23. (10 分)如图,直线 $ l $ 分别交 $ AB, CD $ 于点 $ M,N $(点 $ M $ 在点 $ N $ 的右侧).
(1)如图1,若$ ∠ 1 = ∠ 2 $,求证:$ AB // CD $;
(2)在(1)的条件下,如图2,点 $ E,F $ 在 $ AB,CD $ 之间,且在 $ MN $ 的左侧,若$ ∠ MEF + ∠ EFN = 255° $,求$ ∠ AME + ∠ FNC $的度数;
(3)在(1)的条件下,如图3,点 $ H $ 在直线 $ AB $ 上,且位于点 $ M $ 的左侧. 点 $ K $ 在直线 $ l $ 上,且在直线 $ AB $ 的上方. 点 $ Q $ 在$ ∠ MND $的平分线 $ NP $ 上,且$ ∠ KHM = 2∠ MHQ $. 若$ ∠ HQN + ∠ HKN = 75° $,直接写出$ ∠ PND $和$ ∠ QHB $的数量关系.

23. 【点拨】本题考查平行线的判定和性质,三角形内外角关系.
【解析】(1)证明: $\because ∠ 1 = ∠ AMN$,$∠ 1 = ∠ 2$,
$\therefore ∠ 2 = ∠ AMN$,$\therefore AB// CD$.
(2)如图1,过点E,点F分别作$EH// AB$,$FK// AB$.
$\because AB// CD$,$\therefore AB// EH// FK// CD$,$\therefore ∠ HEF + ∠ EFK = 180°$.
$\because ∠ MEF + ∠ EFN = 255°$,$\therefore ∠ MEH + ∠ KFN = 75°$.
$\because AB// EH$,$\therefore ∠ MEH = ∠ AME$.
$\because FK// CD$,$\therefore ∠ FNC = ∠ KFN$,$\therefore ∠ AME + ∠ FNC = 75°$.
(3)①如图2,当点Q在AB的下方时,过点Q作$QO// AB$,则$QO// AB// CD$.
$\because NP$平分$∠ MND$,
$\therefore ∠ KMB = ∠ MND = 2∠ PND$,$∠ OQN = ∠ PND$,$∠ OQH = ∠ MHQ$,
$\therefore ∠ HQN = ∠ PND + ∠ MHQ$,$∠ HKN = ∠ KMB - ∠ KHM = 2∠ PND - 2∠ MHQ$.
$\because ∠ HQN + ∠ HKN = 75°$,
$\therefore ∠ PND + ∠ MHQ + 2∠ PND - 2∠ MHQ = 75°$,
即$3∠ PND - ∠ QHB = 75°$.
②如图3,当点Q在AB的上方时,
$\because ∠ HKN = ∠ KMB - ∠ KHM = 2∠ PND - 2∠ MHQ$,
$\therefore ∠ HQM = ∠ OMB - ∠ MHQ = 2∠ PND - ∠ MHQ$,
$∠ HQN = ∠ HQM - ∠ MNP = ∠ HQM - ∠ PND = 2∠ PND - ∠ MHQ - ∠ PND = ∠ PND - ∠ MHQ$.
$\because ∠ HQN + ∠ HKN = 75°$,
$\therefore ∠ PND - ∠ MHQ + 2∠ PND - 2∠ MHQ = 75°$,
即$∠ PND - ∠ QHB = 25°$.
综上所述,$3∠ PND - ∠ QHB = 75°$或$∠ PND - ∠ QHB = 25°$.