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三、专项训练
1. 为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化.绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩，并且种植草皮面积不少于种植树木面积的$\frac{3}{2}$.已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元.
（1）种植草皮的最小面积是多少？
（2）种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？最低费用为多少？
1. 为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化.绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩，并且种植草皮面积不少于种植树木面积的$\frac{3}{2}$.已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元.
（1）种植草皮的最小面积是多少？
（2）种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？最低费用为多少？
答案
1. 解:(1)设种植草皮的面积为 x 亩,则种植树木的面积为(30−x)亩,则
$\begin{cases} x≥10, \\30-x≥10, \\x≥\frac{3}{2}(30-x), \end{cases}$ 解得$18≤ x≤20$.答:种植草皮的最小面积是18亩；
(2)由题意,得 $y = 8000x + 12000(30 - x) = 360000 - 4000x$,当 $x = 20$ 时,$y$ 有最小值280000元。
$\begin{cases} x≥10, \\30-x≥10, \\x≥\frac{3}{2}(30-x), \end{cases}$ 解得$18≤ x≤20$.答:种植草皮的最小面积是18亩；
(2)由题意,得 $y = 8000x + 12000(30 - x) = 360000 - 4000x$,当 $x = 20$ 时,$y$ 有最小值280000元。
解析
【分析】
（1）求解种植草皮的最小面积时，首先设种植草皮面积为x亩，那么种植树木的面积就是总空地面积减去草皮面积，即(30-x)亩。再把题目给出的3个限制条件：草皮面积不少于10亩、树木面积不少于10亩、草皮面积不少于树木面积的$\frac{3}{2}$，全部转化为不等式，组成一元一次不等式组求解，得到x的取值范围后，范围内最小的x就是所求结果。
（2）求解最低总费用时，先根据“总费用=草皮种植总费用+树木种植总费用”的关系，列出总费用和草皮面积x的一次函数关系式，再结合一次函数的增减性，以及第一问求出的x的取值范围，就能找到使总费用最低的x值和对应的最低费用。
【解析】
(1) 设种植草皮的面积为x亩，则种植树木的面积为$(30-x)$亩，根据题意列不等式组：
$\begin{cases} x≥10, \\30-x≥10, \\x≥\frac{3}{2}(30-x), \end{cases}$
解第三个不等式：两边同乘2得$2x≥90-3x$，移项合并得$5x≥90$，解得$x≥18$；
解第二个不等式得$x≤20$，结合第一个不等式$x≥10$，最终得不等式组的解集为$18≤x≤20$，因此种植草皮的最小面积为18亩。
(2) 设绿化总费用为y元，根据题意列函数关系式：
$y = 8000x + 12000(30 - x)$
化简得：$y = 360000 - 4000x$
该函数是关于x的一次函数，其中$k=-4000＜0$，因此y随x的增大而减小，结合x的取值范围$18≤x≤20$，当$x=20$时，y取得最小值，代入计算得：
$y_{最小}=360000 - 4000×20=280000$元。
【答案】
（1）种植草皮的最小面积是18亩；
（2）种植草皮的面积为20亩时绿化总费用最低，最低费用为280000元。
【知识点】
一元一次不等式组的应用、一次函数的增减性、一次函数最值
【点评】
本题属于实际生活中的方案优化类题型，解题核心是先通过约束条件确定自变量的合法取值范围，再结合一次函数的性质求解最值，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，解题时需注意不要遗漏任何限制条件，避免自变量取值范围计算错误。
【难度系数】
0.7
（1）求解种植草皮的最小面积时，首先设种植草皮面积为x亩，那么种植树木的面积就是总空地面积减去草皮面积，即(30-x)亩。再把题目给出的3个限制条件：草皮面积不少于10亩、树木面积不少于10亩、草皮面积不少于树木面积的$\frac{3}{2}$，全部转化为不等式，组成一元一次不等式组求解，得到x的取值范围后，范围内最小的x就是所求结果。
（2）求解最低总费用时，先根据“总费用=草皮种植总费用+树木种植总费用”的关系，列出总费用和草皮面积x的一次函数关系式，再结合一次函数的增减性，以及第一问求出的x的取值范围，就能找到使总费用最低的x值和对应的最低费用。
【解析】
(1) 设种植草皮的面积为x亩，则种植树木的面积为$(30-x)$亩，根据题意列不等式组：
$\begin{cases} x≥10, \\30-x≥10, \\x≥\frac{3}{2}(30-x), \end{cases}$
解第三个不等式：两边同乘2得$2x≥90-3x$，移项合并得$5x≥90$，解得$x≥18$；
解第二个不等式得$x≤20$，结合第一个不等式$x≥10$，最终得不等式组的解集为$18≤x≤20$，因此种植草皮的最小面积为18亩。
(2) 设绿化总费用为y元，根据题意列函数关系式：
$y = 8000x + 12000(30 - x)$
化简得：$y = 360000 - 4000x$
该函数是关于x的一次函数，其中$k=-4000＜0$，因此y随x的增大而减小，结合x的取值范围$18≤x≤20$，当$x=20$时，y取得最小值，代入计算得：
$y_{最小}=360000 - 4000×20=280000$元。
【答案】
（1）种植草皮的最小面积是18亩；
（2）种植草皮的面积为20亩时绿化总费用最低，最低费用为280000元。
【知识点】
一元一次不等式组的应用、一次函数的增减性、一次函数最值
【点评】
本题属于实际生活中的方案优化类题型，解题核心是先通过约束条件确定自变量的合法取值范围，再结合一次函数的性质求解最值，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，解题时需注意不要遗漏任何限制条件，避免自变量取值范围计算错误。
【难度系数】
0.7
2. 王大爷想以墙为一边，另三边用长为33 m的竹篱笆围成一个面积为130 m²的长方形花坛，已知墙长为15 m，求：花坛的长和宽各是多少时，才能使竹篱笆正好合适？
答案
长为13 m,宽为10 m.
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决实际几何问题的题目，解题思路如下：首先明确竹篱笆仅围长方形花坛的三条边，我们可以设垂直于墙的边长为x m，那么平行于墙的边长就是总篱笆长减去2个垂直边的长度，即(33-2x)m；再根据长方形面积公式列一元二次方程，求解方程后，注意平行于墙的边长不能超过墙长15 m，需要对得到的解进行合理性取舍，最终得到符合要求的长和宽。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的边长为$ (33-2x) \, \mathrm{m} $。
根据长方形面积公式列方程：
$ x(33-2x) = 130 $
整理得：
$ 2x^2 - 33x + 130 = 0 $
计算判别式$ \Delta = (-33)^2 - 4 × 2 × 130 = 1089 - 1040 = 49 $，由求根公式得：
$ x = \frac{33 \pm \sqrt{49}}{2 × 2} = \frac{33 \pm 7}{4} $
解得：$ x_1 = 10 $，$ x_2 = 6.5 $。
① 当$ x = 10 $时，平行于墙的边长为$ 33 - 2 × 10 = 13 \, \mathrm{m} $，$ 13 ＜ 15 $，符合墙长限制；
② 当$ x = 6.5 $时，平行于墙的边长为$ 33 - 2 × 6.5 = 20 \, \mathrm{m} $，$ 20 ＞ 15 $，超出墙长，不符合实际，舍去。
因此花坛垂直于墙的宽为10 m，平行于墙的长为13 m。
【答案】
长为13 m,宽为10 m.
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算、实际解合理性验证
【点评】
本题是典型的生活中的几何应用问题，解题核心是正确表示出长方形两条边的长度，易错点是容易忽略墙长的限制，忘记对方程的解进行合理性筛选，导致出现不符合实际的答案。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程解决实际几何问题的题目，解题思路如下：首先明确竹篱笆仅围长方形花坛的三条边，我们可以设垂直于墙的边长为x m，那么平行于墙的边长就是总篱笆长减去2个垂直边的长度，即(33-2x)m；再根据长方形面积公式列一元二次方程，求解方程后，注意平行于墙的边长不能超过墙长15 m，需要对得到的解进行合理性取舍，最终得到符合要求的长和宽。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的边长为$ (33-2x) \, \mathrm{m} $。
根据长方形面积公式列方程：
$ x(33-2x) = 130 $
整理得：
$ 2x^2 - 33x + 130 = 0 $
计算判别式$ \Delta = (-33)^2 - 4 × 2 × 130 = 1089 - 1040 = 49 $，由求根公式得：
$ x = \frac{33 \pm \sqrt{49}}{2 × 2} = \frac{33 \pm 7}{4} $
解得：$ x_1 = 10 $，$ x_2 = 6.5 $。
① 当$ x = 10 $时，平行于墙的边长为$ 33 - 2 × 10 = 13 \, \mathrm{m} $，$ 13 ＜ 15 $，符合墙长限制；
② 当$ x = 6.5 $时，平行于墙的边长为$ 33 - 2 × 6.5 = 20 \, \mathrm{m} $，$ 20 ＞ 15 $，超出墙长，不符合实际，舍去。
因此花坛垂直于墙的宽为10 m，平行于墙的长为13 m。
【答案】
长为13 m,宽为10 m.
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算、实际解合理性验证
【点评】
本题是典型的生活中的几何应用问题，解题核心是正确表示出长方形两条边的长度，易错点是容易忽略墙长的限制，忘记对方程的解进行合理性筛选，导致出现不符合实际的答案。
【难度系数】
0.7
3. 某种生活用品平均每天销售 40 件，每件盈利20元，每件每降价1元，每天可多销售10件，如果想每天盈利1350元，每件应降价多少元？
答案
每件应降价5元或11元.
解析
【分析】
这是一道销售利润类的应用题，解题核心是抓住“总盈利=单件盈利×销售量”这个等量关系。首先我们可以设每件降价x元，降价后单件盈利会减少x元，变为(20-x)元；同时销售量会随着降价增加，每降1元多卖10件，降x元就多卖10x件，总销售量变为(40+10x)件。再根据总盈利要达到1350元的条件，列出一元二次方程求解即可，最后要验证解是否符合实际销售的逻辑（比如单件盈利不能为负数）。
【解析】
解：设每件应降价x元。
根据题意，降价后每件盈利为$(20 - x)$元，每天的销售量为$(40 + 10x)$件。
由总盈利=单件盈利×销售量，可列方程：
$(20 - x)(40 + 10x) = 1350$
展开整理得：
$800 + 200x - 40x - 10x^2 = 1350$
$-10x^2 + 160x - 550 = 0$
两边同时除以$-10$得：
$x^2 - 16x + 55 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 11) = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=11$
检验：当$x=5$时，$20 - 5 =15＞0$，符合实际；当$x=11$时，$20 -11=9＞0$，符合实际，两个解均有效。
【答案】
每件应降价5元或11元.
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润计算、因式分解解方程
【点评】
本题是典型的销售类方程建模应用题，解题的关键是准确找到总利润的等量关系，正确表示出降价后的单件利润和销售量，求解后要注意检验解是否符合实际意义，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润类的应用题，解题核心是抓住“总盈利=单件盈利×销售量”这个等量关系。首先我们可以设每件降价x元，降价后单件盈利会减少x元，变为(20-x)元；同时销售量会随着降价增加，每降1元多卖10件，降x元就多卖10x件，总销售量变为(40+10x)件。再根据总盈利要达到1350元的条件，列出一元二次方程求解即可，最后要验证解是否符合实际销售的逻辑（比如单件盈利不能为负数）。
【解析】
解：设每件应降价x元。
根据题意，降价后每件盈利为$(20 - x)$元，每天的销售量为$(40 + 10x)$件。
由总盈利=单件盈利×销售量，可列方程：
$(20 - x)(40 + 10x) = 1350$
展开整理得：
$800 + 200x - 40x - 10x^2 = 1350$
$-10x^2 + 160x - 550 = 0$
两边同时除以$-10$得：
$x^2 - 16x + 55 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 11) = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=11$
检验：当$x=5$时，$20 - 5 =15＞0$，符合实际；当$x=11$时，$20 -11=9＞0$，符合实际，两个解均有效。
【答案】
每件应降价5元或11元.
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润计算、因式分解解方程
【点评】
本题是典型的销售类方程建模应用题，解题的关键是准确找到总利润的等量关系，正确表示出降价后的单件利润和销售量，求解后要注意检验解是否符合实际意义，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
4. 某校举办八年级学生数学素养大赛.比赛共设四个项目:七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原,每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分.下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况(单位:分).
(1)比赛后,甲猜测七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原这四项得分分别按10%,40%,20%,30%折算记入总分,根据猜测,求出甲的总分;
(2)本次大赛组委会最后决定,总分为80分以上(包括80分)的学生获一等奖.现获悉乙、丙的总分分别是70分,80分,甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后的分数和是20分.问:甲能否获得这次比赛一等奖?
(1)比赛后,甲猜测七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原这四项得分分别按10%,40%,20%,30%折算记入总分,根据猜测,求出甲的总分;
(2)本次大赛组委会最后决定,总分为80分以上(包括80分)的学生获一等奖.现获悉乙、丙的总分分别是70分,80分,甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后的分数和是20分.问:甲能否获得这次比赛一等奖?
答案
解:(1)甲的总分:$66×10\%+89×40\%+86×20\%+68×30\%=79.8$(分)；
(2)设趣题巧解所占的百分比为 x,数学应用所占的百分比为 y.
由题意,得$\begin{cases}20+60x+80y=70, \\20+80x+90y=80, \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=0.3, \\y=0.4. \end{cases}$
∴甲的总分:$20+89×0.3+86×0.4=81.1＞80.$
∴甲能获得一等奖.
(2)设趣题巧解所占的百分比为 x,数学应用所占的百分比为 y.
由题意,得$\begin{cases}20+60x+80y=70, \\20+80x+90y=80, \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=0.3, \\y=0.4. \end{cases}$
∴甲的总分:$20+89×0.3+86×0.4=81.1＞80.$
∴甲能获得一等奖.
解析
【分析】
(1) 第一问是加权平均数的直接应用，已知四个项目各自的折算百分比，将甲每个项目的得分乘以对应的百分比后求和，即可算出甲的猜测总分。
(2) 第二问首先明确：甲、乙、丙三人七巧板拼图、魔方复原的原始得分都相同，因此这两项折算后的总分均为20分。设趣题巧解、数学应用的折算百分比分别为x、y，结合乙、丙的总分可列出二元一次方程组，求解得到两个项目的百分比后，代入甲的得分计算实际总分，再和80分比较，即可判断甲是否能获得一等奖。
【解析】
(1) 根据甲猜测的折算比例计算总分：
$\begin{split}&66×10\% + 89×40\% + 86×20\% + 68×30\%\\=&6.6 + 35.6 + 17.2 + 20.4\\=&79.8(\mathrm{分})\end{split}$
(2) 设趣题巧解所占的百分比为$x$，数学应用所占的百分比为$y$，由题意列方程组：
$\begin{cases}20+60x+80y=70 \\20+80x+90y=80 \end{cases}$
整理得$\begin{cases}60x+80y=50 ①\\80x+90y=60 ②\end{cases}$
①×4 - ②×3得$50y=20$，解得$y=0.4$，代入①得$x=0.3$，即$\begin{cases}x=0.3 \\y=0.4 \end{cases}$
计算甲的实际总分：$20+89×0.3+86×0.4=81.1$（分）
因为$81.1＞80$，因此甲能获得一等奖。
【答案】
(1) 甲的猜测总分为79.8分；
(2) 甲能获得这次比赛一等奖。
【知识点】
加权平均数计算、二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合实际竞赛场景出题，既考查了加权平均数的基础运算，又考查了提取等量关系建立方程组解决实际问题的能力，计算时需注意百分数运算的准确性，整体难度适中，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是加权平均数的直接应用，已知四个项目各自的折算百分比，将甲每个项目的得分乘以对应的百分比后求和，即可算出甲的猜测总分。
(2) 第二问首先明确：甲、乙、丙三人七巧板拼图、魔方复原的原始得分都相同，因此这两项折算后的总分均为20分。设趣题巧解、数学应用的折算百分比分别为x、y，结合乙、丙的总分可列出二元一次方程组，求解得到两个项目的百分比后，代入甲的得分计算实际总分，再和80分比较，即可判断甲是否能获得一等奖。
【解析】
(1) 根据甲猜测的折算比例计算总分：
$\begin{split}&66×10\% + 89×40\% + 86×20\% + 68×30\%\\=&6.6 + 35.6 + 17.2 + 20.4\\=&79.8(\mathrm{分})\end{split}$
(2) 设趣题巧解所占的百分比为$x$，数学应用所占的百分比为$y$，由题意列方程组：
$\begin{cases}20+60x+80y=70 \\20+80x+90y=80 \end{cases}$
整理得$\begin{cases}60x+80y=50 ①\\80x+90y=60 ②\end{cases}$
①×4 - ②×3得$50y=20$，解得$y=0.4$，代入①得$x=0.3$，即$\begin{cases}x=0.3 \\y=0.4 \end{cases}$
计算甲的实际总分：$20+89×0.3+86×0.4=81.1$（分）
因为$81.1＞80$，因此甲能获得一等奖。
【答案】
(1) 甲的猜测总分为79.8分；
(2) 甲能获得这次比赛一等奖。
【知识点】
加权平均数计算、二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合实际竞赛场景出题，既考查了加权平均数的基础运算，又考查了提取等量关系建立方程组解决实际问题的能力，计算时需注意百分数运算的准确性，整体难度适中，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
