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1. 不等式 $2x ＜ 4x - 6$ 的解集为
x＞3
。答案
1. x＞3
解析
【分析】
本题是求解一元一次不等式，解题思路和解一元一次方程类似，按照“移项→合并同类项→系数化为1”的步骤操作即可，需要注意的是，当不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向要发生改变。首先我们将含未知数x的项移到不等式的同侧，常数项移到另一侧，再合并同类项，最后将x的系数化为1就能得到解集。
【解析】
解：对不等式$2x ＜ 4x - 6$进行移项，移项要改变符号，得：
$2x - 4x ＜ -6$
合并同类项，得：
$-2x ＜ -6$
系数化为1，两边同时除以$-2$，此时不等号方向需改变，得：
$x ＞ 3$
【答案】
$x＞3$
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式求解的基础题型，核心易错点是系数化为1时，若未知数的系数为负，忘记改变不等号的方向，熟练掌握解不等式的步骤和不等式的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题是求解一元一次不等式，解题思路和解一元一次方程类似，按照“移项→合并同类项→系数化为1”的步骤操作即可，需要注意的是，当不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向要发生改变。首先我们将含未知数x的项移到不等式的同侧，常数项移到另一侧，再合并同类项，最后将x的系数化为1就能得到解集。
【解析】
解：对不等式$2x ＜ 4x - 6$进行移项，移项要改变符号，得：
$2x - 4x ＜ -6$
合并同类项，得：
$-2x ＜ -6$
系数化为1，两边同时除以$-2$，此时不等号方向需改变，得：
$x ＞ 3$
【答案】
$x＞3$
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式求解的基础题型，核心易错点是系数化为1时，若未知数的系数为负，忘记改变不等号的方向，熟练掌握解不等式的步骤和不等式的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2.化简：$\dfrac{-4m^2n^2}{2m^3}=$
$-\dfrac{2n^2}{m}$
。答案
2. $-\dfrac{2n^2}{m}$
解析
【分析】
要化简该分式，需采用分式约分的方法求解：第一步先确定分子与分母的公因式，系数部分找-4和2的最大公约数，字母部分找相同字母的最低次幂，得到公因式为$2m^2$；第二步将分子、分母同时除以公因式，分别计算系数、同底数幂的运算结果，最后合并即可得到最简分式。
【解析】
解：将分式拆分后分别计算各部分：
$\begin{aligned}原式&=\frac{-4}{2}×\frac{m^2}{m^3}× n^2\\&=-2× m^{2-3}× n^2\\&=-2×\frac{1}{m}× n^2\\&=-\frac{2n^2}{m}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{2n^2}{m}$
【知识点】
1. 分式约分 2. 同底数幂的除法
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查公因式的确定与约分规则，解题时需注意符号的处理，熟练掌握同底数幂的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要化简该分式，需采用分式约分的方法求解：第一步先确定分子与分母的公因式，系数部分找-4和2的最大公约数，字母部分找相同字母的最低次幂，得到公因式为$2m^2$；第二步将分子、分母同时除以公因式，分别计算系数、同底数幂的运算结果，最后合并即可得到最简分式。
【解析】
解：将分式拆分后分别计算各部分：
$\begin{aligned}原式&=\frac{-4}{2}×\frac{m^2}{m^3}× n^2\\&=-2× m^{2-3}× n^2\\&=-2×\frac{1}{m}× n^2\\&=-\frac{2n^2}{m}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{2n^2}{m}$
【知识点】
1. 分式约分 2. 同底数幂的除法
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查公因式的确定与约分规则，解题时需注意符号的处理，熟练掌握同底数幂的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 当$x=$
4
时，分式$\frac{2x-7}{x-3}$的值为1。答案
3. 4
解析
【分析】
遇到求分式值为1时未知数的值的问题，首先要明确两个核心要求：一是分子和分母的数值相等，二是分母不能为0（保证分式有意义）。我们可以先根据“分式值为1”列出等式，转化为分式方程求解，最后将求得的解代入分母检验，排除让分母为0的增根即可。
【解析】
解：根据题意列方程：
$\frac{2x-7}{x-3}=1$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$（隐含前提$x≠3$），去分母得：
$2x - 7 = x - 3$
移项、合并同类项：
$2x - x = 7 - 3$
解得$x=4$
检验：当$x=4$时，分母$x-3=4-3=1≠0$，分式有意义，因此$x=4$是原方程的解。
【答案】
4
【知识点】
分式方程求解；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，重点考查分式方程的解法，解题的易错点是忘记检验所得解是否会让原分式的分母为0，掌握验根的步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
遇到求分式值为1时未知数的值的问题，首先要明确两个核心要求：一是分子和分母的数值相等，二是分母不能为0（保证分式有意义）。我们可以先根据“分式值为1”列出等式，转化为分式方程求解，最后将求得的解代入分母检验，排除让分母为0的增根即可。
【解析】
解：根据题意列方程：
$\frac{2x-7}{x-3}=1$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$（隐含前提$x≠3$），去分母得：
$2x - 7 = x - 3$
移项、合并同类项：
$2x - x = 7 - 3$
解得$x=4$
检验：当$x=4$时，分母$x-3=4-3=1≠0$，分式有意义，因此$x=4$是原方程的解。
【答案】
4
【知识点】
分式方程求解；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，重点考查分式方程的解法，解题的易错点是忘记检验所得解是否会让原分式的分母为0，掌握验根的步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
4. $△ ABC$ 绕点 A 旋转 $50°$ 后得到 $△ AB'C'$，若 $∠ B' = 33°$，$∠ C = 56°$，则 $∠ B'AC =$
41°
。答案
4. $41°$
解析
【分析】
解题时首先利用旋转的性质，明确旋转前后的三角形全等，对应角相等，得到∠B的度数，再结合三角形内角和定理求出原△ABC中∠BAC的度数，最后根据旋转角为50°，用∠BAC减去旋转角即可求出∠B'AC的度数。
【解析】
∵△ABC绕点A旋转50°得到△AB'C'
∴△ABC≌△AB'C'，旋转角∠BAB'=50°，且对应角∠B=∠B'=33°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-33°-56°=91°
∴∠B'AC=∠BAC - ∠BAB'=91°-50°=41°
【答案】
41°
【知识点】
旋转的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是熟练掌握旋转的性质，理清旋转前后角的数量关系，结合三角形内角和公式进行计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用旋转的性质，明确旋转前后的三角形全等，对应角相等，得到∠B的度数，再结合三角形内角和定理求出原△ABC中∠BAC的度数，最后根据旋转角为50°，用∠BAC减去旋转角即可求出∠B'AC的度数。
【解析】
∵△ABC绕点A旋转50°得到△AB'C'
∴△ABC≌△AB'C'，旋转角∠BAB'=50°，且对应角∠B=∠B'=33°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-33°-56°=91°
∴∠B'AC=∠BAC - ∠BAB'=91°-50°=41°
【答案】
41°
【知识点】
旋转的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是熟练掌握旋转的性质，理清旋转前后角的数量关系，结合三角形内角和公式进行计算即可。
【难度系数】
0.7
5.如图所示，在等边三角形ABC中，AB＝6，点D是BC的中点。将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为
$3\sqrt{3}$
。答案
5. $3\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用等边三角形的性质，结合点D是BC中点，求出AD的长度，同时得到∠BAC的度数；2. 再根据旋转的性质，得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，进而推出∠DAE=∠BAC=60°，判定△ADE是等边三角形；3. 最后根据等边三角形三边相等，得到DE=AD，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴AB=BC=6，∠BAC=∠B=60°，
∵D是BC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=3，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
∵△ABD绕点A旋转得到△ACE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴DE=AD=$3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；旋转的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将等边三角形性质与旋转性质结合考查，解题的核心是通过旋转的角和边的相等关系，证明△ADE为等边三角形，再计算对应线段长度，能较好地检验学生对几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用等边三角形的性质，结合点D是BC中点，求出AD的长度，同时得到∠BAC的度数；2. 再根据旋转的性质，得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，进而推出∠DAE=∠BAC=60°，判定△ADE是等边三角形；3. 最后根据等边三角形三边相等，得到DE=AD，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴AB=BC=6，∠BAC=∠B=60°，
∵D是BC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=3，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
∵△ABD绕点A旋转得到△ACE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴DE=AD=$3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；旋转的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将等边三角形性质与旋转性质结合考查，解题的核心是通过旋转的角和边的相等关系，证明△ADE为等边三角形，再计算对应线段长度，能较好地检验学生对几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 把代数式$3x^3 -6x^2y +3xy^2$分解因式，结果正确的是（
A.$x(3x+y)(x-3y)$
B.$3x(x^2 -2xy + y^2)$
C.$x(3x - y)^2$
D.$3x(x - y)^2$
D
）A.$x(3x+y)(x-3y)$
B.$3x(x^2 -2xy + y^2)$
C.$x(3x - y)^2$
D.$3x(x - y)^2$
答案
6. D
解析
【分析】
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式各项是否有公因式，若有先提取公因式；第二步看提取公因式后余下的多项式是否符合平方差或完全平方公式的形式，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解是否彻底，结果是否为几个整式乘积的形式。本题先找公因式，再判断余下式子的形式即可求解。
【解析】
对代数式$3x^3 -6x^2y +3xy^2$分解因式：
1. 提取公因式：观察到各项都含有公因式$3x$，提取后得：
$3x^3 -6x^2y +3xy^2=3x(x^2-2xy+y^2)$
2. 套用完全平方公式：余下的式子$x^2-2xy+y^2$符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=y$，因此$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$。
3. 整理得最终结果：$3x(x-y)^2$。
对比选项：选项B未分解彻底，选项A、C展开后与原式不符，只有选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规操作，易错点是提取公因式后忘记继续分解，或者对完全平方公式的形式掌握不牢，解题时要注意最后检查分解结果是否彻底，每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式各项是否有公因式，若有先提取公因式；第二步看提取公因式后余下的多项式是否符合平方差或完全平方公式的形式，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解是否彻底，结果是否为几个整式乘积的形式。本题先找公因式，再判断余下式子的形式即可求解。
【解析】
对代数式$3x^3 -6x^2y +3xy^2$分解因式：
1. 提取公因式：观察到各项都含有公因式$3x$，提取后得：
$3x^3 -6x^2y +3xy^2=3x(x^2-2xy+y^2)$
2. 套用完全平方公式：余下的式子$x^2-2xy+y^2$符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=y$，因此$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$。
3. 整理得最终结果：$3x(x-y)^2$。
对比选项：选项B未分解彻底，选项A、C展开后与原式不符，只有选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规操作，易错点是提取公因式后忘记继续分解，或者对完全平方公式的形式掌握不牢，解题时要注意最后检查分解结果是否彻底，每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
7.若$x=1,y=\frac{1}{2}$,则$x^2+4xy+4y^2$的值是(
A.2
B.4
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
B
)A.2
B.4
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时先观察待求代数式的结构，发现其符合完全平方公式的展开形式，因此可以先利用完全平方公式对代数式因式分解，将其简化为更易计算的形式后，再代入已知的x、y的值计算，既可以减少计算量，也能降低出错概率。如果对公式不熟悉，也可以直接将x、y的值代入原式逐步计算。
【解析】
方法一（利用公式简化计算）：
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得：
$x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$
将$x=1$，$y=\frac{1}{2}$代入上式：
先计算括号内的值：$x+2y=1+2×\frac{1}{2}=1+1=2$
再计算平方：$(x+2y)^2=2^2=4$
方法二（直接代入计算）：
将$x=1$，$y=\frac{1}{2}$直接代入原式：
$x^2+4xy+4y^2=1^2+4×1×\frac{1}{2}+4×(\frac{1}{2})^2=1+2+4×\frac{1}{4}=1+2+1=4$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是基础计算题，核心是熟练掌握完全平方公式的结构特点，优先对代数式变形可大幅简化计算过程，减少计算失误。
【难度系数】
0.9
解题时先观察待求代数式的结构，发现其符合完全平方公式的展开形式，因此可以先利用完全平方公式对代数式因式分解，将其简化为更易计算的形式后，再代入已知的x、y的值计算，既可以减少计算量，也能降低出错概率。如果对公式不熟悉，也可以直接将x、y的值代入原式逐步计算。
【解析】
方法一（利用公式简化计算）：
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得：
$x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$
将$x=1$，$y=\frac{1}{2}$代入上式：
先计算括号内的值：$x+2y=1+2×\frac{1}{2}=1+1=2$
再计算平方：$(x+2y)^2=2^2=4$
方法二（直接代入计算）：
将$x=1$，$y=\frac{1}{2}$直接代入原式：
$x^2+4xy+4y^2=1^2+4×1×\frac{1}{2}+4×(\frac{1}{2})^2=1+2+4×\frac{1}{4}=1+2+1=4$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是基础计算题，核心是熟练掌握完全平方公式的结构特点，优先对代数式变形可大幅简化计算过程，减少计算失误。
【难度系数】
0.9
8. 化简$\frac{a^2 - b^2}{a^2 + ab}$的结果为（
A.$-\frac{b}{a}$
B.$\frac{a - b}{a}$
C.$\frac{a + b}{a}$
D.$-b$
B
）A.$-\frac{b}{a}$
B.$\frac{a - b}{a}$
C.$\frac{a + b}{a}$
D.$-b$
答案
8. B
解析
【分析】
要化简这个分式，首先需分别对分子、分母进行因式分解，找到二者的公因式，再根据分式的基本性质约去公因式即可得到最简结果。首先观察分子是平方差结构，可利用平方差公式分解，分母有公因式可提取，分解后就能找到公因式约分。
【解析】
第一步：分解分子，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得分子$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；
第二步：分解分母，提取公因式$a$，可得分母$a^2+ab=a(a+b)$；
第三步：约分，将分解后的分子分母代入原式，在分式有意义（$a≠0$且$a+b≠0$）的前提下，约去公因式$(a+b)$，即：
$\frac{a^2 - b^2}{a^2 + ab}=\frac{(a+b)(a-b)}{a(a+b)}=\frac{a-b}{a}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、提公因式法、分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，核心考查因式分解的方法和分式约分的规则，熟练掌握常见的因式分解方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要化简这个分式，首先需分别对分子、分母进行因式分解，找到二者的公因式，再根据分式的基本性质约去公因式即可得到最简结果。首先观察分子是平方差结构，可利用平方差公式分解，分母有公因式可提取，分解后就能找到公因式约分。
【解析】
第一步：分解分子，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得分子$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；
第二步：分解分母，提取公因式$a$，可得分母$a^2+ab=a(a+b)$；
第三步：约分，将分解后的分子分母代入原式，在分式有意义（$a≠0$且$a+b≠0$）的前提下，约去公因式$(a+b)$，即：
$\frac{a^2 - b^2}{a^2 + ab}=\frac{(a+b)(a-b)}{a(a+b)}=\frac{a-b}{a}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、提公因式法、分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，核心考查因式分解的方法和分式约分的规则，熟练掌握常见的因式分解方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
三、计算题
9. 当 $x=\frac{1}{3}, y=\frac{1}{8}$ 时, 求 $(2x+3y)^2 - (2x-3y)^2$ 的值。
9. 当 $x=\frac{1}{3}, y=\frac{1}{8}$ 时, 求 $(2x+3y)^2 - (2x-3y)^2$ 的值。
答案
9. 1
解析
【分析】
本题是代数式求值题，解题时优先先化简代数式再代入数值计算，可降低计算量、提升准确率。观察所求式子的结构，是两个平方项的差，符合平方差公式的特征，我们可以利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对式子因式分解化简，也可以直接展开两个完全平方项再合并同类项化简，化简后再代入$x$、$y$的数值计算即可。
【解析】
解：利用平方差公式化简：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=2x+3y$，$b=2x-3y$，则：
$\begin{aligned}(2x+3y)^2 - (2x-3y)^2&=(2x+3y + 2x - 3y)(2x+3y - (2x - 3y))\\&=4x × 6y\\&=24xy\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{3}$，$y=\frac{1}{8}$代入$24xy$得：
$24×\frac{1}{3}×\frac{1}{8}=24×\frac{1}{24}=1$
【答案】
1
【知识点】
平方差公式，整式化简，代数式求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，解题时优先运用乘法公式对代数式化简，可有效减少计算量，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.9
本题是代数式求值题，解题时优先先化简代数式再代入数值计算，可降低计算量、提升准确率。观察所求式子的结构，是两个平方项的差，符合平方差公式的特征，我们可以利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对式子因式分解化简，也可以直接展开两个完全平方项再合并同类项化简，化简后再代入$x$、$y$的数值计算即可。
【解析】
解：利用平方差公式化简：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=2x+3y$，$b=2x-3y$，则：
$\begin{aligned}(2x+3y)^2 - (2x-3y)^2&=(2x+3y + 2x - 3y)(2x+3y - (2x - 3y))\\&=4x × 6y\\&=24xy\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{3}$，$y=\frac{1}{8}$代入$24xy$得：
$24×\frac{1}{3}×\frac{1}{8}=24×\frac{1}{24}=1$
【答案】
1
【知识点】
平方差公式，整式化简，代数式求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，解题时优先运用乘法公式对代数式化简，可有效减少计算量，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.9
