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22.(12分)(杭州市拱墅区)将两个边长分别为$a$和$b$的正方形按如图1所示的方式放置,其未重叠部分(阴影)的面积为$S_1$;若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为$b$的小正方形(如图2),两个小正方形重叠部分(阴影)的面积为$S_2$。
(1)用含$a,b$的代数式分别表示$S_1,S_2$。
(2)若$a+b=10,ab=23$,求$S_1+S_2$的值。
(3)当$S_1+S_2=29$时,求出图3中阴影部分的面积$S_3$。
(1)用含$a,b$的代数式分别表示$S_1,S_2$。
(2)若$a+b=10,ab=23$,求$S_1+S_2$的值。
(3)当$S_1+S_2=29$时,求出图3中阴影部分的面积$S_3$。
答案
(1)$S_1=a^2-b^2,S_2=2b^2-ab$。
(2)$S_1+S_2=a^2-b^2+2b^2-ab=a^2+b^2-ab$。因为$a+b=10$,$ab=23$,所以$S_1+S_2=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab=100-3×23=31$。
(3)由图可得$S_3=a^2+b^2-\dfrac{1}{2}b(a+b)-\dfrac{1}{2}a^2=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2-ab)$。
因为$S_1+S_2=a^2+b^2-ab=29$,所以$S_3=\dfrac{1}{2}×29=\dfrac{29}{2}$。
(2)$S_1+S_2=a^2-b^2+2b^2-ab=a^2+b^2-ab$。因为$a+b=10$,$ab=23$,所以$S_1+S_2=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab=100-3×23=31$。
(3)由图可得$S_3=a^2+b^2-\dfrac{1}{2}b(a+b)-\dfrac{1}{2}a^2=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2-ab)$。
因为$S_1+S_2=a^2+b^2-ab=29$,所以$S_3=\dfrac{1}{2}×29=\dfrac{29}{2}$。
解析
【分析】
首先，分析S₁：图1中阴影部分是大正方形面积减去小正方形面积，利用正方形面积公式即可表示；分析S₂：图2中阴影部分为长方形，需确定其长和宽，再用长方形面积公式推导表达式；分析S₁+S₂：将S₁与S₂的表达式相加，结合完全平方公式变形，代入已知的a+b和ab的值计算；分析S₃：图3中阴影面积等于两个正方形面积和减去两个空白三角形面积，化简后结合S₁+S₂的表达式求解。
【解析】
(1) 计算S₁：
图1中，大正方形边长为a，面积为a²；小正方形边长为b，面积为b²，阴影部分面积为大正方形面积减小正方形面积，故：
S₁ = a² - b²；
计算S₂：
图2中，阴影部分为长方形，长为b，宽为b - (a - b) = 2b - a，因此面积为长×宽，即：
S₂ = b(2b - a) = 2b² - ab；
(2) 计算S₁+S₂：
S₁+S₂ = (a² - b²) + (2b² - ab) = a² + b² - ab；
已知a+b=10，ab=23，根据完全平方公式(a+b)² = a² + 2ab + b²，得a² + b² = (a+b)² - 2ab = 10² - 2×23 = 54；
代入得：S₁+S₂ = 54 - 23 = 31；
(3) 计算S₃：
图3中，两个正方形面积和为a² + b²，空白部分有两个三角形：
① 底为b、高为(a+b)的三角形，面积为$\frac{1}{2}b(a+b)$；
② 底为a、高为a的三角形，面积为$\frac{1}{2}a²$；
因此：
$S₃ = a² + b² - \frac{1}{2}b(a+b) - \frac{1}{2}a²$
化简得：
$S₃ = \frac{1}{2}a² + \frac{1}{2}b² - \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(a² + b² - ab)$；
由(2)知$S₁+S₂ = a² + b² - ab =29$，故：
$S₃ = \frac{1}{2}×29 = \frac{29}{2}$；
【答案】
(1) $S₁=a² - b²$，$S₂=2b² - ab$；(2) $31$；(3) $\frac{29}{2}$；
【知识点】
整式加减、完全平方公式、代数式求值；
【点评】
本题结合图形面积考查整式运算，核心是利用数形结合思想分析阴影面积的计算，通过整式变形和完全平方公式简化求值，需掌握图形面积与代数表达式的转化，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先，分析S₁：图1中阴影部分是大正方形面积减去小正方形面积，利用正方形面积公式即可表示；分析S₂：图2中阴影部分为长方形，需确定其长和宽，再用长方形面积公式推导表达式；分析S₁+S₂：将S₁与S₂的表达式相加，结合完全平方公式变形，代入已知的a+b和ab的值计算；分析S₃：图3中阴影面积等于两个正方形面积和减去两个空白三角形面积，化简后结合S₁+S₂的表达式求解。
【解析】
(1) 计算S₁：
图1中，大正方形边长为a，面积为a²；小正方形边长为b，面积为b²，阴影部分面积为大正方形面积减小正方形面积，故：
S₁ = a² - b²；
计算S₂：
图2中，阴影部分为长方形，长为b，宽为b - (a - b) = 2b - a，因此面积为长×宽，即：
S₂ = b(2b - a) = 2b² - ab；
(2) 计算S₁+S₂：
S₁+S₂ = (a² - b²) + (2b² - ab) = a² + b² - ab；
已知a+b=10，ab=23，根据完全平方公式(a+b)² = a² + 2ab + b²，得a² + b² = (a+b)² - 2ab = 10² - 2×23 = 54；
代入得：S₁+S₂ = 54 - 23 = 31；
(3) 计算S₃：
图3中，两个正方形面积和为a² + b²，空白部分有两个三角形：
① 底为b、高为(a+b)的三角形，面积为$\frac{1}{2}b(a+b)$；
② 底为a、高为a的三角形，面积为$\frac{1}{2}a²$；
因此：
$S₃ = a² + b² - \frac{1}{2}b(a+b) - \frac{1}{2}a²$
化简得：
$S₃ = \frac{1}{2}a² + \frac{1}{2}b² - \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(a² + b² - ab)$；
由(2)知$S₁+S₂ = a² + b² - ab =29$，故：
$S₃ = \frac{1}{2}×29 = \frac{29}{2}$；
【答案】
(1) $S₁=a² - b²$，$S₂=2b² - ab$；(2) $31$；(3) $\frac{29}{2}$；
【知识点】
整式加减、完全平方公式、代数式求值；
【点评】
本题结合图形面积考查整式运算，核心是利用数形结合思想分析阴影面积的计算，通过整式变形和完全平方公式简化求值，需掌握图形面积与代数表达式的转化，难度适中。
【难度系数】
0.5
23.(12分)(绍兴市柯桥区)阅读材料:把形如$ax^2+bx+c$的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫作配方法。配方法的基本形式为将完全平方公式反过来写,即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。例如:$(x-1)^2+3,(x-2)^2+2x,(\frac{1}{2}x-2)^2+\frac{3}{4}x^2$是$x^2-2x+4$的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项)。
请解决下列问题:
(1)比照上面的例子,写出$x^2-4x+2$的三种不同形式的配方。
(2)将$a^2+ab+b^2$进行配方(至少采用两种形式)。
(3)已知$a^2+b^2+c^2-ab-3b-2c+4=0$,求$a+b+c$的值。
请解决下列问题:
(1)比照上面的例子,写出$x^2-4x+2$的三种不同形式的配方。
(2)将$a^2+ab+b^2$进行配方(至少采用两种形式)。
(3)已知$a^2+b^2+c^2-ab-3b-2c+4=0$,求$a+b+c$的值。
答案
(1)$(x-2)^2-2$,$(x+\sqrt{2})^2-(2\sqrt{2}+4)x$,$(\sqrt{2}x-\sqrt{2})^2-x^2$。
(2)$a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab$,$a^2+ab+b^2=(a+\dfrac{1}{2}b)^2+\dfrac{3}{4}b^2$。
(3)$a^2+b^2+c^2-ab-3b-2c+4$
$=(a^2-ab+\dfrac{1}{4}b^2)+(\dfrac{3}{4}b^2-3b+3)+(c^2-2c+1)$
$=(a^2-ab+\dfrac{1}{4}b^2)+\dfrac{3}{4}(b^2-4b+4)+(c^2-2c+1)$
$=(a-\dfrac{1}{2}b)^2+\dfrac{3}{4}(b-2)^2+(c-1)^2=0$,
所以$a-\dfrac{1}{2}b=0,b-2=0,c-1=0$。所以$a=1,b=2,c=1$。
所以$a+b+c=4$。
(2)$a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab$,$a^2+ab+b^2=(a+\dfrac{1}{2}b)^2+\dfrac{3}{4}b^2$。
(3)$a^2+b^2+c^2-ab-3b-2c+4$
$=(a^2-ab+\dfrac{1}{4}b^2)+(\dfrac{3}{4}b^2-3b+3)+(c^2-2c+1)$
$=(a^2-ab+\dfrac{1}{4}b^2)+\dfrac{3}{4}(b^2-4b+4)+(c^2-2c+1)$
$=(a-\dfrac{1}{2}b)^2+\dfrac{3}{4}(b-2)^2+(c-1)^2=0$,
所以$a-\dfrac{1}{2}b=0,b-2=0,c-1=0$。所以$a=1,b=2,c=1$。
所以$a+b+c=4$。
解析
【分析】
本题围绕配方法展开，核心是利用完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，将二次式转化为“完全平方+余项”的形式，不同形式的配方只需调整余项类型（常数项、一次项、二次项等）；对于非负数和为0的问题，依据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”求解。
【解析】
(1) 对$x^2 -4x +2$进行三种形式的配方：
① 余项为常数项：$x^2 -4x +2=(x^2 -4x +4)-2=(x-2)^2 -2$；
② 余项为一次项：$x^2 -4x +2=(x^2 +2\sqrt{2}x)-(4x+2\sqrt{2}x)+2=(x+\sqrt{2})^2-(2\sqrt{2}+4)x$；
③ 余项为二次项：$x^2 -4x +2=(\sqrt{2}x)^2 -4x +2 - (\sqrt{2}x)^2=(\sqrt{2}x-\sqrt{2})^2 -x^2$。
(2) 对$a^2 +ab +b^2$进行两种形式的配方：
① 余项为$-ab$：$a^2 +ab +b^2=(a^2+2ab+b^2)-ab=(a+b)^2 -ab$；
② 余项为$\frac{3}{4}b^2$：$a^2 +ab +b^2=(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2)+\frac{3}{4}b^2=(a+\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}b^2$。
(3) 对等式$a^2 +b^2 +c^2 -ab -3b -2c +4=0$分组配方：
$\begin{aligned}原式&=(a^2 -ab+\frac{1}{4}b^2)+(\frac{3}{4}b^2 -3b +3)+(c^2 -2c +1)\\&=(a-\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}(b-2)^2+(c-1)^2=0\end{aligned}$
因为平方数非负，故每个平方项均为0：$a-\frac{1}{2}b=0$，$b-2=0$，$c-1=0$，解得$a=1$，$b=2$，$c=1$，因此$a+b+c=1+2+1=4$。
【答案】
(1)$(x-2)^2-2$，$(x+\sqrt{2})^2-(2\sqrt{2}+4)x$，$(\sqrt{2}x-\sqrt{2})^2-x^2$；
(2)$a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab$，$a^2+ab+b^2=(a+\dfrac{1}{2}b)^2+\dfrac{3}{4}b^2$；
(3)$4$。
【知识点】
配方法，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题是配方法的综合应用，既考察完全平方公式的灵活变形（不同形式的配方），又结合非负数性质求代数式的值，是代数常考题型，需掌握分组配方的技巧，第三问的分组方式是解题关键。
【难度系数】
0.5
本题围绕配方法展开，核心是利用完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，将二次式转化为“完全平方+余项”的形式，不同形式的配方只需调整余项类型（常数项、一次项、二次项等）；对于非负数和为0的问题，依据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”求解。
【解析】
(1) 对$x^2 -4x +2$进行三种形式的配方：
① 余项为常数项：$x^2 -4x +2=(x^2 -4x +4)-2=(x-2)^2 -2$；
② 余项为一次项：$x^2 -4x +2=(x^2 +2\sqrt{2}x)-(4x+2\sqrt{2}x)+2=(x+\sqrt{2})^2-(2\sqrt{2}+4)x$；
③ 余项为二次项：$x^2 -4x +2=(\sqrt{2}x)^2 -4x +2 - (\sqrt{2}x)^2=(\sqrt{2}x-\sqrt{2})^2 -x^2$。
(2) 对$a^2 +ab +b^2$进行两种形式的配方：
① 余项为$-ab$：$a^2 +ab +b^2=(a^2+2ab+b^2)-ab=(a+b)^2 -ab$；
② 余项为$\frac{3}{4}b^2$：$a^2 +ab +b^2=(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2)+\frac{3}{4}b^2=(a+\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}b^2$。
(3) 对等式$a^2 +b^2 +c^2 -ab -3b -2c +4=0$分组配方：
$\begin{aligned}原式&=(a^2 -ab+\frac{1}{4}b^2)+(\frac{3}{4}b^2 -3b +3)+(c^2 -2c +1)\\&=(a-\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}(b-2)^2+(c-1)^2=0\end{aligned}$
因为平方数非负，故每个平方项均为0：$a-\frac{1}{2}b=0$，$b-2=0$，$c-1=0$，解得$a=1$，$b=2$，$c=1$，因此$a+b+c=1+2+1=4$。
【答案】
(1)$(x-2)^2-2$，$(x+\sqrt{2})^2-(2\sqrt{2}+4)x$，$(\sqrt{2}x-\sqrt{2})^2-x^2$；
(2)$a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab$，$a^2+ab+b^2=(a+\dfrac{1}{2}b)^2+\dfrac{3}{4}b^2$；
(3)$4$。
【知识点】
配方法，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题是配方法的综合应用，既考察完全平方公式的灵活变形（不同形式的配方），又结合非负数性质求代数式的值，是代数常考题型，需掌握分组配方的技巧，第三问的分组方式是解题关键。
【难度系数】
0.5
