1. (2026·宿迁期末)(1)如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,在$AC$上确定一个点$E$,使得$∠ BEC=2∠ A$.(要求:用直尺和圆规作图,保留作图痕迹)
(2)如图②,已知$△ ABC$,在平面内确定一个点$E$,使得$∠ AEB=\dfrac{1}{2}∠ C$.(要求:用直尺和圆规作图,保留作图痕迹)

1. (1) 如图,点 E 即为所求.

(2) 如图,点 E 即为所求的点.

2. 红梅公园是常州市最大的国家级重点公园,因园内著名古建筑——红梅阁而得名,园中天宁宝塔与文笔塔遥相呼应,园内八景吸引无数游客前往.如图是公园北侧小东门路、西侧红梅路、天宁宝塔与文笔塔的大致位置.已知红梅阁到这两条路的距离近似相等,且到这两座塔的距离也近似相等.请在图中用直尺和圆规找到红梅阁的位置,标注为点P.(保留作图痕迹,不要求写作法)

2. 如图,点 P 即为所求.

3. (2026·徐州期末)已知点$P$在直线$l$外，用无刻度的直尺和圆规，分别按要求作图.(保留作图痕迹，不写作法)
(1) 如图①，在$l$上作点$A$，$B$，使得$PA = PB$，且$∠ APB=90°$；
(2) 如图②，在$l$上作点$M$，$N$，使得$PM = PN$，且$∠ MPN=120°$.

3. (1) 如图①,A,B 即为所求.
解析:作法如下:以 P 为圆心,适当的长为半径画弧交直线 l于两点,分别以这两点为圆心,以大于$\dfrac{1}{2}$两点间的距离为半径画弧,两弧交于 F 点,作直线 PF 交直线 l 于点 E,以 E 为圆心,PE 长为半径画弧交直线 l 于 A,B 两点,A,B 即为所求.

(2) 如图②,M,N 即为所求.
解析:作法如下:过点 P 作 l 的垂线 PE,分别以 P,E 为圆心,PE 长为半径画弧,两弧分别交于两点 H,G,作直线 PH,PG 交直线 l 于 M,N.$\because PE=PH=EH$,$\therefore △ PEH$ 是等边三角形,$\therefore ∠ HPE=60°$,同理$∠ EPG=60°$,$\therefore ∠ MPN=120°$,M,N即为所求.

4. 已知$∠ β$和线段$l$,线段$h$.使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形(写出作法,保留作图痕迹).
(1)求作$△ ABC$,使得$∠ B = ∠ β$,周长等于线段$l$;
(2)求作$△ ABC$,使得$∠ B = ∠ β$,$∠ B$一边上的高等于线段$h$,周长等于线段$l$.

4. (1) 作$∠ MBN=∠β$,在射线 BM 上取点 A,在线段 l(DF)上截取$DE=BA$,在射线 BN 上截取$BG=EF$,连接 AG,作 AG 的垂直平分线 HP 交线段 BG 于 C,连接 AC,如图①,$△ ABC$ 即为所求.


理由:由作图可知,$DE=BA$,$BG=EF$,$\because HP$ 是 AG 的垂直平分线,$\therefore AC=CG$,$\therefore BC+AC=BC+CG=BG$,$\therefore BC+AC+BA=BG+BA=EF+DE=DF$,$\therefore △ ABC$ 的周长等于线段 l.$\because ∠ B=∠β$,$\therefore △ ABC$ 满足条件.
(2) 作$∠ MBN=∠β$,过 B 作$RS⊥ BN$,在 BR 上截取$BT=h$,过 T作$TW⊥ RS$ 交射线 BM 于 A,在线段 l(DF)上截取$DE=BA$,在射线 BN 上截取$BG=EF$,连接 AG,作 AG 的垂直平分线 HP 交线段 BG 于 C,连接 AC,如图②,$△ ABC$ 即为所求.


理由:由作图可知,$TW// BN$,$\therefore$ 点 A 到 BN 的距离等于$BT=h$,同(1)可知$△ ABC$ 的周长等于线段 l,$∠ B=∠β$,$\therefore △ ABC$ 满足条件.

5.五线谱上跳动着美妙的音符,你能在等距的平行线上借助直尺和圆规画出美丽的几何图形吗?
(1)在图①的两条平行线上画一个等腰三角形,使其三个顶点都在平行线上,且有一个内角等于已知角$α$.(画出符合题意的一种即可)
(2)在图②的两条平行线上画一个等腰三角形,使其三个顶点都在平行线上,且满足腰$:$底$=\sqrt{5}:2$.(画出符合题意的一种即可)
(3)在图③的三条等距平行线上画一个等边三角形,使其三个顶点分别在三条等距平行线上.(画出符合题意的一种即可)
(4)在图④的四条等距平行线上画一个正方形,使其四个顶点分别在四条等距平行线上.(画出符合题意的一种即可)
(5)小强同学声称他在五条等距的平行线上画出了如图⑤所示的正五边形(各边相等各内角也相等的五边形),你同意他的说法吗?请给出你的观点并说明理由.



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5. (1) 如图①,在$l_2$上取点 A,作$∠ BAC$ 等于已知角$α$,交$l_1$于点 B,在$l_2$上截取$AC=AB$,连接 BC,$△ ABC$ 即为所求.

(2) 如图②,在$l_2$上取点 D,作$AD⊥ l_2$,交$l_1$于点 A,在$l_2$上取$BD=CD=\dfrac{1}{2}AD$,连接 AB,AC,$△ ABC$ 即为所求.
理由: 由作法得 $BD = CD = \dfrac{1}{2}AD$, $AD ⊥ l_2$, $\therefore AB = \sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{5}BD$,$\therefore$ 腰 $:$ 底$=\sqrt{5}BD:2BD=\sqrt{5}:2$.
(3) 如图③,在$l_3$上取点 B,作$AB⊥ l_3$,交$l_1$于点 A,作$AC=AB$,使点 C 在$l_2$上,连接 BC,$△ ABC$ 即为所求.

理由:由作法得$l_2$垂直平分线段 AB,$\therefore AC=$$BC$,$\because AC=AB$,$\therefore AC=AB=BC$,$\therefore △ ABC$ 是等边三角形.
(4) 如图④,在$l_2$上取点 D,作$EF⊥ l_2$,交$l_1$于点 E,交$l_4$于点 F,在$l_1$上取$EA=FD$,在$l_4$上取$FC=ED$,连接 CD 交$l_3$于点 P,设点 A 左侧一点为点 G,作$∠ GAB=∠ BPC$,连接 BC,正方形 ABCD 即为所求.

由作法得 $∠ GAB = ∠ BPC$, $EA = FD$, $FC = ED$, $∠ AED = ∠ CFD=90°$,$\therefore AB// CD$, $∠ ADE + ∠ DAE=90°$,$△ ADE ≌ △ DCF$,$\therefore AD = CD$, $∠ DAE = ∠ CDF$,$\therefore ∠ ADE + ∠ CDF = 90°$,$\therefore ∠ ADC=90°$,$\therefore ∠ BAD=180°-90°=90°$,同理$∠ BCD=90°$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是正方形.
(5) 不同意.理由:假设五边形 ABCDE 是正五边形.如图⑤,过点 A 作$AM⊥ l_2$于点 M,过点 C 作$CN⊥ l_4$于点 N,AB 交直线$l_2$于点 G,BC 交直线$l_4$于点 H,ED 交直线$l_3$于点 T.$\because AM=CN$,$AE=DC$,$∠ AME=∠ CND=90°$,$\therefore \mathrm{Rt}△ AME ≌ \mathrm{Rt}△ CND(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠ AEM=∠ CDN$.$\because ∠ EAG=∠ DCH$,$AE=CD$,$\therefore △ AGE ≌ △ CHD(\mathrm{ASA})$,$\therefore ∠ AGE=∠ CHD$.$\because l_2// l_3// l_4$,$\therefore ∠ ABT=∠ AGE$, $∠ CHD=∠ CBT$,$\therefore ∠ ABT=∠ CBT$,$\therefore$ 直线 BT 是正五边形的对称轴,$\therefore BT⊥ DE$,$\therefore DE=CD=2CN$,$\therefore ∠ CDN=30°$,$\therefore ∠ CDE=30°+90°=120°$,与正五边形的内角为$108°$矛盾,$\therefore$ 假设错误,$\therefore$ 小强同学的说法错误.