完成工程的时间。
【解析】
1. 计算剩余工作量：工程总量为单位“1”，剩下的工作量为 $1 - 64\% = 36\%$；
2. 求甲乙合作效率：剩下的36%由甲乙合作3天完成，合作效率为 $36\% ÷ 3 = 12\%$；
3. 计算甲乙合作4天的工作量：合作效率×时间，即 $12\% × 4 = 48\%$；
4. 求甲单独做2天的工作量：甲做6天、乙做4天共完成64%，转化为合作4天加甲单独2天，所以甲2天的工作量为 $64\% - 48\% = 16\%$；
5. 求甲的工作效率：甲每天的效率为 $16\% ÷ 2 = 8\%$；
6. 计算甲单独完成时间：总工作量÷甲效率，即 $1 ÷ 8\% = 12.5$（天）。
【答案】
12.5天
【知识点】
工程问题、工作效率、工作时间
【点评】
本题是典型的工程问题，核心是将甲、乙的工作时间合理转化，把“甲6天+乙4天”转化为“合作4天+甲单独2天”，从而快速求出甲的工作效率，解题关键在于工作量的拆分与转化。
【难度系数】
0.6

40. 请举例说明乘除法之间的关系。（2 分）

乘法与除法互为逆运算，例：3×4=12，12÷3=4，12÷4=3

【分析】首先明确乘除法的核心关系是互为逆运算，即除法是乘法的逆运算，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数用除法。解题时需先点明这一关系，再通过具体的整数乘除法算式举例，清晰展示乘法算式与对应除法算式的联系，完成题目要求。
【解析】乘法和除法互为逆运算，除法是乘法的逆运算。例如：乘法算式$3×4=12$，其中3和4是因数，12是积；根据乘除法的互逆关系，可写出对应的两个除法算式：$12÷3=4$（已知积12和一个因数3，求另一个因数4），$12÷4=3$（已知积12和一个因数4，求另一个因数3），以此体现乘除法之间的逆运算关系。
【答案】乘法与除法互为逆运算，例：3×4=12，12÷3=4，12÷4=3
【知识点】乘除法的关系、逆运算
【点评】本题为基础概念题，考查对乘除法互逆关系的理解，要求学生准确表述关系并举例，难度较低，用于巩固乘除法的核心概念。
【难度系数】0.8

41. 仔细观察：$8^2 - 5^2 = (8 + 5) × (8 - 5) = 13 × 3 = 39$；
$20^2 - 12^2 = (20 + 12) × (20 - 12) = 32 × 8 = 256$；
(1)请你也举这样的一个例子：$\underline{\hspace{10cm}}$（1分）
(2)用字母式子表示这一规律：$a^2 - b^2 = \underline{\hspace{8cm}}$（1分）
(3)用右边的面积模型说明这一规律。（2分）

$7^2-3^2=(7+3)×(7-3)=40($答案不唯一)
(a+b)(a-b)
如图，
可得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

【分析】
这道题围绕平方差公式展开，分为三小问：第(1)问需根据给出的例子，模仿写出符合规律的算式；第(2)问要从具体例子中归纳出字母表示的规律；第(3)问利用面积模型，通过计算阴影部分面积的两种方式验证规律。解题时先观察已知例子的结构，再结合代数运算和几何面积的意义推导结论。
【解析】
(1) 模仿题目给出的例子，选取两个数，计算它们的平方差，再转化为两数和乘两数差的形式，例如：$7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40$，而$(7 + 3)×(7 - 3) = 10×4 = 40$，符合规律，故例子可写为$7^2 - 3^2 = (7 + 3)×(7 - 3) = 40$（答案不唯一）；
(2) 观察题目中的例子：$8^2 -5^2=(8+5)(8-5)$，$20^2 -12^2=(20+12)(20-12)$，归纳可得$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$；
(3) 面积模型说明：大正方形边长为$a$，面积为$a^2$，左上角小正方形边长为$b$，面积为$b^2$，阴影部分面积为$a^2 - b^2$。将阴影部分拼接，可得到长为$(a + b)$、宽为$(a - b)$的长方形，其面积为$(a + b)(a - b)$，因此$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$。
【答案】
$7^2-3^2=(7+3)×(7-3)=40$（答案不唯一）；$(a+b)(a-b)$；如图，可得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
【知识点】
平方差公式，代数式运算，图形面积计算
【点评】
本题从具体实例到字母规律，再到几何验证，层层递进地考查平方差公式，既培养学生的归纳能力，又通过几何直观帮助理解公式的本质，是初中代数的基础题型，适合巩固公式的应用。
【难度系数】
0.6

42. 在古代，有很多计量长度的单位，如丈、尺、仞、寻等。
信息一:1丈=10尺；
信息二:在古代,不同时期的1尺是相差甚远的,汉朝时,1尺≈23.1 cm,唐朝时,1尺≈31.1 cm,在现代,1尺≈33.3 cm。
(1)在汉朝时,形容一个人身高八尺,在现代约是多少尺?(结果保留整数)(2分)
(2)唐朝李白有诗:"天台四万八千丈,对此欲倒东南倾"描写浙江天台山,你觉得,天台山有李白形容的那么高吗?说明理由。(世界最高峰约高 8848.86 m)(2分)

$8×23.1÷33.3\approx6(\mathrm{尺})$
答：在现代约是6尺。
$48000×10×31.1÷100=149280(\mathrm{m})$，按唐朝尺换算远高于8848.86 m，
理由：李白用的是文学上的夸张写法。
答：没有。

【分析】这道题考查不同时期长度单位的换算及实际应用，分为两小问：第(1)问需将汉朝的八尺换算为现代的尺，先计算汉朝八尺的总长度，再除以现代1尺的长度，结果取整数；第(2)问需将唐朝的四万八千丈换算为米，再与世界最高峰的高度比较，结合文学常识判断是否真实。
【解析】
(1) 先计算汉朝八尺的总长度：$8 × 23.1 = 184.8\ \mathrm{cm}$，再除以现代1尺的长度，得到现代的尺数：$184.8 ÷ 33.3 \approx 6$（尺）。
(2) 先将唐朝的四万八千丈换算为尺：$48000 × 10 = 480000$（尺），再换算为米：$480000 × 31.1 ÷ 100 = 149280\ \mathrm{m}$，世界最高峰约高8848.86 m，显然149280 m远大于该值，因此李白用的是文学夸张手法，天台山没有那么高。
【答案】
(1) 在现代约是6尺。
(2) 没有，理由：李白用的是文学上的夸张写法。
【知识点】长度单位换算，单位换算的实际应用
【点评】本题结合古代长度单位与实际问题，既考查单位换算的计算能力，又涉及文学常识的理解，需准确把握不同时期长度单位的数值，区分实际数据与文学描写。
【难度系数】0.5