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例1 (金华市婺城区)下列变形中,属于因式分解的是 (
A.$(x+2)(x-2)=x^2-4$
B.$x^2-2x+3=(x-1)^2+2$
C.$x^2-6xy+9y^2=(x-3y)^2$
D.$3(5-x)=-3(x-5)$
C
)A.$(x+2)(x-2)=x^2-4$
B.$x^2-2x+3=(x-1)^2+2$
C.$x^2-6xy+9y^2=(x-3y)^2$
D.$3(5-x)=-3(x-5)$
答案
C
解析
【分析】
要判断变形是否属于因式分解，需先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。解题时需逐一分析选项，对比变形前后的形式是否符合“多项式→整式乘积”的特征，同时区分因式分解与整式乘法的区别。
【解析】
根据因式分解的定义逐一分析选项：
选项A：$(x+2)(x-2)=x^2-4$，是将两个整式的积转化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
选项B：$x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，右边是整式和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解要求；
选项C：$x^2-6xy+9y^2=(x-3y)^2$，将多项式转化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义；
选项D：$3(5-x)=-3(x-5)$，只是对式子进行符号变形，未转化为整式乘积，不属于因式分解。
综上，只有选项C属于因式分解。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义，整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题考查因式分解的基础概念，核心是掌握“多项式化为整式乘积”的本质，属于概念辨析类基础题，只要明确定义就能轻松判断。
【难度系数】
0.8
要判断变形是否属于因式分解，需先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。解题时需逐一分析选项，对比变形前后的形式是否符合“多项式→整式乘积”的特征，同时区分因式分解与整式乘法的区别。
【解析】
根据因式分解的定义逐一分析选项：
选项A：$(x+2)(x-2)=x^2-4$，是将两个整式的积转化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
选项B：$x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，右边是整式和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解要求；
选项C：$x^2-6xy+9y^2=(x-3y)^2$，将多项式转化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义；
选项D：$3(5-x)=-3(x-5)$，只是对式子进行符号变形，未转化为整式乘积，不属于因式分解。
综上，只有选项C属于因式分解。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义，整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题考查因式分解的基础概念，核心是掌握“多项式化为整式乘积”的本质，属于概念辨析类基础题，只要明确定义就能轻松判断。
【难度系数】
0.8
1.(诸暨市)下列多项式变形中,属于因式分解的是 (
A.$a^2+2a-3=a(a+2)-3$
B.$a^2+2a-3=(a+1)^2-4$
C.$a^2+2a-3=(a+3)(a-1)$
D.$a^2+2a-3=(a^2-1)+(2a-2)$
C
)A.$a^2+2a-3=a(a+2)-3$
B.$a^2+2a-3=(a+1)^2-4$
C.$a^2+2a-3=(a+3)(a-1)$
D.$a^2+2a-3=(a^2-1)+(2a-2)$
答案
C
解析
【分析】
要判断多项式变形是否属于因式分解，需明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形才是因式分解，核心是结果必须是“几个整式的乘积”，而非和、差形式。接下来逐一分析选项是否符合该定义。
【解析】
根据因式分解的定义逐一判断：
选项A：右边为$a(a+2)-3$，是整式乘积与常数的差，不是几个整式的积，不符合因式分解要求；
选项B：右边为$(a+1)^2 -4$，是整式平方与常数的差，不是几个整式的积，不符合因式分解要求；
选项C：右边为$(a+3)(a-1)$，是两个一次整式的乘积，符合因式分解的定义；
选项D：右边为$(a^2 -1)+(2a -2)$，是两个多项式的和，不是几个整式的积，不符合因式分解要求。
综上，只有选项C属于因式分解。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解的基础概念，属于概念辨析类题目，关键是准确把握因式分解的核心特征（结果为整式乘积），难度较低，是学生必须掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8
要判断多项式变形是否属于因式分解，需明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形才是因式分解，核心是结果必须是“几个整式的乘积”，而非和、差形式。接下来逐一分析选项是否符合该定义。
【解析】
根据因式分解的定义逐一判断：
选项A：右边为$a(a+2)-3$，是整式乘积与常数的差，不是几个整式的积，不符合因式分解要求；
选项B：右边为$(a+1)^2 -4$，是整式平方与常数的差，不是几个整式的积，不符合因式分解要求；
选项C：右边为$(a+3)(a-1)$，是两个一次整式的乘积，符合因式分解的定义；
选项D：右边为$(a^2 -1)+(2a -2)$，是两个多项式的和，不是几个整式的积，不符合因式分解要求。
综上，只有选项C属于因式分解。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解的基础概念，属于概念辨析类题目，关键是准确把握因式分解的核心特征（结果为整式乘积），难度较低，是学生必须掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8
2.(余姚市)下列因式分解中,正确的是 (
A.$x^2 - 4y^2 = (x - 4y)(x + 4y)$
B.$ax + ay + a = a(x + y)$
C.$x^2 + 2x - 1 = (x - 1)^2$
D.$\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 = (\frac{1}{2}x + 2)^2$
D
)A.$x^2 - 4y^2 = (x - 4y)(x + 4y)$
B.$ax + ay + a = a(x + y)$
C.$x^2 + 2x - 1 = (x - 1)^2$
D.$\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 = (\frac{1}{2}x + 2)^2$
答案
D
解析
【分析】本题是判断因式分解的正确性，需掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法），结合平方差公式、完全平方公式及提公因式法的规则，对每个选项逐一验证分解结果是否正确。
【解析】逐个分析选项：
1. 选项A：根据平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，$x^2 -4y^2=x^2-(2y)^2=(x-2y)(x+2y)$，选项中分解为$(x-4y)(x+4y)$，错误；
2. 选项B：提公因式$a$时，原式$ax+ay+a=a(x+y+1)$，选项漏掉了常数项1，错误；
3. 选项C：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(x-1)^2=x^2-2x+1$，与原式$x^2+2x-1$不相等，错误；
4. 选项D：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，令$a=\frac{1}{2}x$，$b=2$，则$(\frac{1}{2}x+2)^2=(\frac{1}{2}x)^2 + 2×\frac{1}{2}x×2 +2^2=\frac{1}{4}x^2+2x+4$，与原式一致，正确。
【答案】D
【知识点】因式分解、公式法
【点评】本题考查因式分解的基本方法，属于基础题，需熟练掌握平方差公式、完全平方公式及提公因式法的应用，逐一分析选项即可快速得出答案。
【难度系数】0.8
【解析】逐个分析选项：
1. 选项A：根据平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，$x^2 -4y^2=x^2-(2y)^2=(x-2y)(x+2y)$，选项中分解为$(x-4y)(x+4y)$，错误；
2. 选项B：提公因式$a$时，原式$ax+ay+a=a(x+y+1)$，选项漏掉了常数项1，错误；
3. 选项C：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(x-1)^2=x^2-2x+1$，与原式$x^2+2x-1$不相等，错误；
4. 选项D：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，令$a=\frac{1}{2}x$，$b=2$，则$(\frac{1}{2}x+2)^2=(\frac{1}{2}x)^2 + 2×\frac{1}{2}x×2 +2^2=\frac{1}{4}x^2+2x+4$，与原式一致，正确。
【答案】D
【知识点】因式分解、公式法
【点评】本题考查因式分解的基本方法，属于基础题，需熟练掌握平方差公式、完全平方公式及提公因式法的应用，逐一分析选项即可快速得出答案。
【难度系数】0.8
例2 (宁波市鄞州区)因式分解:
(1)$2x^2 - 8$。
(2)$3x^2y - 6xy^2 + 3y^3$。
(3)$2x^3 - 8x^2y + 8xy^2$。
(4)$(x - 1)^2 - 2x + 2$。
(1)$2x^2 - 8$。
(2)$3x^2y - 6xy^2 + 3y^3$。
(3)$2x^3 - 8x^2y + 8xy^2$。
(4)$(x - 1)^2 - 2x + 2$。
答案
(1)原式=$2(x^2-4)=2(x+2)(x-2)$。
(2)原式=$3y(x^2-2xy+y^2)=3y(x-y)^2$。
(3)原式=$2x(x^2-4xy+4y^2)=2x(x-2y)^2$。
(4)原式=$(x-1)^2-2(x-1)=(x-1)(x-3)$。
(2)原式=$3y(x^2-2xy+y^2)=3y(x-y)^2$。
(3)原式=$2x(x^2-4xy+4y^2)=2x(x-2y)^2$。
(4)原式=$(x-1)^2-2(x-1)=(x-1)(x-3)$。
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三检查”的原则：第一步提取各项的公因式，第二步套用平方差公式（$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$）或完全平方公式（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$）分解，第三步确认结果是否彻底。针对各小题：
(1) 先提取公因式2，剩余部分符合平方差公式，继续分解；
(2) 先提取公因式3y，剩余部分符合完全平方公式，继续分解；
(3) 先提取公因式2x，剩余部分符合完全平方公式，继续分解；
(4) 先将后两项变形为含公因式$(x-1)$的形式，提取公因式后化简即可。
【解析】
(1) 原式$=2(x^2 - 4)$（提取公因式2）
$=2(x+2)(x-2)$（套用平方差公式分解）
(2) 原式$=3y(x^2 - 2xy + y^2)$（提取公因式3y）
$=3y(x-y)^2$（套用完全平方公式分解）
(3) 原式$=2x(x^2 - 4xy + 4y^2)$（提取公因式2x）
$=2x(x-2y)^2$（套用完全平方公式分解）
(4) 原式$=(x-1)^2 - 2(x-1)$（将$-2x+2$变形为$-2(x-1)$）
$=(x-1)(x-1 -2)$（提取公因式$(x-1)$）
$=(x-1)(x-3)$（化简括号内的式子）
【答案】
(1) $2(x+2)(x-2)$；(2) $3y(x-y)^2$；(3) $2x(x-2y)^2$；(4) $(x-1)(x-3)$
【知识点】
因式分解提公因式法、公式法、整体思想
【点评】
本题考查基础因式分解的核心方法，需熟练掌握“一提二套”的步骤，注意分解彻底，第(4)小题需运用整体思想变形，是易出错点，整体难度较低。
【难度系数】
0.6
因式分解遵循“一提二套三检查”的原则：第一步提取各项的公因式，第二步套用平方差公式（$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$）或完全平方公式（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$）分解，第三步确认结果是否彻底。针对各小题：
(1) 先提取公因式2，剩余部分符合平方差公式，继续分解；
(2) 先提取公因式3y，剩余部分符合完全平方公式，继续分解；
(3) 先提取公因式2x，剩余部分符合完全平方公式，继续分解；
(4) 先将后两项变形为含公因式$(x-1)$的形式，提取公因式后化简即可。
【解析】
(1) 原式$=2(x^2 - 4)$（提取公因式2）
$=2(x+2)(x-2)$（套用平方差公式分解）
(2) 原式$=3y(x^2 - 2xy + y^2)$（提取公因式3y）
$=3y(x-y)^2$（套用完全平方公式分解）
(3) 原式$=2x(x^2 - 4xy + 4y^2)$（提取公因式2x）
$=2x(x-2y)^2$（套用完全平方公式分解）
(4) 原式$=(x-1)^2 - 2(x-1)$（将$-2x+2$变形为$-2(x-1)$）
$=(x-1)(x-1 -2)$（提取公因式$(x-1)$）
$=(x-1)(x-3)$（化简括号内的式子）
【答案】
(1) $2(x+2)(x-2)$；(2) $3y(x-y)^2$；(3) $2x(x-2y)^2$；(4) $(x-1)(x-3)$
【知识点】
因式分解提公因式法、公式法、整体思想
【点评】
本题考查基础因式分解的核心方法，需熟练掌握“一提二套”的步骤，注意分解彻底，第(4)小题需运用整体思想变形，是易出错点，整体难度较低。
【难度系数】
0.6
