1. (2026·宿迁期末) 如图,在四边形 $ABCD$ 中,
$∠ ABC=∠ ADC=90°,E$ 是对角线 $AC$ 的中点,
$F$ 是对角线 $BD$ 上的动点,连接 $EF$.若 $AC=10$,
$BD=6$,则 $EF$ 的最小值为 （）


A.4
B.3
C.5
D.2

1. A 解析: 如图, 连接 $B E, D E, \because ∠ A B C=∠ A D C=90°, E$ 是对角线 A C 的中点, $\therefore B E=D E=\dfrac{1}{2} A C=5$, 当 $E F ⊥ B D$ 时, $E F$ 取得最小值, $\therefore B F=\dfrac{1}{2} B D=3, \therefore E F=\sqrt{B E^{2}-B F^{2}}= \sqrt{5^{2}-3^{2}}=4, \therefore E F$ 的最小值为 4. 故选 A.

2. (2026·连云港期末) 如图，$△ ABC$ 为等边三角形，$AB=8$，$AD ⊥ BC$，点 $E$ 为线段 $AD$ 上的动点，连接 $CE$，以 $CE$ 为边作等边 $△ CEF$，连接$DF$，则线段 $DF$ 的最小值为 （）


A.$\dfrac{3}{2}$
B.$4$
C.$2$
D.$1$

2. C 解析: 如图, 连接 $B F, \because △ A B C$ 为等边三角形, $A D ⊥$ $B C, A B=8, \therefore B C=A C=A B=8, B D=D C=4, ∠ B A C=∠ A C B=$ $60°, ∠ C A E=30° . \because △ C E F$ 为等边三角形, $\therefore C F=C E$, $∠ F C E=60°, \therefore ∠ F C E=∠ A C B, \therefore ∠ F C E-∠ E C D=∠ A C B-$ $∠ E C D, \therefore ∠ B C F=∠ A C E, \therefore$ 在 $△ B C F$ 和 $△ A C E$ 中,
$\begin{cases}B C=A C, \\ ∠ B C F=∠ A C E, \therefore △ B C F ≌ △ A C E(\mathrm{ SAS }), \therefore ∠ C B F= \\ C F=C E,\end{cases}$
$∠ C A E=30°, A E=B F, \therefore$ 当 $D F ⊥ B F$ 时, $D F$ 值最小, 此时 $∠ B F D=90°, ∠ C B F=30°, B D=4, \therefore D F=\dfrac{1}{2} B D=2$, 故选 C.

3. (2026·南京期中) 如图, 已知 $\mathrm{Rt}△ ABC$, $∠ ABC=90°, AB=3, BC=4$, 点 $D,E$ 分别是 $AB,BC$ 边上的动点, 满足 $AD=BE$. 连接 $AE$, $CD$, 则 $AE+CD$ 的最小值为.

3. $\sqrt{58}$ 解析: 以 $A B$ 为边在 $A B$ 下方构造正方形 $A F G B$, 连接 $D F, C F$, 则 $A F=A B=B G=F G=3, ∠ F A D=∠ A B G=∠ G=$ $90°, \therefore ∠ A B E=∠ F A D, ∠ A B C+∠ A B G=180°, \therefore C, B, G$ 三点共线, 在 $△ A D F$ 和 $△ B E A$ 中, $\begin{cases}A F=B A, \\ ∠ F A D=∠ A B E, \therefore △ A D F ≌ \\ A D=B E,\end{cases}$ $△ B E A(\mathrm{ SAS }), \therefore F D=A E, \therefore A E+C D=D F+C D ≥ C F, \therefore$ 当 $C$, $D, F$ 三点共线时, $A E+C D=C F$ 最小. 在 $\mathrm{Rt} △ C G F$ 中, $F G=3$, $C G=B C+B G=4+3=7$, 由勾股定理, 得 $C F=\sqrt{3^{2}+7^{2}}=$ $\sqrt{58}, \therefore A E+C D$ 的最小值为 $\sqrt{58}$.

4. (2026·盐城期末)如图,已知在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ B=90°, AB=8, BC=6$, 点 $D$ 是 $BC$ 边上的一点, $BD=2$, 点 $E$ 是 $AB$ 边上一个动点, 连接 $DE$, 以 $DE$ 为一边在右侧作等边 $△ EFD$, 连接 $CF$, 在点 $E$ 运动过程中,线段 $CF$ 的最小值为.

4. 4 解析: 如图所示, 以 $C D$ 为边在 $B C$ 上方作等边三角形 $C D M$, 连接 $M E$, 过点 $M$ 作 $M P ⊥ B C$ 于点 $P, M N ⊥ A B$ 于点 $N, \because △ D E F$ 和 $△ C D M$ 为等边三角形, $\therefore D E=D F, D C=$ $D M, ∠ E D F=∠ C D M=60°, \therefore ∠ E D F+∠ F D M=∠ F D M+$ $∠ M D C$, 即 $∠ E D M=∠ F D C, \therefore △ M E D ≌ △ C F D(\mathrm{ SAS })$, $\therefore C F=M E, \therefore$ 当 $M E$ 最小时, $C F$ 最小. $\because$ 垂线段最短, $\therefore$ 当点 $E$ 与点 $N$ 重合时, $M E$ 最小, 即 $C F$ 最小, 最小值为 $M N$ 的长. $\because B C=6, B D=2, \therefore C D=4 . \because M P ⊥ C D, \therefore C P=D P=$ $\dfrac{1}{2} C D=2, \therefore B P=B C-P C=6-2=4 . \because M P ⊥ B C, ∠ B=90°$, 即 $A B ⊥ B C, \therefore M P / / A B$. 又 $\because M N ⊥ A B, \therefore M N=B P=4, \therefore C F$ 的最小值为 4.

5. (2026·淮安期末) 如图, 在 $\mathrm{Rt } △ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, ∠ CAB=30°$, 则 $AB=2BC$. 请在这一结论的基础上继续思考: 若 $AC=2$, $D$ 是 $AB$ 的中点, $P$ 为边 $CD$ 上一动点, 则 $AP+\dfrac{1}{2}CP$ 的最小值为.

5. $\sqrt{3}$ 解析: 如图, 过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 于点 $E$, 过点 $P$ 作 $P F ⊥$ $E C$ 于点 $F$, 连接 $A F . \because ∠ A C B=90°$, 点 $D$ 是 $A B$ 的中点, $\therefore C D=\dfrac{1}{2} A B=B D . \because ∠ B A C=30°, \therefore ∠ B=60°, \therefore △ B C D$ 为正三角形, $\therefore ∠ B C D=60° . \because C E ⊥ A B, \therefore ∠ D C E=$ $\dfrac{1}{2} ∠ B C D=30°, \therefore P F=\dfrac{1}{2} C P, \therefore A P+\dfrac{1}{2} C P=A P+P F$, 由两点之间线段最短可知, 当点 $A, P, F$ 三点共线时, $A P+P F$ 取得最小值, 最小值为 $A F$, 由垂线段最短可知, 当点 $P$ 与点 $D$ 重合时, $A F$ 取得最小值, 最小值为 $A E$, 即 $A P+\dfrac{1}{2} C P$ 的最小值为 $A E$ 的长. $\because ∠ B A C=30°, A C=2, \therefore C E=\dfrac{1}{2} A C=1, \therefore A E=$ $\sqrt{A C^{2}-C E^{2}}=\sqrt{3}$, 即 $A P+\dfrac{1}{2} C P$ 的最小值为 $\sqrt{3}$.

6. (2026 · 盐城期末) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC=45°,E$ 是 $AB$ 上一点, $BE=2,AE=3BE,P$ 是 $AC$ 上一动点, 则 $PB+PE$ 的最小值是.

6. 10 解析: 如图所示, 作点 $B$ 关于直线 $A C$ 的对称点 $D$, 连接 $P D, A D, \because B E=2, A E=3 B E, \therefore A B=A E+B E=4 B E=8, A E=6$, 由轴对称的性质可得 $P B=P D, A D=A B=8, ∠ P A D=∠ P A B=$ $45°, \therefore P B+P E=P D+P E ≥ D E, \therefore$ 当 $P, D, E$ 三点共线时, $P B+P E$ 有最小值, 最小值为 $D E$ 的长. $\because ∠ D A E=∠ P A D+$ $∠ P A E=90°, \therefore D E=\sqrt{A E^{2}+A D^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$.

7. (2026·连云港期末) 如图, 设 $∠ MON=20°$,
$A$ 为 $OM$ 上一点, $OA=1$, $D$ 为 $ON$ 上一点,
$OD=2$, $C$ 为 $AM$ 上任一点, $B$ 是 $OD$ 上任一点,
那么折线 $ABCD$ 的长 $AB+BC+CD$ 的最小值是.

7. $\sqrt{3}$ 解析: 如图, 分别作 $A, D$ 关于 $O N, O M$ 的对称点 $A^{\prime}, D^{\prime}$, 连接 $A^{\prime} B, C D^{\prime}, A^{\prime} D^{\prime}, O D^{\prime}, O A^{\prime}$, 则 $A^{\prime} B=A B, C D^{\prime}=C D, O A^{\prime}=$ $O A=1, O D^{\prime}=O D=2, \therefore A B+B C+C D=A^{\prime} B+B C+C D^{\prime} ≥ A^{\prime} D^{\prime}$, $\therefore$ 当 $A^{\prime}, B, C, D^{\prime}$ 四点共线时, $A B+B C+C D$ 有最小值 $A^{\prime} D^{\prime}$, 由轴对称的性质, 得 $∠ A^{\prime} O N=∠ N O M=∠ M O D^{\prime}=20°$, $\therefore ∠ D^{\prime} O A^{\prime}=60°$, 取 $O D^{\prime}$ 的中点 $E$, 连接 $A^{\prime} E$, 则 $O E=D^{\prime} E=$ $\dfrac{1}{2} O D^{\prime}=1, \therefore O A^{\prime}=O E, \therefore △ O A^{\prime} E$ 是等边三角形, $\therefore A^{\prime} E=$ $O E=D^{\prime} E, ∠ O E A^{\prime}=∠ O A^{\prime} E=60°, \therefore ∠ E A^{\prime} D^{\prime}=\dfrac{1}{2} ∠ O E A^{\prime}=$ $30°, \therefore ∠ O A^{\prime} D^{\prime}=60°+30°=90°, \therefore A^{\prime} D^{\prime}=\sqrt{O D^{\prime 2}-O A^{\prime 2}}=$ $\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$. 故折线 $A B C D$ 的长的最小值为 $\sqrt{3}$.

8. 如图，$∠ ABC=30°, AB=2, BC=1$，点 $D$ 是射线$BA$ 上的动点,将线段 $CD$ 绕点 $D$ 顺时针旋转$120°$,得到线段 $ED$,连接 $CE,AE$,则 $CE+AE$ 的最小值是.

8. $\sqrt{5}$ 解析: 如图, 在射线 $B C$ 上取点 $F$, 连接 $D F$, 使 $∠ B D F=$ $120°$, 作直线 $B E$, 则 $∠ D F C=180°-∠ B D F-∠ D B F=30°$, $\therefore ∠ D F C=∠ D B F, \therefore B D=F D$. 由旋转得 $∠ E D C=120°, E D=$ $C D, \therefore ∠ E D B+∠ B D C=∠ E D C=120° . \because ∠ B D C+∠ C D F=$ $∠ B D F=120°, \therefore ∠ E D B=∠ C D F$. 在 $△ B D E$ 和 $△ F D C$ 中,
$\begin{cases}E D=C D, \\ ∠ E D B=∠ C D F, \therefore △ B D E ≌ △ F D C(\mathrm{ SAS }), \therefore ∠ A B E= \\ B D=F D,\end{cases}$
$∠ D F C=30° . \because ∠ A B E$ 为定角, 点 $B$ 为定点, $\therefore$ 点 $E$ 在定直线上, 作点 $C$ 关于直线 $B E$ 的对称点 $C^{\prime}$, 连接 $A C^{\prime}$ 交 $B E$ 于 $E^{\prime}$, 当点 $E$ 在点 $E^{\prime}$ 处时 $C E+A E$ 取最小值 (由对称得 $C^{\prime} E=$ $C E, \therefore C E+A E=C^{\prime} E+A E$, 由两点间线段最短可知, 点 $E$ 在点 $E^{\prime}$ 处时, $C E+A E$ 取最小值, 最小值为 $C^{\prime} A$ 的长), 连接 $B C^{\prime}$,则 $B C^{\prime}=B C=1, ∠ C^{\prime} B E=∠ C B E . \because ∠ C B E=∠ A B E+∠ A B C=$ $60°, \therefore ∠ A B C^{\prime}=∠ C^{\prime} B E+∠ A B E=90°, \therefore A C^{\prime}=\sqrt{A B^{2}+C^{\prime} B^{2}}=$ $\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}, \therefore C E+A E$ 的最小值是 $\sqrt{5}$.