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1. 已知 $a, b, c$ 是 $△ ABC$ 三边的长，则 $\sqrt{(a - b - c)^2} + |a + b - c|$ 的值为
$2b$
。答案
1. $2b$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先将第一个二次根式转化为绝对值形式，统一算式的结构；第二步，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，分别判断两个绝对值内代数式的正负性：$a-b-c=a-(b+c)$，因$b+c＞a$，故该式小于0；$a+b-c$因$a+b＞c$，故该式大于0；第三步，根据绝对值的代数意义去绝对值符号，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(a - b - c)^2}=|a-b-c|$，
∴原式$=|a-b-c|+|a+b-c|$。
∵$a,b,c$是$△ ABC$三边的长，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，
∴$b+c＞a$，$a+b＞c$，
∴$a-b-c=a-(b+c)＜0$，$a+b-c＞0$，
∴去绝对值得：
$|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c$，
$|a+b-c|=a+b-c$，
∴原式$=(-a+b+c)+(a+b-c)=2b$。
【答案】
$2b$
【知识点】
三角形三边关系；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式、绝对值与三角形三边关系的综合基础题，解题核心是通过三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再正确化简计算。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先将第一个二次根式转化为绝对值形式，统一算式的结构；第二步，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，分别判断两个绝对值内代数式的正负性：$a-b-c=a-(b+c)$，因$b+c＞a$，故该式小于0；$a+b-c$因$a+b＞c$，故该式大于0；第三步，根据绝对值的代数意义去绝对值符号，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(a - b - c)^2}=|a-b-c|$，
∴原式$=|a-b-c|+|a+b-c|$。
∵$a,b,c$是$△ ABC$三边的长，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，
∴$b+c＞a$，$a+b＞c$，
∴$a-b-c=a-(b+c)＜0$，$a+b-c＞0$，
∴去绝对值得：
$|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c$，
$|a+b-c|=a+b-c$，
∴原式$=(-a+b+c)+(a+b-c)=2b$。
【答案】
$2b$
【知识点】
三角形三边关系；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式、绝对值与三角形三边关系的综合基础题，解题核心是通过三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再正确化简计算。
【难度系数】
0.7
2. 对于两个不相等的实数$a,b$,定义一种新的运算如下：$a*b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}(a+b＞0)$,如：$3*2=\frac{\sqrt{3+2}}{3-2}=\sqrt{5}$,那么$6*(5*4)=$
$1$
.答案
2. 1
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题时需先明确给定的新运算规则，同时遵循四则混合运算的优先级：有括号先计算括号内的运算，再计算括号外的运算。第一步先根据新运算公式算出内层5*4的结果，第二步再将该结果作为新的运算项，计算6和这个结果的新运算即可，计算过程中要注意满足a+b＞0的前提，二次根式化简要准确。
【解析】
先计算括号内的5*4：
根据新运算规则$a*b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}(a+b＞0)$，取$a=5$，$b=4$，满足$5+4=9＞0$，
则$5*4=\frac{\sqrt{5+4}}{5-4}=\frac{\sqrt{9}}{1}=\frac{3}{1}=3$。
再计算$6*3$：
取$a=6$，$b=3$，满足$6+3=9＞0$，
则$6*3=\frac{\sqrt{6+3}}{6-3}=\frac{\sqrt{9}}{3}=\frac{3}{3}=1$。
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，四则混合运算顺序
【点评】
本题主要考查对新定义运算规则的理解与运用，解题时要严格按照给定的运算公式计算，注意运算优先级，先算括号内部分，计算过程中细心化简二次根式即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题时需先明确给定的新运算规则，同时遵循四则混合运算的优先级：有括号先计算括号内的运算，再计算括号外的运算。第一步先根据新运算公式算出内层5*4的结果，第二步再将该结果作为新的运算项，计算6和这个结果的新运算即可，计算过程中要注意满足a+b＞0的前提，二次根式化简要准确。
【解析】
先计算括号内的5*4：
根据新运算规则$a*b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}(a+b＞0)$，取$a=5$，$b=4$，满足$5+4=9＞0$，
则$5*4=\frac{\sqrt{5+4}}{5-4}=\frac{\sqrt{9}}{1}=\frac{3}{1}=3$。
再计算$6*3$：
取$a=6$，$b=3$，满足$6+3=9＞0$，
则$6*3=\frac{\sqrt{6+3}}{6-3}=\frac{\sqrt{9}}{3}=\frac{3}{3}=1$。
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，四则混合运算顺序
【点评】
本题主要考查对新定义运算规则的理解与运用，解题时要严格按照给定的运算公式计算，注意运算优先级，先算括号内部分，计算过程中细心化简二次根式即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
3. 若 $ y = \sqrt{2 - 4x} + \sqrt{(x - 1)^2} + \sqrt{4x - 2} $，则 $ (x + y)^{2026} = \_\_\_\_\_\_ $
答案
3. 1
解析
【分析】
要计算$(x+y)^{2026}$的值，需先求出$x$和$y$的取值。根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，观察到式中$\sqrt{2-4x}$和$\sqrt{4x-2}$的被开方数互为相反数，因此二者的被开方数只能同时为0，据此可先求出$x$的值，再代入原式求出$y$的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
要使二次根式有意义，需满足被开方数非负，因此：
$\begin{cases}2-4x≥0 \\4x-2≥0 \end{cases}$
解不等式$2-4x≥0$得：$x≤\frac{1}{2}$
解不等式$4x-2≥0$得：$x≥\frac{1}{2}$
因此$x=\frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入$y = \sqrt{2 - 4x} + \sqrt{(x - 1)^2} + \sqrt{4x - 2}$中：
$\sqrt{2-4x}=\sqrt{4x-2}=0$，
$\sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2}=|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$，
因此$y=0+\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}$。
则$x+y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，
所以$(x+y)^{2026}=1^{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的性质 3.有理数的乘方
【点评】
本题解题的核心是利用二次根式被开方数非负的性质，结合两个互为相反数的被开方数同时非负时只能均为0的特点，快速求出$x$的取值，再结合二次根式的性质求出$y$，最终代入计算即可，属于二次根式的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
要计算$(x+y)^{2026}$的值，需先求出$x$和$y$的取值。根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，观察到式中$\sqrt{2-4x}$和$\sqrt{4x-2}$的被开方数互为相反数，因此二者的被开方数只能同时为0，据此可先求出$x$的值，再代入原式求出$y$的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
要使二次根式有意义，需满足被开方数非负，因此：
$\begin{cases}2-4x≥0 \\4x-2≥0 \end{cases}$
解不等式$2-4x≥0$得：$x≤\frac{1}{2}$
解不等式$4x-2≥0$得：$x≥\frac{1}{2}$
因此$x=\frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入$y = \sqrt{2 - 4x} + \sqrt{(x - 1)^2} + \sqrt{4x - 2}$中：
$\sqrt{2-4x}=\sqrt{4x-2}=0$，
$\sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2}=|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$，
因此$y=0+\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}$。
则$x+y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，
所以$(x+y)^{2026}=1^{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的性质 3.有理数的乘方
【点评】
本题解题的核心是利用二次根式被开方数非负的性质，结合两个互为相反数的被开方数同时非负时只能均为0的特点，快速求出$x$的取值，再结合二次根式的性质求出$y$，最终代入计算即可，属于二次根式的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
4. 小明做数学题时，发现$\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$，$\sqrt{2-\frac{2}{5}}=2\sqrt{\frac{2}{5}}$，$\sqrt{3-\frac{3}{10}}=3\sqrt{\frac{3}{10}}$，$\sqrt{4-\frac{4}{17}}=4\sqrt{\frac{4}{17}}$，…
按上述规律，第五个等式是________，
第n个等式是________。
按上述规律，第五个等式是________，
第n个等式是________。
答案
4. $\sqrt{5-\frac{5}{26}}=5\sqrt{\frac{5}{26}}$ $\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$
解析
【分析】
解决这类规律探究题，我们可以分步骤观察已知等式的结构，分别对比等式左右两边各部分和等式序号的对应关系：
1. 先看等式左边根号内的部分：被减数就是等式的序号（第1个是1，第2个是2，…第k个是k）；减数的分子和被减数相同，分母是“序号的平方加1”（第1个分母$1^2+1=2$，第2个$2^2+1=5$，第3个$3^2+1=10$，以此类推）。
2. 再看等式右边：系数就是等式的序号，根号内的分数和左边根号内的减数完全相同。
找到规律后，先代入k=5得到第五个等式，再用n替换序号k就能得到第n个等式，最后可以用二次根式的化简验证规律是否成立。
【解析】
我们先对已知的4个等式按序号梳理规律：
当序号k=1时：$\sqrt{1-\frac{1}{1^2+1}}=1×\sqrt{\frac{1}{1^2+1}}$，即$\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$，符合已知；
当序号k=2时：$\sqrt{2-\frac{2}{2^2+1}}=2×\sqrt{\frac{2}{2^2+1}}$，即$\sqrt{2-\frac{2}{5}}=2\sqrt{\frac{2}{5}}$，符合已知；
同理k=3、k=4时均满足规律：$\sqrt{k-\frac{k}{k^2+1}}=k\sqrt{\frac{k}{k^2+1}}$。
1. 求第五个等式：此时k=5，代入得分母$5^2+1=26$，因此等式为$\sqrt{5-\frac{5}{26}}=5\sqrt{\frac{5}{26}}$。
2. 求第n个等式：将k替换为正整数n，我们可以通过二次根式化简验证规律：
左边$=\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=\sqrt{\frac{n(n^2+1)-n}{n^2+1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2+1}}=\sqrt{n^2·\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$=右边，规律成立。
因此第n个等式为$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$（n为正整数）。
【答案】
$\sqrt{5-\frac{5}{26}}=5\sqrt{\frac{5}{26}}$；$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$
【知识点】
二次根式化简；数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题关键是将等式拆分为整数部分、分子、分母多个模块，分别寻找和序号的对应关系，再结合二次根式的性质验证规律的正确性，主要考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
解决这类规律探究题，我们可以分步骤观察已知等式的结构，分别对比等式左右两边各部分和等式序号的对应关系：
1. 先看等式左边根号内的部分：被减数就是等式的序号（第1个是1，第2个是2，…第k个是k）；减数的分子和被减数相同，分母是“序号的平方加1”（第1个分母$1^2+1=2$，第2个$2^2+1=5$，第3个$3^2+1=10$，以此类推）。
2. 再看等式右边：系数就是等式的序号，根号内的分数和左边根号内的减数完全相同。
找到规律后，先代入k=5得到第五个等式，再用n替换序号k就能得到第n个等式，最后可以用二次根式的化简验证规律是否成立。
【解析】
我们先对已知的4个等式按序号梳理规律：
当序号k=1时：$\sqrt{1-\frac{1}{1^2+1}}=1×\sqrt{\frac{1}{1^2+1}}$，即$\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$，符合已知；
当序号k=2时：$\sqrt{2-\frac{2}{2^2+1}}=2×\sqrt{\frac{2}{2^2+1}}$，即$\sqrt{2-\frac{2}{5}}=2\sqrt{\frac{2}{5}}$，符合已知；
同理k=3、k=4时均满足规律：$\sqrt{k-\frac{k}{k^2+1}}=k\sqrt{\frac{k}{k^2+1}}$。
1. 求第五个等式：此时k=5，代入得分母$5^2+1=26$，因此等式为$\sqrt{5-\frac{5}{26}}=5\sqrt{\frac{5}{26}}$。
2. 求第n个等式：将k替换为正整数n，我们可以通过二次根式化简验证规律：
左边$=\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=\sqrt{\frac{n(n^2+1)-n}{n^2+1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2+1}}=\sqrt{n^2·\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$=右边，规律成立。
因此第n个等式为$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$（n为正整数）。
【答案】
$\sqrt{5-\frac{5}{26}}=5\sqrt{\frac{5}{26}}$；$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$
【知识点】
二次根式化简；数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题关键是将等式拆分为整数部分、分子、分母多个模块，分别寻找和序号的对应关系，再结合二次根式的性质验证规律的正确性，主要考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
5. 若$x,y$为实数，且$\sqrt{x+3} + |y - 2| = 0$，则$x + y =$
$-1$
。答案
5. $-1$
解析
【分析】
解题的核心是利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0。首先明确题目中$\sqrt{x+3}$是二次根式，具备非负性，$|y-2|$是绝对值，也具备非负性，二者相加为0，说明两个式子各自等于0，据此列方程求出$x$、$y$的值后，代入计算$x+y$即可。
【解析】
解：$\because$ 二次根式的结果非负，$\therefore \sqrt{x+3} ≥ 0$
$\because$ 绝对值的结果非负，$\therefore |y - 2| ≥ 0$
已知$\sqrt{x+3} + |y - 2| = 0$，根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x + 3 = 0 \\ y - 2 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x = -3 \\ y = 2\end{cases}$
$\therefore x + y = -3 + 2 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式的非负性，绝对值的非负性，非负数的性质
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查常见非负形式的性质应用，牢记二次根式、绝对值、偶次幂这几类非负形式的特征，遇到同类和为0的题型时，直接令各部分为0求解即可。
【难度系数】
0.85
解题的核心是利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0。首先明确题目中$\sqrt{x+3}$是二次根式，具备非负性，$|y-2|$是绝对值，也具备非负性，二者相加为0，说明两个式子各自等于0，据此列方程求出$x$、$y$的值后，代入计算$x+y$即可。
【解析】
解：$\because$ 二次根式的结果非负，$\therefore \sqrt{x+3} ≥ 0$
$\because$ 绝对值的结果非负，$\therefore |y - 2| ≥ 0$
已知$\sqrt{x+3} + |y - 2| = 0$，根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x + 3 = 0 \\ y - 2 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x = -3 \\ y = 2\end{cases}$
$\therefore x + y = -3 + 2 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式的非负性，绝对值的非负性，非负数的性质
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查常见非负形式的性质应用，牢记二次根式、绝对值、偶次幂这几类非负形式的特征，遇到同类和为0的题型时，直接令各部分为0求解即可。
【难度系数】
0.85
6. $\sqrt{x+1}+(y-2011)^2=0$,则$x^y=$
$-1$
.答案
6. $-1$
解析
【分析】
算术平方根和完全平方数都具有非负性，即二者的取值都大于或等于0。当两个非负数的和为0时，仅存在一种情况：两个非负数各自的值都为0。我们可以依据这一规律分别列方程求出x、y的取值，再代入$x^y$计算最终结果即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x+1} ≥ 0$，$(y-2011)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x+1}+(y-2011)^2=0$
∴ 根据非负数的性质可列方程组：
$\begin{cases}\sqrt{x+1}=0 \\(y-2011)^2=0\end{cases}$
分别求解方程：
由$\sqrt{x+1}=0$可得$x+1=0$，解得$x=-1$；
由$(y-2011)^2=0$可得$y-2011=0$，解得$y=2011$。
将$x=-1$，$y=2011$代入$x^y$得：
$x^y=(-1)^{2011}=-1$（负数的奇次幂为负数）
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式的非负性；平方的非负性；乘方运算
【点评】
本题是典型的非负数性质应用类基础题，解题核心是掌握常见非负数（算术平方根、偶次幂、绝对值）的和为0时，每个非负数的值均为0的规律，再结合对应运算规则计算即可，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
算术平方根和完全平方数都具有非负性，即二者的取值都大于或等于0。当两个非负数的和为0时，仅存在一种情况：两个非负数各自的值都为0。我们可以依据这一规律分别列方程求出x、y的取值，再代入$x^y$计算最终结果即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x+1} ≥ 0$，$(y-2011)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x+1}+(y-2011)^2=0$
∴ 根据非负数的性质可列方程组：
$\begin{cases}\sqrt{x+1}=0 \\(y-2011)^2=0\end{cases}$
分别求解方程：
由$\sqrt{x+1}=0$可得$x+1=0$，解得$x=-1$；
由$(y-2011)^2=0$可得$y-2011=0$，解得$y=2011$。
将$x=-1$，$y=2011$代入$x^y$得：
$x^y=(-1)^{2011}=-1$（负数的奇次幂为负数）
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式的非负性；平方的非负性；乘方运算
【点评】
本题是典型的非负数性质应用类基础题，解题核心是掌握常见非负数（算术平方根、偶次幂、绝对值）的和为0时，每个非负数的值均为0的规律，再结合对应运算规则计算即可，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
7. 若$\sqrt{(a-2)^2}=2-a$，则 （
A.$a＜2$
B.$a≤2$
C.$a＞2$
D.$a≥2$
B
）A.$a＜2$
B.$a≤2$
C.$a＞2$
D.$a≥2$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的化简性质：形如$\sqrt{x^2}$的式子化简结果为$|x|$，因此先将等式左边转化为绝对值形式；再根据绝对值的性质：若$|x|=-x$，则$x$是非正数，据此列出关于$a$的不等式，解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|$，
结合题中等式$\sqrt{(a-2)^2}=2-a$，可推得$|a-2|=2-a$。
根据绝对值的性质：当$x≤0$时，$|x|=-x$，此处$2-a=-(a-2)$，因此有：
$a-2≤0$
解不等式得$a≤2$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是掌握二次根式化简与绝对值性质的对应关系，注意不要忽略等于0的情况，避免误选A选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次根式的化简性质：形如$\sqrt{x^2}$的式子化简结果为$|x|$，因此先将等式左边转化为绝对值形式；再根据绝对值的性质：若$|x|=-x$，则$x$是非正数，据此列出关于$a$的不等式，解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|$，
结合题中等式$\sqrt{(a-2)^2}=2-a$，可推得$|a-2|=2-a$。
根据绝对值的性质：当$x≤0$时，$|x|=-x$，此处$2-a=-(a-2)$，因此有：
$a-2≤0$
解不等式得$a≤2$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是掌握二次根式化简与绝对值性质的对应关系，注意不要忽略等于0的情况，避免误选A选项。
【难度系数】
0.7
8. 已知$(x - y + 3)^2 + \sqrt{2x + y} = 0$，则$x + y$的值为（
A.0
B.$-1$
C.1
D.5
C
）A.0
B.$-1$
C.1
D.5
答案
8. C
解析
【分析】
首先观察等式结构，左边由一个平方项和一个二次根式的算术平方根组成。根据已学知识，任意实数的平方是非负数，算术平方根也具有非负性，即两者的取值都≥0。两个非负数的和为0时，只有每一项都等于0才能满足条件，因此可以得到关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值后再计算x+y即可。
【解析】
解：$\because (x - y + 3)^2≥0$，$\sqrt{2x + y}≥0$，且$(x - y + 3)^2 + \sqrt{2x + y} = 0$
$\therefore$可列方程组：
$\begin{cases}x - y + 3 = 0&①\\2x + y = 0&②\end{cases}$
将①+②得：$3x + 3 = 0$，解得$x = -1$
把$x = -1$代入②得：$2×(-1) + y = 0$，解得$y = 2$
$\therefore x + y = -1 + 2 = 1$
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质；解二元一次方程组；二次根式的非负性
【点评】
本题属于代数基础常考题型，解题核心是熟练掌握平方、算术平方根的非负性，利用“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的结论构造方程组求解，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8
首先观察等式结构，左边由一个平方项和一个二次根式的算术平方根组成。根据已学知识，任意实数的平方是非负数，算术平方根也具有非负性，即两者的取值都≥0。两个非负数的和为0时，只有每一项都等于0才能满足条件，因此可以得到关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值后再计算x+y即可。
【解析】
解：$\because (x - y + 3)^2≥0$，$\sqrt{2x + y}≥0$，且$(x - y + 3)^2 + \sqrt{2x + y} = 0$
$\therefore$可列方程组：
$\begin{cases}x - y + 3 = 0&①\\2x + y = 0&②\end{cases}$
将①+②得：$3x + 3 = 0$，解得$x = -1$
把$x = -1$代入②得：$2×(-1) + y = 0$，解得$y = 2$
$\therefore x + y = -1 + 2 = 1$
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质；解二元一次方程组；二次根式的非负性
【点评】
本题属于代数基础常考题型，解题核心是熟练掌握平方、算术平方根的非负性，利用“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的结论构造方程组求解，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8
9. 若代数式$\sqrt{(2-a)^2}+\sqrt{(a-4)^2}$的值是常数2，则a的取值范围是（
A.$a≥4$
B.$a≤2$
C.$2≤ a≤4$
D.$a=2$或$a=4$
C
）A.$a≥4$
B.$a≤2$
C.$2≤ a≤4$
D.$a=2$或$a=4$
答案
9. C
解析
【分析】
解题时首先利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为绝对值的和的形式：$|2-a|+|a-4|$。要使这个和为常数2，需要通过分类讨论a的取值范围，对绝对值进行化简，观察化简后a项是否抵消、结果是否等于2；也可以结合数轴上两点间距离的含义，$|a-2|+|a-4|$表示数轴上点a到点2和点4的距离之和，而点2和点4之间的距离恰好为2，据此可快速判断a的取值范围。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
原式$=|2-a|+|a-4|$
接下来分三种情况讨论：
1. 当$a＜2$时，$2-a＞0$，$a-4＜0$，
原式$=(2-a)+(4-a)=6-2a$，结果随$a$变化，不是常数2，不符合要求；
2. 当$2\le a\le4$时，$2-a\le0$，$a-4\le0$，
原式$=(a-2)+(4-a)=2$，结果为常数2，符合要求；
3. 当$a＞4$时，$2-a＜0$，$a-4＞0$，
原式$=(a-2)+(a-4)=2a-6$，结果随$a$变化，不是常数2，不符合要求。
综上，$a$的取值范围是$2\le a\le4$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式部分的常考题型，核心考查二次根式性质与绝对值化简的结合应用，解题的关键是熟练掌握$\sqrt{a^2}=|a|$的变形规则，通过分类讨论或数轴距离的几何意义快速推导取值范围。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为绝对值的和的形式：$|2-a|+|a-4|$。要使这个和为常数2，需要通过分类讨论a的取值范围，对绝对值进行化简，观察化简后a项是否抵消、结果是否等于2；也可以结合数轴上两点间距离的含义，$|a-2|+|a-4|$表示数轴上点a到点2和点4的距离之和，而点2和点4之间的距离恰好为2，据此可快速判断a的取值范围。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
原式$=|2-a|+|a-4|$
接下来分三种情况讨论：
1. 当$a＜2$时，$2-a＞0$，$a-4＜0$，
原式$=(2-a)+(4-a)=6-2a$，结果随$a$变化，不是常数2，不符合要求；
2. 当$2\le a\le4$时，$2-a\le0$，$a-4\le0$，
原式$=(a-2)+(4-a)=2$，结果为常数2，符合要求；
3. 当$a＞4$时，$2-a＜0$，$a-4＞0$，
原式$=(a-2)+(a-4)=2a-6$，结果随$a$变化，不是常数2，不符合要求。
综上，$a$的取值范围是$2\le a\le4$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式部分的常考题型，核心考查二次根式性质与绝对值化简的结合应用，解题的关键是熟练掌握$\sqrt{a^2}=|a|$的变形规则，通过分类讨论或数轴距离的几何意义快速推导取值范围。
【难度系数】
0.7
10. 用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形ABCD，它的面积是75，$AE=3\sqrt{3}$，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的周长为（
A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$5\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
B
）A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$5\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
答案
10. B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据大正方形的面积求出大正方形的边长，大正方形边长等于长方形纸片的长与宽的和；第二步，已知AE的长度就是长方形的长，用大正方形边长减去长就能得到长方形的宽；第三步，观察图形可知空白小正方形的边长等于长方形的长减去宽，最后根据正方形周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积是75，
∴正方形ABCD的边长$AB=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，
由图可得：长方形的长为$AE=3\sqrt{3}$，且长方形的长+宽$=AB$，
∴长方形的宽$=AB-AE=5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
∵空白小正方形的边长=长方形的长-长方形的宽，
∴小正方形的边长$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴小正方形的周长$=4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式运算、正方形周长计算、数形结合应用
【点评】
本题属于基础题，将二次根式运算与几何拼图相结合，解题关键是读懂图形，理清大正方形边长、长方形长宽、小正方形边长之间的数量关系，再代入计算即可。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先根据大正方形的面积求出大正方形的边长，大正方形边长等于长方形纸片的长与宽的和；第二步，已知AE的长度就是长方形的长，用大正方形边长减去长就能得到长方形的宽；第三步，观察图形可知空白小正方形的边长等于长方形的长减去宽，最后根据正方形周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积是75，
∴正方形ABCD的边长$AB=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，
由图可得：长方形的长为$AE=3\sqrt{3}$，且长方形的长+宽$=AB$，
∴长方形的宽$=AB-AE=5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
∵空白小正方形的边长=长方形的长-长方形的宽，
∴小正方形的边长$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴小正方形的周长$=4×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式运算、正方形周长计算、数形结合应用
【点评】
本题属于基础题，将二次根式运算与几何拼图相结合，解题关键是读懂图形，理清大正方形边长、长方形长宽、小正方形边长之间的数量关系，再代入计算即可。
【难度系数】
0.7
11.已知$a_0=\sqrt{5}$，将$a_0$的整数部分加上$a_0$的小数部分的倒数得到$a_1$，再将$a_1$的整数部分加上$a_1$的小数部分的倒数得到$a_2$，以此类推可得到$a_3,a_4,\dots,a_n$，如$\sqrt{5}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{5}-2$。所以$a_1=2+\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+4$。根据以上信息，下列说法正确的有（
①$a_3=\sqrt{5}+12$；
②$a_{2025}$的小数部分为$\sqrt{5}-2$；
③$a_{23}-a_{22}=\sqrt{5}+2$；
④$\frac{1}{(a_2-\sqrt{5})(a_4-\sqrt{5})}+\frac{1}{(a_4-\sqrt{5})(a_6-\sqrt{5})}+\dots+\frac{1}{(a_{98}-\sqrt{5})(a_{100}-\sqrt{5})}=\frac{49}{3200}$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）①$a_3=\sqrt{5}+12$；
②$a_{2025}$的小数部分为$\sqrt{5}-2$；
③$a_{23}-a_{22}=\sqrt{5}+2$；
④$\frac{1}{(a_2-\sqrt{5})(a_4-\sqrt{5})}+\frac{1}{(a_4-\sqrt{5})(a_6-\sqrt{5})}+\dots+\frac{1}{(a_{98}-\sqrt{5})(a_{100}-\sqrt{5})}=\frac{49}{3200}$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
11. C
解析
【分析】
解题时首先根据题干给出的递推规则，通过分母有理化计算前几项的表达式，找到$a_n$的通用规律以及$a_n$的小数部分的特征，再逐一验证4个结论是否正确，最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
首先计算前几项找规律：
已知$a_0=\sqrt{5}\approx2.236$，整数部分为2，小数部分为$\sqrt{5}-2$，
1. 计算$a_1$：$a_1=2 + \frac{1}{\sqrt{5}-2}$，分母有理化得$\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2$，故$a_1=2+\sqrt{5}+2=\sqrt{5}+4\approx6.236$，整数部分为6，小数部分仍为$\sqrt{5}-2$；
2. 计算$a_2$：$a_2=6 + \frac{1}{\sqrt{5}-2}=6+\sqrt{5}+2=\sqrt{5}+8\approx10.236$，整数部分为10，小数部分仍为$\sqrt{5}-2$；
3. 计算$a_3$：$a_3=10 + \frac{1}{\sqrt{5}-2}=10+\sqrt{5}+2=\sqrt{5}+12$，故结论①正确；
规律总结：对任意正整数$n$，$a_n=\sqrt{5}+4n$，小数部分恒为$\sqrt{5}-2$，故$a_{2025}$的小数部分为$\sqrt{5}-2$，结论②正确；
验证结论③：$a_{23} - a_{22}=(\sqrt{5}+4×23)-(\sqrt{5}+4×22)=4×(23-22)=4≠\sqrt{5}+2$，故结论③错误；
验证结论④：由规律得$a_{2k} - \sqrt{5}=4×2k=8k$，故原式各项可裂项：
$\frac{1}{(a_{2k}-\sqrt{5})(a_{2k+2}-\sqrt{5})}=\frac{1}{8k·8(k+1)}=\frac{1}{64}×(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$
原式共49项，代入求和：
原式=$\frac{1}{64}×[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{49}-\frac{1}{50})]=\frac{1}{64}×(1-\frac{1}{50})=\frac{1}{64}×\frac{49}{50}=\frac{49}{3200}$，故结论④正确。
综上，①②④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简，规律探究，裂项相消求和
【点评】
本题综合考查了二次根式的分母有理化、数字规律归纳及裂项相消法的应用，需要先通过计算前几项推导通用规律，再结合规律逐一验证结论，对运算能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据题干给出的递推规则，通过分母有理化计算前几项的表达式，找到$a_n$的通用规律以及$a_n$的小数部分的特征，再逐一验证4个结论是否正确，最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
首先计算前几项找规律：
已知$a_0=\sqrt{5}\approx2.236$，整数部分为2，小数部分为$\sqrt{5}-2$，
1. 计算$a_1$：$a_1=2 + \frac{1}{\sqrt{5}-2}$，分母有理化得$\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2$，故$a_1=2+\sqrt{5}+2=\sqrt{5}+4\approx6.236$，整数部分为6，小数部分仍为$\sqrt{5}-2$；
2. 计算$a_2$：$a_2=6 + \frac{1}{\sqrt{5}-2}=6+\sqrt{5}+2=\sqrt{5}+8\approx10.236$，整数部分为10，小数部分仍为$\sqrt{5}-2$；
3. 计算$a_3$：$a_3=10 + \frac{1}{\sqrt{5}-2}=10+\sqrt{5}+2=\sqrt{5}+12$，故结论①正确；
规律总结：对任意正整数$n$，$a_n=\sqrt{5}+4n$，小数部分恒为$\sqrt{5}-2$，故$a_{2025}$的小数部分为$\sqrt{5}-2$，结论②正确；
验证结论③：$a_{23} - a_{22}=(\sqrt{5}+4×23)-(\sqrt{5}+4×22)=4×(23-22)=4≠\sqrt{5}+2$，故结论③错误；
验证结论④：由规律得$a_{2k} - \sqrt{5}=4×2k=8k$，故原式各项可裂项：
$\frac{1}{(a_{2k}-\sqrt{5})(a_{2k+2}-\sqrt{5})}=\frac{1}{8k·8(k+1)}=\frac{1}{64}×(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$
原式共49项，代入求和：
原式=$\frac{1}{64}×[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{49}-\frac{1}{50})]=\frac{1}{64}×(1-\frac{1}{50})=\frac{1}{64}×\frac{49}{50}=\frac{49}{3200}$，故结论④正确。
综上，①②④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简，规律探究，裂项相消求和
【点评】
本题综合考查了二次根式的分母有理化、数字规律归纳及裂项相消法的应用，需要先通过计算前几项推导通用规律，再结合规律逐一验证结论，对运算能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
12. 先化简，后求值：$(\dfrac{x^2 y - 4y^3}{x^2 + 4xy + 4y^2}) · (\dfrac{4xy}{x - 2y} + x)$，其中$\begin{cases} x = \sqrt{2} - 1, \\ y = \sqrt{2} + 1. \end{cases}$
答案
12. 解:原式$=\frac{y(x+2y)(x-2y)}{(x+2y)^2}·\frac{x(x+2y)}{x-2y}=xy$,将$\begin{cases}x=\sqrt{2}-1,\\y=\sqrt{2}+1\end{cases}$代入,得原式$=1$.
解析
【分析】
对于分式化简求值类题目，核心思路是先将原式化简为最简形式，再代入数值计算，避免直接代入带来的复杂运算。首先对第一个分式的分子、分母分别因式分解：分子先提取公因式y，再用平方差公式分解，分母用完全平方公式分解；其次计算第二个括号内的分式加法，将整式x通分后合并分子，再对合并后的分子因式分解；最后将两个化简后的分式相乘，约去公因式得到最简结果，代入x、y的值后利用平方差公式快速计算即可。
【解析】
解：先对原式逐步化简：
1. 化简第一个分式：
$\dfrac{x^2 y - 4y^3}{x^2 + 4xy + 4y^2}=\dfrac{y(x^2-4y^2)}{(x+2y)^2}=\dfrac{y(x+2y)(x-2y)}{(x+2y)^2}$
2. 化简第二个括号内的运算：
$\dfrac{4xy}{x - 2y} + x=\dfrac{4xy}{x-2y}+\dfrac{x(x-2y)}{x-2y}=\dfrac{4xy+x^2-2xy}{x-2y}=\dfrac{x^2+2xy}{x-2y}=\dfrac{x(x+2y)}{x-2y}$
3. 两个部分相乘约分：
原式$=\dfrac{y(x+2y)(x-2y)}{(x+2y)^2}·\dfrac{x(x+2y)}{x-2y}=xy$
4. 代入数值计算：
将$\begin{cases}x=\sqrt{2}-1,\\y=\sqrt{2}+1\end{cases}$代入，得：
原式$=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式化简运算，因式分解，二次根式求值
【点评】
本题是分式化简与代数求值结合的基础题型，重点考查因式分解的熟练度、分式四则运算的规则，代入数值时运用平方差公式可简化计算，是考试的高频考点。
【难度系数】
0.7
对于分式化简求值类题目，核心思路是先将原式化简为最简形式，再代入数值计算，避免直接代入带来的复杂运算。首先对第一个分式的分子、分母分别因式分解：分子先提取公因式y，再用平方差公式分解，分母用完全平方公式分解；其次计算第二个括号内的分式加法，将整式x通分后合并分子，再对合并后的分子因式分解；最后将两个化简后的分式相乘，约去公因式得到最简结果，代入x、y的值后利用平方差公式快速计算即可。
【解析】
解：先对原式逐步化简：
1. 化简第一个分式：
$\dfrac{x^2 y - 4y^3}{x^2 + 4xy + 4y^2}=\dfrac{y(x^2-4y^2)}{(x+2y)^2}=\dfrac{y(x+2y)(x-2y)}{(x+2y)^2}$
2. 化简第二个括号内的运算：
$\dfrac{4xy}{x - 2y} + x=\dfrac{4xy}{x-2y}+\dfrac{x(x-2y)}{x-2y}=\dfrac{4xy+x^2-2xy}{x-2y}=\dfrac{x^2+2xy}{x-2y}=\dfrac{x(x+2y)}{x-2y}$
3. 两个部分相乘约分：
原式$=\dfrac{y(x+2y)(x-2y)}{(x+2y)^2}·\dfrac{x(x+2y)}{x-2y}=xy$
4. 代入数值计算：
将$\begin{cases}x=\sqrt{2}-1,\\y=\sqrt{2}+1\end{cases}$代入，得：
原式$=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式化简运算，因式分解，二次根式求值
【点评】
本题是分式化简与代数求值结合的基础题型，重点考查因式分解的熟练度、分式四则运算的规则，代入数值时运用平方差公式可简化计算，是考试的高频考点。
【难度系数】
0.7
