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8.如图所示，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形。其作法如下：(甲)连接BD，CE，两线段相交于P点，则P即为所求。(乙)先取CD的中点M，再以A为圆心，AB的长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求。对于甲、乙两人的作法，正确的是
甲
。答案
8.甲
解析
【分析】
要判断两人的作法是否正确，首先利用正五边形的性质求出其每个内角的度数，再结合平行四边形“两组对边分别平行”的判定条件，分别验证两种作法得到的四边形ABPE是否满足平行四边形的要求。先计算正五边形内角，再通过角度推导验证对边的平行关系即可。
【解析】
1. 计算正五边形内角度数
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，且正五边形各边相等：$AB=BC=CD=DE=EA$。
2. 验证甲的作法
在等腰$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ BCD=108°$，因此底角$∠ CBD=∠ CDB=\frac{180°-108°}{2}=36°$，同理可得$∠ DCE=∠ DEC=36°$。
计算得$∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=108°-36°=72°$，则$∠ BAE+∠ ABD=108°+72°=180°$，可推出$AE// BP$（同旁内角互补，两直线平行）。
同理$∠ AEC=∠ AED-∠ DEC=108°-36°=72°$，$∠ BAE+∠ AEC=108°+72°=180°$，可推出$AB// PE$。
四边形ABPE两组对边分别平行，因此是平行四边形，甲的作法正确。
3. 验证乙的作法
AM是正五边形的对称轴，因此$∠ BAM=\frac{1}{2}∠ BAE=54°$，由作法可知$AP=AB$，因此等腰$△ ABP$中$∠ ABP=\frac{180°-54°}{2}=63°$，此时$∠ BAE+∠ ABP=108°+63°=171°\ne180°$，$AE$与$BP$不平行，因此四边形ABPE不是平行四边形，乙的作法错误。
【答案】
甲
【知识点】
正五边形的性质；平行四边形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题结合正多边形性质和平行四边形判定考查作图合理性的判断，需要通过角度计算验证对边的平行关系，不能仅依靠图形的对称性直接判断结论。
【难度系数】
0.6
要判断两人的作法是否正确，首先利用正五边形的性质求出其每个内角的度数，再结合平行四边形“两组对边分别平行”的判定条件，分别验证两种作法得到的四边形ABPE是否满足平行四边形的要求。先计算正五边形内角，再通过角度推导验证对边的平行关系即可。
【解析】
1. 计算正五边形内角度数
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，且正五边形各边相等：$AB=BC=CD=DE=EA$。
2. 验证甲的作法
在等腰$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ BCD=108°$，因此底角$∠ CBD=∠ CDB=\frac{180°-108°}{2}=36°$，同理可得$∠ DCE=∠ DEC=36°$。
计算得$∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=108°-36°=72°$，则$∠ BAE+∠ ABD=108°+72°=180°$，可推出$AE// BP$（同旁内角互补，两直线平行）。
同理$∠ AEC=∠ AED-∠ DEC=108°-36°=72°$，$∠ BAE+∠ AEC=108°+72°=180°$，可推出$AB// PE$。
四边形ABPE两组对边分别平行，因此是平行四边形，甲的作法正确。
3. 验证乙的作法
AM是正五边形的对称轴，因此$∠ BAM=\frac{1}{2}∠ BAE=54°$，由作法可知$AP=AB$，因此等腰$△ ABP$中$∠ ABP=\frac{180°-54°}{2}=63°$，此时$∠ BAE+∠ ABP=108°+63°=171°\ne180°$，$AE$与$BP$不平行，因此四边形ABPE不是平行四边形，乙的作法错误。
【答案】
甲
【知识点】
正五边形的性质；平行四边形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题结合正多边形性质和平行四边形判定考查作图合理性的判断，需要通过角度计算验证对边的平行关系，不能仅依靠图形的对称性直接判断结论。
【难度系数】
0.6
9.如图所示,在平行四边形ABCD中,CE,DF分别是∠BCD,∠ADC的平分线,交AB于点E,F,且AB=15,AD=8。求EF的长。
答案
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AD=BC=8。
∵ DF平分∠ADC，
∴ ∠ADF=∠CDF。
∵ AB//CD，
∴ ∠CDF=∠AFD，
∴ ∠ADF=∠AFD，
∴ AF=AD=8。
同理，CE平分∠BCD，可得BE=BC=8。
∵ AF + BE = (AE + EF) + (EF + FB) = AB + EF，
代入数值：8 + 8 = 15 + EF，
解得 EF = 1。
答：EF的长为1。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AD=BC=8。
∵ DF平分∠ADC，
∴ ∠ADF=∠CDF。
∵ AB//CD，
∴ ∠CDF=∠AFD，
∴ ∠ADF=∠AFD，
∴ AF=AD=8。
同理，CE平分∠BCD，可得BE=BC=8。
∵ AF + BE = (AE + EF) + (EF + FB) = AB + EF，
代入数值：8 + 8 = 15 + EF，
解得 EF = 1。
答：EF的长为1。
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：①先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB//CD、AD=BC；②结合角平分线定义和平行线内错角相等的性质，可推导出等角，进而判定等腰三角形，求出AF、BE的长度；③最后梳理线段AF、BE、AB、EF的和差关系，发现AF与BE的和等于AB加上重叠部分EF的长度，代入已知数值即可求出EF。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AD=BC=8。
∵ DF平分∠ADC，
∴ ∠ADF=∠CDF。
∵ AB//CD，
∴ ∠CDF=∠AFD，
∴ ∠ADF=∠AFD，
∴ AF=AD=8。
同理，CE平分∠BCD，可得BE=BC=8。
∵ AF + BE = (AE + EF) + (EF + FB) = AB + EF，
代入数值：8 + 8 = 15 + EF，
解得 EF = 1。
【答案】
EF的长为1
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何应用题，核心是运用“平行线+角平分线”的常见几何模型推导等腰三角形，再通过线段和差关系建立等式求解，解题时要注意挖掘图形中重叠线段的数量关系，积累这类常用模型可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：①先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB//CD、AD=BC；②结合角平分线定义和平行线内错角相等的性质，可推导出等角，进而判定等腰三角形，求出AF、BE的长度；③最后梳理线段AF、BE、AB、EF的和差关系，发现AF与BE的和等于AB加上重叠部分EF的长度，代入已知数值即可求出EF。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AD=BC=8。
∵ DF平分∠ADC，
∴ ∠ADF=∠CDF。
∵ AB//CD，
∴ ∠CDF=∠AFD，
∴ ∠ADF=∠AFD，
∴ AF=AD=8。
同理，CE平分∠BCD，可得BE=BC=8。
∵ AF + BE = (AE + EF) + (EF + FB) = AB + EF，
代入数值：8 + 8 = 15 + EF，
解得 EF = 1。
【答案】
EF的长为1
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何应用题，核心是运用“平行线+角平分线”的常见几何模型推导等腰三角形，再通过线段和差关系建立等式求解，解题时要注意挖掘图形中重叠线段的数量关系，积累这类常用模型可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10.已知:如图所示,DE为△ABC的边AB的垂直平分线,CD为△ABC的外角平分线,与DE交于点D,DM⊥BC的延长线于点M,DN⊥AC于点N。求证:AN=BM。
答案
证明：连接AD、BD。
∵ DE为△ABC的边AB的垂直平分线，点D在DE上，
∴ AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵ CD为△ABC的外角平分线，DM⊥BC的延长线，DN⊥AC，
∴ DM = DN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△ADN和Rt△BDM中，
$\{\begin{array}{l}AD = BD \\DN = DM\end{array} $
∴ Rt△ADN ≌ Rt△BDM（HL）
∴ AN = BM。
∵ DE为△ABC的边AB的垂直平分线，点D在DE上，
∴ AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵ CD为△ABC的外角平分线，DM⊥BC的延长线，DN⊥AC，
∴ DM = DN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△ADN和Rt△BDM中，
$\{\begin{array}{l}AD = BD \\DN = DM\end{array} $
∴ Rt△ADN ≌ Rt△BDM（HL）
∴ AN = BM。
解析
【分析】
要证明AN=BM，通常可证明两条线段所在的三角形全等。首先观察到AN在Rt△ADN中，BM在Rt△BDM中，因此我们先构造证明全等需要的条件：第一步连接AD、BD，利用线段垂直平分线的性质可得到一组斜边相等；第二步利用角平分线的性质可得到一组直角边相等，最后用HL定理即可证明两个直角三角形全等，进而推出对应边相等。
【解析】
证明：连接AD、BD。
∵ DE为△ABC的边AB的垂直平分线，点D在DE上，
∴ AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵ CD为△ABC的外角平分线，DM⊥BC的延长线，DN⊥AC，
∴ DM = DN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△ADN和Rt△BDM中，
$\{\begin{array}{l}AD = BD \\DN = DM\end{array} $
∴ Rt△ADN ≌ Rt△BDM（HL）
∴ AN = BM。
【答案】
AN=BM
【知识点】
线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、直角三角形全等判定
【点评】
本题是典型的几何证明题，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，结合已学的线段、角的性质找到全等条件，熟练掌握基础定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要证明AN=BM，通常可证明两条线段所在的三角形全等。首先观察到AN在Rt△ADN中，BM在Rt△BDM中，因此我们先构造证明全等需要的条件：第一步连接AD、BD，利用线段垂直平分线的性质可得到一组斜边相等；第二步利用角平分线的性质可得到一组直角边相等，最后用HL定理即可证明两个直角三角形全等，进而推出对应边相等。
【解析】
证明：连接AD、BD。
∵ DE为△ABC的边AB的垂直平分线，点D在DE上，
∴ AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵ CD为△ABC的外角平分线，DM⊥BC的延长线，DN⊥AC，
∴ DM = DN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△ADN和Rt△BDM中，
$\{\begin{array}{l}AD = BD \\DN = DM\end{array} $
∴ Rt△ADN ≌ Rt△BDM（HL）
∴ AN = BM。
【答案】
AN=BM
【知识点】
线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、直角三角形全等判定
【点评】
本题是典型的几何证明题，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，结合已学的线段、角的性质找到全等条件，熟练掌握基础定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
