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2. 如图，ABCD 是直角梯形，AB 是圆的直径，阴影部分①和②的面积相差(
1.12
)cm²。(2分)答案
2. 1.12 解析:阴影部分①的面积+圆上半的空白部分=梯形ABCD的面积,阴影部分②的面积+圆上半的空白部分=半圆的面积,要求阴影部分①和②的面积差,即求梯形ABCD与半圆的面积差。圆的半径为$8÷ 2=4$($\mathrm{cm}$),故梯形的上底,梯形的高均为4 cm。因此阴影部分①和②的面积相差$3.14× 4^2÷ 2-(4+8)× 4÷ 2=1.12$($\mathrm{cm^2}$)。
解析
【分析】
要计算阴影部分①和②的面积差，可利用“同增同减差不变”的原理：阴影①与圆上半空白部分的面积和等于直角梯形ABCD的面积，阴影②与该空白部分的面积和等于半圆的面积。因此，两个阴影的面积差等价于直角梯形ABCD的面积与半圆面积的差，无需直接计算两个不规则阴影的面积，只需计算两个规则图形的面积再求差即可。
【解析】
1. 求圆的半径：AB是圆的直径，长度为8cm，故半径$r=8÷2=4\ \mathrm{cm}$。
2. 确定直角梯形的参数：梯形的上底CD等于圆的半径4cm，高AD等于圆的半径4cm，下底AB=8cm。
3. 计算直角梯形面积：$S_{梯形}=(上底+下底)×高÷2=(4+8)×4÷2=24\ \mathrm{cm^2}$。
4. 计算半圆面积：$S_{半圆}=\frac{1}{2}πr^2=\frac{1}{2}×3.14×4^2=25.12\ \mathrm{cm^2}$。
5. 求面积差：$25.12 - 24=1.12\ \mathrm{cm^2}$，即阴影①和②的面积相差1.12 cm²。
【答案】
1.12
【知识点】
组合图形面积，梯形面积，圆的面积
【点评】
本题通过转化思想，将不规则阴影的面积差转化为规则图形的面积差，简化了计算过程，是组合图形面积计算中常用的解题技巧，考查学生对图形关系的观察与转化能力。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分①和②的面积差，可利用“同增同减差不变”的原理：阴影①与圆上半空白部分的面积和等于直角梯形ABCD的面积，阴影②与该空白部分的面积和等于半圆的面积。因此，两个阴影的面积差等价于直角梯形ABCD的面积与半圆面积的差，无需直接计算两个不规则阴影的面积，只需计算两个规则图形的面积再求差即可。
【解析】
1. 求圆的半径：AB是圆的直径，长度为8cm，故半径$r=8÷2=4\ \mathrm{cm}$。
2. 确定直角梯形的参数：梯形的上底CD等于圆的半径4cm，高AD等于圆的半径4cm，下底AB=8cm。
3. 计算直角梯形面积：$S_{梯形}=(上底+下底)×高÷2=(4+8)×4÷2=24\ \mathrm{cm^2}$。
4. 计算半圆面积：$S_{半圆}=\frac{1}{2}πr^2=\frac{1}{2}×3.14×4^2=25.12\ \mathrm{cm^2}$。
5. 求面积差：$25.12 - 24=1.12\ \mathrm{cm^2}$，即阴影①和②的面积相差1.12 cm²。
【答案】
1.12
【知识点】
组合图形面积，梯形面积，圆的面积
【点评】
本题通过转化思想，将不规则阴影的面积差转化为规则图形的面积差，简化了计算过程，是组合图形面积计算中常用的解题技巧，考查学生对图形关系的观察与转化能力。
【难度系数】
0.5
3.一段长方体木料,刚好可以截成8个立方体(如图),表面积增加了126 $\mathrm{dm}^2$,原长方体木料的表面积是(
306
)$\mathrm{dm}^2$,体积是(216
)$\mathrm{dm}^3$。(3分)答案
3. 306 216 解析:把长方体木料截成8个立方体,需要截7次,会增加14个底面面积,故一个底面面积是$126÷ 14=9$($\mathrm{dm^2}$)。$9=3× 3$,故底面正方形的边长是3 dm,长方体的高是$3× 8=24$(dm),据此解答。
解析
【分析】
要解决本题，需先明确长方体截成8个立方体时的切割规律：每截1次增加2个面，截成8个立方体需要截7次，共增加14个相同的正方形面。先通过增加的表面积算出单个正方形面的面积，进而得到立方体的棱长，再确定原长方体的长、宽、高，最后代入长方体表面积和体积公式计算即可。
【解析】
1. 计算增加的面数：把长方体截成8个立方体，需要截$8-1=7$次，每截1次增加2个面，因此共增加$7×2=14$个面。
2. 求单个正方形面的面积：已知表面积增加了$126\ \mathrm{dm}^2$，则单个面的面积为$126÷14=9\ \mathrm{dm}^2$。
3. 确定立方体的棱长：因为$9=3×3$，所以立方体的棱长为$3\ \mathrm{dm}$，即原长方体的宽和高均为$3\ \mathrm{dm}$，长方体的长为$3×8=24\ \mathrm{dm}$。
4. 计算原长方体的表面积：根据长方体表面积公式$S=2(ab+ah+bh)$，代入得：$2×(24×3 + 24×3 + 3×3)=2×153=306\ \mathrm{dm}^2$。
5. 计算原长方体的体积：根据体积公式$V=abh$，代入得：$24×3×3=216\ \mathrm{dm}^3$。
【答案】
306；216
【知识点】
长方体表面积、长方体体积、正方体特征
【点评】
本题考查长方体切割后的表面积变化及长方体的表面积、体积计算，关键是理解切割次数与增加面数的关系，结合正方体特征确定长方体的长宽高，难度适中，需掌握基础公式和切割规律。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先明确长方体截成8个立方体时的切割规律：每截1次增加2个面，截成8个立方体需要截7次，共增加14个相同的正方形面。先通过增加的表面积算出单个正方形面的面积，进而得到立方体的棱长，再确定原长方体的长、宽、高，最后代入长方体表面积和体积公式计算即可。
【解析】
1. 计算增加的面数：把长方体截成8个立方体，需要截$8-1=7$次，每截1次增加2个面，因此共增加$7×2=14$个面。
2. 求单个正方形面的面积：已知表面积增加了$126\ \mathrm{dm}^2$，则单个面的面积为$126÷14=9\ \mathrm{dm}^2$。
3. 确定立方体的棱长：因为$9=3×3$，所以立方体的棱长为$3\ \mathrm{dm}$，即原长方体的宽和高均为$3\ \mathrm{dm}$，长方体的长为$3×8=24\ \mathrm{dm}$。
4. 计算原长方体的表面积：根据长方体表面积公式$S=2(ab+ah+bh)$，代入得：$2×(24×3 + 24×3 + 3×3)=2×153=306\ \mathrm{dm}^2$。
5. 计算原长方体的体积：根据体积公式$V=abh$，代入得：$24×3×3=216\ \mathrm{dm}^3$。
【答案】
306；216
【知识点】
长方体表面积、长方体体积、正方体特征
【点评】
本题考查长方体切割后的表面积变化及长方体的表面积、体积计算，关键是理解切割次数与增加面数的关系，结合正方体特征确定长方体的长宽高，难度适中，需掌握基础公式和切割规律。
【难度系数】
0.5
4.一项工程,甲先做6天,乙再做4天,刚好完成这项工程的64%,剩下的甲、乙合做用了3天完成,甲单独完成这项工程需要多少天?(3分)
答案
4. $(1-64\%)÷ 3=12\%$ $(64\%-12\%× 4)÷ (6-4)=8\%$ $1÷ 8\%=12.5$(天) 答:甲单独完成这项工程需要12.5天。
解析
【分析】
这是一道工程问题，把这项工程的总工作量看作单位“1”。首先计算剩余工作量，结合甲乙合作完成剩余工作量的时间求出合作效率；再将“甲做6天、乙做4天”转化为“甲乙合作4天+甲单独做2天”，结合已知的64%工作量算出甲单独2天的工作量，进而求出甲的工作效率；最后用总工作量除以甲的效率，得到甲单独完成的时间。
【解析】
1. 计算甲乙合作的工作效率：
剩余工作量为 $1 - 64\% = 36\%$，甲乙合作3天完成，因此合作效率为 $36\% ÷ 3 = 12\%$。
2. 计算甲的工作效率：
“甲做6天、乙做4天”可转化为“甲乙合作4天，再甲单独做 $6 - 4 = 2$ 天”。
甲乙合作4天的工作量为 $12\% × 4 = 48\%$，则甲单独2天的工作量为 $64\% - 48\% = 16\%$，甲的效率为 $16\% ÷ 2 = 8\%$。
3. 计算甲单独完成的时间：
总时间为 $1 ÷ 8\% = 12.5$（天）。
【答案】
12.5天
【知识点】
工程问题、工作效率计算
【点评】
本题是典型的工程问题，核心是通过合理拆分工作量（将甲6天乙4天的工作转化为合作4天加甲单独2天），结合合作效率求出甲的效率，考查学生对“工作效率、工作时间、工作量”三者关系的灵活应用，解题关键在于工作量的转化分析。
【难度系数】
0.6
这是一道工程问题，把这项工程的总工作量看作单位“1”。首先计算剩余工作量，结合甲乙合作完成剩余工作量的时间求出合作效率；再将“甲做6天、乙做4天”转化为“甲乙合作4天+甲单独做2天”，结合已知的64%工作量算出甲单独2天的工作量，进而求出甲的工作效率；最后用总工作量除以甲的效率，得到甲单独完成的时间。
【解析】
1. 计算甲乙合作的工作效率：
剩余工作量为 $1 - 64\% = 36\%$，甲乙合作3天完成，因此合作效率为 $36\% ÷ 3 = 12\%$。
2. 计算甲的工作效率：
“甲做6天、乙做4天”可转化为“甲乙合作4天，再甲单独做 $6 - 4 = 2$ 天”。
甲乙合作4天的工作量为 $12\% × 4 = 48\%$，则甲单独2天的工作量为 $64\% - 48\% = 16\%$，甲的效率为 $16\% ÷ 2 = 8\%$。
3. 计算甲单独完成的时间：
总时间为 $1 ÷ 8\% = 12.5$（天）。
【答案】
12.5天
【知识点】
工程问题、工作效率计算
【点评】
本题是典型的工程问题，核心是通过合理拆分工作量（将甲6天乙4天的工作转化为合作4天加甲单独2天），结合合作效率求出甲的效率，考查学生对“工作效率、工作时间、工作量”三者关系的灵活应用，解题关键在于工作量的转化分析。
【难度系数】
0.6
1.请举例说明乘除法之间的关系。（2分）
答案
1. 以$3× 4=12$为例，$12÷ 3=4$，$12÷ 4=3$，这体现了乘法和除法互为逆运算的关系。(言之有理即可)
解析
【分析】首先明确乘除法的核心关系是互为逆运算，解题时需选取简单的乘法算式，依据乘法各部分间的关系（积=因数×因数），推导出对应的两个除法算式，通过具体例子直观展示这种逆运算关系。
【解析】选取乘法算式$3×4=12$，根据乘除法的关系，积12作为除法的被除数，两个因数3和4分别作为除数和商，可写出对应的除法算式：$12÷3=4$，$12÷4=3$，该例子体现了乘法和除法互为逆运算的关系，即乘法中的积对应除法中的被除数，乘法中的因数分别对应除法中的除数和商，反之除法也可转化为乘法。
【答案】以$3× 4=12$为例，$12÷ 3=4$，$12÷ 4=3$，这体现了乘法和除法互为逆运算的关系。(言之有理即可)
【知识点】乘除法的关系；逆运算
【点评】本题为基础概念题，通过具体实例直观考查乘除法的逆运算关系，难度较低，有助于学生巩固乘除法的内在联系。
【难度系数】0.9
【解析】选取乘法算式$3×4=12$，根据乘除法的关系，积12作为除法的被除数，两个因数3和4分别作为除数和商，可写出对应的除法算式：$12÷3=4$，$12÷4=3$，该例子体现了乘法和除法互为逆运算的关系，即乘法中的积对应除法中的被除数，乘法中的因数分别对应除法中的除数和商，反之除法也可转化为乘法。
【答案】以$3× 4=12$为例，$12÷ 3=4$，$12÷ 4=3$，这体现了乘法和除法互为逆运算的关系。(言之有理即可)
【知识点】乘除法的关系；逆运算
【点评】本题为基础概念题，通过具体实例直观考查乘除法的逆运算关系，难度较低，有助于学生巩固乘除法的内在联系。
【难度系数】0.9
2.仔细观察:$8^2 - 5^2 = (8 + 5)×(8 - 5) = 13×3 = 39$；
$20^2 - 12^2 = (20 + 12)×(20 - 12) = 32×8 = 256$。
(1)请你也举这样的一个例子:$\underline{\hspace{5cm}}$(1分)
(2)用字母式表示这个规律:$a^2 - b^2 = \underline{\hspace{5cm}}$(1分)
(3)用右边的面积模型说明这一规律。(2分)
$20^2 - 12^2 = (20 + 12)×(20 - 12) = 32×8 = 256$。
(1)请你也举这样的一个例子:$\underline{\hspace{5cm}}$(1分)
(2)用字母式表示这个规律:$a^2 - b^2 = \underline{\hspace{5cm}}$(1分)
(3)用右边的面积模型说明这一规律。(2分)
答案
2. (1)$3^2-2^2=(3+2)×(3-2)$(举例不唯一)
(2)$(a+b)×(a-b)$
(3)
阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=$a^2-b^2$;通过割补,阴影部分可以转化成一个长为$a+b$,宽为$a-b$的长方形,面积是$(a+b)×(a-b)$,故$a^2-b^2=(a+b)×(a-b)$。解析
【分析】
先观察题目给出的算式，发现两个数的平方差等于这两个数的和与差的乘积，据此总结规律；举例时选取两个数，分别计算平方差和两数和乘两数差验证相等即可；用字母表示规律时将数替换为字母；用面积模型说明时，利用大正方形面积减小小正方形面积得阴影面积，再通过割补将阴影转化为长方形，结合长方形面积公式推导规律。
【解析】
(1) 选取数3和2，计算得：$3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$，$(3 + 2)×(3 - 2) = 5×1 = 5$，符合规律，故例子为$3^2 - 2^2 = (3 + 2)×(3 - 2)$（举例不唯一）。
(2) 将两个数用字母$a$、$b$表示，结合规律可得：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
(3) 面积模型说明：大正方形边长为$a$，面积为$a^2$；小正方形边长为$b$，面积为$b^2$，阴影部分面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = $a^2 - b^2$。将阴影部分割补后，可得到长为$(a + b)$、宽为$(a - b)$的长方形，其面积为$(a + b)(a - b)$。因阴影部分面积不变，故$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，验证规律。
【答案】
(1) $3^2 - 2^2 = (3 + 2)×(3 - 2)$（举例不唯一）
(2) $(a + b)×(a - b)$
(3) 阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=$a^2 - b^2$；通过割补，阴影部分可以转化成一个长为$a+b$，宽为$a-b$的长方形，面积是$(a+b)×(a-b)$，故$a^2 - b^2=(a+b)×(a-b)$。
【知识点】平方差公式、图形面积计算
【点评】本题通过实例和几何面积模型推导平方差公式，体现代数与几何的联系，帮助理解公式本质，是初中代数基础内容，难度适中。
【难度系数】0.6
先观察题目给出的算式，发现两个数的平方差等于这两个数的和与差的乘积，据此总结规律；举例时选取两个数，分别计算平方差和两数和乘两数差验证相等即可；用字母表示规律时将数替换为字母；用面积模型说明时，利用大正方形面积减小小正方形面积得阴影面积，再通过割补将阴影转化为长方形，结合长方形面积公式推导规律。
【解析】
(1) 选取数3和2，计算得：$3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$，$(3 + 2)×(3 - 2) = 5×1 = 5$，符合规律，故例子为$3^2 - 2^2 = (3 + 2)×(3 - 2)$（举例不唯一）。
(2) 将两个数用字母$a$、$b$表示，结合规律可得：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
(3) 面积模型说明：大正方形边长为$a$，面积为$a^2$；小正方形边长为$b$，面积为$b^2$，阴影部分面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = $a^2 - b^2$。将阴影部分割补后，可得到长为$(a + b)$、宽为$(a - b)$的长方形，其面积为$(a + b)(a - b)$。因阴影部分面积不变，故$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，验证规律。
【答案】
(1) $3^2 - 2^2 = (3 + 2)×(3 - 2)$（举例不唯一）
(2) $(a + b)×(a - b)$
(3) 阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=$a^2 - b^2$；通过割补，阴影部分可以转化成一个长为$a+b$，宽为$a-b$的长方形，面积是$(a+b)×(a-b)$，故$a^2 - b^2=(a+b)×(a-b)$。
【知识点】平方差公式、图形面积计算
【点评】本题通过实例和几何面积模型推导平方差公式，体现代数与几何的联系，帮助理解公式本质，是初中代数基础内容，难度适中。
【难度系数】0.6
3.在古代，有很多计量长度的单位，如丈、尺、仞、寻等。
信息一:1丈=10尺；
信息二:在古代，不同时期的1尺，是相差甚远的。汉朝时，1尺≈27.7厘米；唐朝时，1尺≈31.1厘米；在现代，1尺≈33.3厘米。
(1)在汉朝时，形容一个人身高八尺，在现代约是多少尺？(结果保留整数)(2分)
(2)唐朝李白有诗“天台四万八千丈，对此欲倒东南倾。”描写浙江天台山。你觉得，天台山有李白形容的那么高吗？说明理由。(世界最高峰约高8848.86米)(2分)
信息一:1丈=10尺；
信息二:在古代，不同时期的1尺，是相差甚远的。汉朝时，1尺≈27.7厘米；唐朝时，1尺≈31.1厘米；在现代，1尺≈33.3厘米。
(1)在汉朝时，形容一个人身高八尺，在现代约是多少尺？(结果保留整数)(2分)
(2)唐朝李白有诗“天台四万八千丈，对此欲倒东南倾。”描写浙江天台山。你觉得，天台山有李白形容的那么高吗？说明理由。(世界最高峰约高8848.86米)(2分)
答案
3. (1)$27.7× 8=221.6$($\mathrm{cm}$) $221.6÷ 33.3\approx 7$(尺) 答:在现代约是7尺。
(2)$48000× 10× 31.1=14928000$($\mathrm{cm}$)$=149280$($\mathrm{m}$) $149280＞8848.86$ 答:天台山没有李白形容的那么高。
(2)$48000× 10× 31.1=14928000$($\mathrm{cm}$)$=149280$($\mathrm{m}$) $149280＞8848.86$ 答:天台山没有李白形容的那么高。
解析
【分析】
要解决这道题，需明确不同时期长度单位的换算关系：第(1)问，先通过汉朝1尺的长度算出八尺的总厘米数，再除以现代1尺的长度，得到现代的尺数；第(2)问，先将诗中的丈换算为尺，再结合唐朝1尺的长度算出总高度，转换为米后与世界最高峰高度比较，判断是否符合描述。
【解析】
(1) 计算汉朝八尺对应的厘米数：$27.7 × 8 = 221.6$（厘米）
换算为现代的尺数：$221.6 ÷ 33.3 \approx 7$（尺）
答：在现代约是7尺。
(2) 先将四万八千丈换算为尺：$48000 × 10 = 480000$（尺）
再换算为厘米：$480000 × 31.1 = 14928000$（厘米）
转换为米：$14928000$厘米 $= 149280$米
比较高度：$149280 ＞ 8848.86$
答：天台山没有李白形容的那么高。
【答案】
(1) 约7尺；(2) 天台山没有李白形容的那么高。
【知识点】
长度单位换算、小数乘除法应用
【点评】
本题结合古代计量长度的单位，考查单位换算和实际应用，需要注意不同时期尺的长度差异，以及单位间的进率转换，题目难度适中，能有效检验学生对基础运算和单位换算的掌握情况。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需明确不同时期长度单位的换算关系：第(1)问，先通过汉朝1尺的长度算出八尺的总厘米数，再除以现代1尺的长度，得到现代的尺数；第(2)问，先将诗中的丈换算为尺，再结合唐朝1尺的长度算出总高度，转换为米后与世界最高峰高度比较，判断是否符合描述。
【解析】
(1) 计算汉朝八尺对应的厘米数：$27.7 × 8 = 221.6$（厘米）
换算为现代的尺数：$221.6 ÷ 33.3 \approx 7$（尺）
答：在现代约是7尺。
(2) 先将四万八千丈换算为尺：$48000 × 10 = 480000$（尺）
再换算为厘米：$480000 × 31.1 = 14928000$（厘米）
转换为米：$14928000$厘米 $= 149280$米
比较高度：$149280 ＞ 8848.86$
答：天台山没有李白形容的那么高。
【答案】
(1) 约7尺；(2) 天台山没有李白形容的那么高。
【知识点】
长度单位换算、小数乘除法应用
【点评】
本题结合古代计量长度的单位，考查单位换算和实际应用，需要注意不同时期尺的长度差异，以及单位间的进率转换，题目难度适中，能有效检验学生对基础运算和单位换算的掌握情况。
【难度系数】
0.6
