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1.（广元中考题）计算：$\sqrt{27} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{12} =$
$-2$
.答案
1. $-2$
解析
【分析】
本题是二次根式的加减混合运算，解题思路如下：首先将题目中的非最简二次根式化为最简二次根式，再对分母含有二次根式的项进行分母有理化，化去分母中的根号，最后去括号合并同类二次根式即可得到结果，注意去括号时若括号前为负号，括号内各项要变号。
【解析】
解：分步化简各项后代入计算：
1. 化简二次根式：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$；
2. 对$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$分母有理化：根据平方差公式，分子分母同乘$2+\sqrt{3}$，得
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$；
3. 代入原式合并计算：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{3}-(2+\sqrt{3})-2\sqrt{3}\\&=3\sqrt{3}-2-\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\&=(3\sqrt{3}-\sqrt{3}-2\sqrt{3})-2\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
二次根式化简；分母有理化；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，重点考察二次根式的化简技巧和分母有理化的方法，计算时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式的加减混合运算，解题思路如下：首先将题目中的非最简二次根式化为最简二次根式，再对分母含有二次根式的项进行分母有理化，化去分母中的根号，最后去括号合并同类二次根式即可得到结果，注意去括号时若括号前为负号，括号内各项要变号。
【解析】
解：分步化简各项后代入计算：
1. 化简二次根式：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$；
2. 对$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$分母有理化：根据平方差公式，分子分母同乘$2+\sqrt{3}$，得
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$；
3. 代入原式合并计算：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{3}-(2+\sqrt{3})-2\sqrt{3}\\&=3\sqrt{3}-2-\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\&=(3\sqrt{3}-\sqrt{3}-2\sqrt{3})-2\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
二次根式化简；分母有理化；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，重点考察二次根式的化简技巧和分母有理化的方法，计算时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
2.（潍坊中考题）若代数式$\frac{\sqrt{x+1}}{(x-3)^2}$有意义，则实数x的取值范围是（
A.$x≥ -1$
B.$x≥ -1$且$x≠3$
C.$x＞ -1$
D.$x＞ -1$且$x≠3$
B
）A.$x≥ -1$
B.$x≥ -1$且$x≠3$
C.$x＞ -1$
D.$x＞ -1$且$x≠3$
答案
2. B
解析
【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，需分别分析代数式各组成部分的限制条件：首先二次根式的被开方数必须是非负数，才能保证二次根式有意义；其次分式的分母不能为0，才能保证分式有意义。最后联立两个限制条件，取公共解集就是x的取值范围。
【解析】
解：要使代数式$\frac{\sqrt{x+1}}{(x-3)^2}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式有意义的条件：被开方数非负，即$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式有意义的条件：分母不为0，即$(x-3)^2≠0$，推出$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综上，x的取值范围是$x≥-1$且$x≠3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；不等式组解集的确定
【点评】
本题是代数式有意义的常考基础题，易错点是容易遗漏分母不为0的限制，或误将二次根式被开方数的要求记为大于0，解题时需注意所有限制条件需同时满足，最终取公共的取值范围即可。
【难度系数】
0.8
要确定代数式有意义时x的取值范围，需分别分析代数式各组成部分的限制条件：首先二次根式的被开方数必须是非负数，才能保证二次根式有意义；其次分式的分母不能为0，才能保证分式有意义。最后联立两个限制条件，取公共解集就是x的取值范围。
【解析】
解：要使代数式$\frac{\sqrt{x+1}}{(x-3)^2}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式有意义的条件：被开方数非负，即$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式有意义的条件：分母不为0，即$(x-3)^2≠0$，推出$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综上，x的取值范围是$x≥-1$且$x≠3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；不等式组解集的确定
【点评】
本题是代数式有意义的常考基础题，易错点是容易遗漏分母不为0的限制，或误将二次根式被开方数的要求记为大于0，解题时需注意所有限制条件需同时满足，最终取公共的取值范围即可。
【难度系数】
0.8
3.（丹东中考题）下列计算正确的是 （
A.$3^{-1}=-3$
B.$x^3 · x^4 = x^7$
C.$\sqrt{2} · \sqrt{3} = \sqrt{5}$
D.$(-p^2 q)^3 = -p^5 q^3$
B
）A.$3^{-1}=-3$
B.$x^3 · x^4 = x^7$
C.$\sqrt{2} · \sqrt{3} = \sqrt{5}$
D.$(-p^2 q)^3 = -p^5 q^3$
答案
3. B
解析
【分析】
本题是基础运算正误判断题，解题时需逐一分析每个选项，结合对应运算的法则计算出正确结果，再和选项给出的结果对比，排除错误选项，最终选出正确答案。解题时要先回忆负整数指数幂、同底数幂乘法、二次根式乘法、积的乘方的运算规则，再逐个验证。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据负整数指数幂的运算法则$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a≠0)$，可得$3^{-1}=\frac{1}{3^1}=\frac{1}{3}≠-3$，故A错误；
B. 根据同底数幂相乘的运算法则：底数不变，指数相加，即$x^m·x^n=x^{m+n}$，可得$x^3·x^4=x^{3+4}=x^7$，故B正确；
C. 根据二次根式的乘法运算法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2}·\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，故C错误；
D. 根据积的乘方运算法则：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，结合幂的乘方底数不变指数相乘的规则，可得$(-p^2 q)^3=(-1)^3·(p^2)^3·q^3=-p^{6}q^3≠-p^5 q^3$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；二次根式的乘法运算；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础题，主要考查学生对代数基础运算规则的掌握情况，只要熟记各类运算的公式，不混淆运算规则，认真计算即可做对。
【难度系数】
0.8
本题是基础运算正误判断题，解题时需逐一分析每个选项，结合对应运算的法则计算出正确结果，再和选项给出的结果对比，排除错误选项，最终选出正确答案。解题时要先回忆负整数指数幂、同底数幂乘法、二次根式乘法、积的乘方的运算规则，再逐个验证。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据负整数指数幂的运算法则$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a≠0)$，可得$3^{-1}=\frac{1}{3^1}=\frac{1}{3}≠-3$，故A错误；
B. 根据同底数幂相乘的运算法则：底数不变，指数相加，即$x^m·x^n=x^{m+n}$，可得$x^3·x^4=x^{3+4}=x^7$，故B正确；
C. 根据二次根式的乘法运算法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2}·\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，故C错误；
D. 根据积的乘方运算法则：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，结合幂的乘方底数不变指数相乘的规则，可得$(-p^2 q)^3=(-1)^3·(p^2)^3·q^3=-p^{6}q^3≠-p^5 q^3$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；二次根式的乘法运算；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础题，主要考查学生对代数基础运算规则的掌握情况，只要熟记各类运算的公式，不混淆运算规则，认真计算即可做对。
【难度系数】
0.8
4. （广东中考题）先化简，再求值：$(\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{1}{x+1})·(x^2-1)$，其中 $x=\dfrac{\sqrt{3}-1}{3}$。
答案
4. 解:$(\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+1})·(x^2-1)=2(x+1)+x-1=3x+1$,
当$x=\frac{\sqrt{3}-1}{3}$时,$3x+1=\sqrt{3}-1+1=\sqrt{3}$.
当$x=\frac{\sqrt{3}-1}{3}$时,$3x+1=\sqrt{3}-1+1=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题时先观察式子结构，发现后项$x^2-1=(x-1)(x+1)$，恰好是前项两个分式分母的乘积，因此可以利用乘法分配律，将括号内的两个分式分别与$x^2-1$相乘，直接约分去掉分母，将式子化简为整式，再代入$x$的值计算即可，这种方法比先通分计算括号内的加法更简便。
【解析】
解：原式$=\frac{2}{x-1}·(x^2-1)+\frac{1}{x+1}·(x^2-1)$
$=\frac{2}{x-1}·(x-1)(x+1)+\frac{1}{x+1}·(x-1)(x+1)$
$=2(x+1)+(x-1)$
$=2x+2+x-1$
$=3x+1$
当$x=\frac{\sqrt{3}-1}{3}$时，
原式$=3×\frac{\sqrt{3}-1}{3}+1$
$=\sqrt{3}-1+1$
$=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
分式化简求值；乘法分配律；二次根式运算
【点评】
本题是典型的分式化简求值类题目，解题时优先观察式子特征，灵活运用运算律简化计算，可大幅减少计算量，避免通分可能出现的错误，代入求值时注意运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
这是一道分式化简求值题，解题时先观察式子结构，发现后项$x^2-1=(x-1)(x+1)$，恰好是前项两个分式分母的乘积，因此可以利用乘法分配律，将括号内的两个分式分别与$x^2-1$相乘，直接约分去掉分母，将式子化简为整式，再代入$x$的值计算即可，这种方法比先通分计算括号内的加法更简便。
【解析】
解：原式$=\frac{2}{x-1}·(x^2-1)+\frac{1}{x+1}·(x^2-1)$
$=\frac{2}{x-1}·(x-1)(x+1)+\frac{1}{x+1}·(x-1)(x+1)$
$=2(x+1)+(x-1)$
$=2x+2+x-1$
$=3x+1$
当$x=\frac{\sqrt{3}-1}{3}$时，
原式$=3×\frac{\sqrt{3}-1}{3}+1$
$=\sqrt{3}-1+1$
$=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
分式化简求值；乘法分配律；二次根式运算
【点评】
本题是典型的分式化简求值类题目，解题时优先观察式子特征，灵活运用运算律简化计算，可大幅减少计算量，避免通分可能出现的错误，代入求值时注意运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
5. (济宁中考题)阅读材料:
若$a,b$都是非负实数,则$a+b≥2\sqrt{ab}$.当且仅当$a=b$时,"="成立.
证明:$\because (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0,\therefore a-2\sqrt{ab}+b≥0$.
$\therefore a+b≥2\sqrt{ab}$,当且仅当$a=b$时,"="成立.
举例应用:
已知$x＞0$,求函数$y=2x+\frac{2}{x}$的最小值.
解:$y=2x+\frac{2}{x}≥2\sqrt{2x· \frac{2}{x}}=4$.当且仅当$2x=\frac{2}{x}$,即$x=1$时,"="成立.
当$x=1$时,函数取得最小值,$y_{最小}=4$.
问题解决:
汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度.某种汽车在每小时70~110公里之间(含70公里和110公里)行驶时,每公里耗油$(\frac{1}{18}+\frac{450}{x^2})$升.若该汽车以每小时$x$公里的速度匀速行驶,1小时的耗油量为$y$升.
(1)求$y$关于$x$的函数关系式(写出自变量$x$的取值范围);
(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量(结果精确到0.1).
若$a,b$都是非负实数,则$a+b≥2\sqrt{ab}$.当且仅当$a=b$时,"="成立.
证明:$\because (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0,\therefore a-2\sqrt{ab}+b≥0$.
$\therefore a+b≥2\sqrt{ab}$,当且仅当$a=b$时,"="成立.
举例应用:
已知$x＞0$,求函数$y=2x+\frac{2}{x}$的最小值.
解:$y=2x+\frac{2}{x}≥2\sqrt{2x· \frac{2}{x}}=4$.当且仅当$2x=\frac{2}{x}$,即$x=1$时,"="成立.
当$x=1$时,函数取得最小值,$y_{最小}=4$.
问题解决:
汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度.某种汽车在每小时70~110公里之间(含70公里和110公里)行驶时,每公里耗油$(\frac{1}{18}+\frac{450}{x^2})$升.若该汽车以每小时$x$公里的速度匀速行驶,1小时的耗油量为$y$升.
(1)求$y$关于$x$的函数关系式(写出自变量$x$的取值范围);
(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量(结果精确到0.1).
答案
5. 解:(1)$\because$汽车在每小时70～110公里之间(含70公里和110公里)行驶时,每公里耗油$(\frac{1}{18}+\frac{450}{x^2})$升,
$\therefore y=x×(\frac{1}{18}+\frac{450}{x^2})=\frac{x}{18}+\frac{450}{x}(70≤ x≤110)$;
(2)根据材料得:当$\frac{x}{18}=\frac{450}{x}$时有最小值,解得$x=90$.
$\therefore$该汽车的经济时速为90公里/时,
当$x=90$时,百公里耗油量为$100×(\frac{1}{18}+\frac{450}{8100})\approx11.1$(升).
$\therefore y=x×(\frac{1}{18}+\frac{450}{x^2})=\frac{x}{18}+\frac{450}{x}(70≤ x≤110)$;
(2)根据材料得:当$\frac{x}{18}=\frac{450}{x}$时有最小值,解得$x=90$.
$\therefore$该汽车的经济时速为90公里/时,
当$x=90$时,百公里耗油量为$100×(\frac{1}{18}+\frac{450}{8100})\approx11.1$(升).
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先明确数量关系：1小时耗油量=1小时行驶的路程×每公里耗油量。已知时速为x公里，1小时行驶路程就是x公里，每公里耗油量题目已给出，代入相乘后化简，再结合题干给出的速度区间写出自变量取值范围即可。
(2) 求解第二问时，直接套用题干给出的均值不等式$a+b≥2\sqrt{ab}$，将$y=\frac{x}{18}+\frac{450}{x}$中的两个项分别看作a和b，当a=b时y取最小值，对应速度就是经济时速，解出x后验证是否在取值范围内；再将x代入每公里耗油量的表达式，乘以100即可得到百公里耗油量，按要求保留小数。
【解析】
(1) 汽车时速为x公里，因此1小时行驶路程为x公里，已知每公里耗油量为$(\frac{1}{18}+\frac{450}{x^2})$升，因此1小时耗油量：
$y = x × (\frac{1}{18}+\frac{450}{x^2}) = \frac{x}{18} + \frac{450}{x}$
结合题干给出的行驶速度范围，自变量x的取值范围为$70≤x≤110$。
(2) 根据题中给出的均值不等式规则，当$\frac{x}{18}=\frac{450}{x}$时，y取得最小值，此时对应经济时速：
解方程$\frac{x}{18}=\frac{450}{x}$，得$x^2=8100$，因为速度为正数，所以$x=90$，且$70＜90＜110$，符合取值范围。
即经济时速为90公里/时。
将$x=90$代入每公里耗油量表达式，计算百公里耗油量：
$100×(\frac{1}{18}+\frac{450}{90^2})=100×(\frac{1}{18}+\frac{1}{18})\approx11.1$（升）
【答案】
(1) $y=\frac{x}{18}+\frac{450}{x}(70≤x≤110)$；
(2) 经济时速为90公里/时，经济时速的百公里耗油量约为11.1升。
【知识点】
1. 函数关系式建立
2. 均值不等式应用
3. 代数式求值
【点评】
本题为材料阅读类应用题，需要先理解题干给出的新不等式的使用方法，再结合实际问题的数量关系列式计算，解题时要注意验证所求结果是否符合自变量的取值范围，计算最终结果时需满足精确度要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求解第一问时，先明确数量关系：1小时耗油量=1小时行驶的路程×每公里耗油量。已知时速为x公里，1小时行驶路程就是x公里，每公里耗油量题目已给出，代入相乘后化简，再结合题干给出的速度区间写出自变量取值范围即可。
(2) 求解第二问时，直接套用题干给出的均值不等式$a+b≥2\sqrt{ab}$，将$y=\frac{x}{18}+\frac{450}{x}$中的两个项分别看作a和b，当a=b时y取最小值，对应速度就是经济时速，解出x后验证是否在取值范围内；再将x代入每公里耗油量的表达式，乘以100即可得到百公里耗油量，按要求保留小数。
【解析】
(1) 汽车时速为x公里，因此1小时行驶路程为x公里，已知每公里耗油量为$(\frac{1}{18}+\frac{450}{x^2})$升，因此1小时耗油量：
$y = x × (\frac{1}{18}+\frac{450}{x^2}) = \frac{x}{18} + \frac{450}{x}$
结合题干给出的行驶速度范围，自变量x的取值范围为$70≤x≤110$。
(2) 根据题中给出的均值不等式规则，当$\frac{x}{18}=\frac{450}{x}$时，y取得最小值，此时对应经济时速：
解方程$\frac{x}{18}=\frac{450}{x}$，得$x^2=8100$，因为速度为正数，所以$x=90$，且$70＜90＜110$，符合取值范围。
即经济时速为90公里/时。
将$x=90$代入每公里耗油量表达式，计算百公里耗油量：
$100×(\frac{1}{18}+\frac{450}{90^2})=100×(\frac{1}{18}+\frac{1}{18})\approx11.1$（升）
【答案】
(1) $y=\frac{x}{18}+\frac{450}{x}(70≤x≤110)$；
(2) 经济时速为90公里/时，经济时速的百公里耗油量约为11.1升。
【知识点】
1. 函数关系式建立
2. 均值不等式应用
3. 代数式求值
【点评】
本题为材料阅读类应用题，需要先理解题干给出的新不等式的使用方法，再结合实际问题的数量关系列式计算，解题时要注意验证所求结果是否符合自变量的取值范围，计算最终结果时需满足精确度要求。
【难度系数】
0.6
