6. (2025·连云港月考)如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫作格点.
(1)在图①中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
(2)在图②中以格点为顶点画一个三角形,使三角形三边长分别为$2,\sqrt{5},\sqrt{13}.$

6. (1) 如图①的正方形的边长是$\sqrt{10}$,面积是 10.(画法不唯一)

(2) 如图②的三角形的三边长分别为$2,\sqrt{5},\sqrt{13}$.(画法不唯一)

7.(2026·南通期末)图①、图②、图③都是边长为1的小正方形构成的$5×5$网格,点A,B均在格点上,请用无刻度的直尺完成下列作图.
(1)在图①中作一个等腰三角形ABC,点C在格点上.
(2)在图②中作一个面积为5的直角三角形ABD,点D在格点上.
(3)在图③中作等腰直角三角形ABE,点E在格点上.

7. (1) 如图①,$△ ABC$ 即为所求(答案不唯一).

(2) 如图②,$△ ABD$ 即为所求.
解析:$AB^2+BD^2=25=AD^2$,即$△ ABD$ 是直角三角形,且$∠ ABD=90°$,$\therefore S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}AB· BD=\dfrac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{20}=5$.
(3) 如图③,$△ ABE$ 即为所求(答案不唯一).

8. 如图是由边长为 1 的小正方形组成的 $8 × 8$ 网格,每个小正方形的顶点叫作格点.$△ ABC$ 的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺完成下列作图,保留作图痕迹,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示.
(1) 在图①中,作出 $BC$ 的中点 $D$;
(2) 在图①中,在线段 $AC$ 上取一点 $E$,使得$BE=CE$;
(3) 在图②中,点 $M$ 为线段 $AB$ 与格线的交点,在 $AC$ 上取一点 $P$,使得 $∠ AMP=45°$;
(4) 在图②中,在 $AC$ 上取一点 $Q$,使 $MQ+NQ$最小.

8. (1) BC 的中点 D 如图①所示.
解析:点 B 与点 C 竖直方向和水平方向距离固定,据此找中点即可.
(2) 点 E 位置如图①所示.
解析:把 DC 逆时针旋转$90°$得到 DF,则 DF 垂直平分 BC,DF 与 AC 交点即为点 E,根据垂直平分线的性质得到$BE=CE$.

(3) 点 P 位置如图②所示.
解析:先作等腰直角三角形 ABG,根据点 M 与线段 AB 的位置关系,根据对称性在 AG 上确定点 H,则$△ AMH$ 是等腰直角三角形,$∠ AMH=45°$,MH 与 AC 交点即为点 P,$∠ AMP=∠ AMH=45°$.
(4) 点 Q 位置如图②所示.
解析:由 M 与 H 关于 AC 对称,则$QM=QH$,$MQ+NQ=QH+NQ≥ NH$,当 N,Q,H 三点共线时,$MQ+NQ=NH$最小,即 NH 与 AC 交点为点 Q 时,$MQ+NQ$ 最小.