19.(8分)(温州市)某小区为了美化社区环境,计划建造如图所示的一块草地(单位:m)。设图中阴影部分的面积为S。
(1)请用含a,b的代数式表示S。

(2)当$a=13,b=8$时,求S的值。

(1)由题意得$S=4×\dfrac{1}{2}×\dfrac{a}{4}×\dfrac{b}{4}+2×\dfrac{1}{2}×a×\dfrac{b}{2}=\dfrac{5}{8}ab$。
(2)当$a=13,b=8$时,$S=65\ \mathrm{m}^2$。

【分析】
本题要求阴影部分的面积，可采用“分割法”，将阴影部分拆分为几个规则的直角三角形，分别计算各部分面积后求和，即可得到含a、b的代数式；再将a、b的数值代入代数式，计算出具体的面积值。
【解析】
(1) 观察图形，阴影部分由4个全等的小直角三角形和2个大直角三角形构成：
单个小直角三角形的底为$\frac{1}{4}a$，高为$\frac{1}{4}b$，根据三角形面积公式，4个小三角形的面积和为：$4×\frac{1}{2}×\frac{a}{4}×\frac{b}{4}=\frac{ab}{8}$；
单个大直角三角形的底为$a$，高为$\frac{1}{2}b$，同理，2个大三角形的面积和为：$2×\frac{1}{2}× a×\frac{b}{2}=\frac{ab}{2}$；
因此阴影部分面积$S=\frac{ab}{8}+\frac{ab}{2}=\frac{5ab}{8}$。
(2) 当$a=13$，$b=8$时，将其代入$S=\frac{5}{8}ab$，得：
$S=\frac{5}{8}×13×8=5×13=65\ (\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1)$S=\frac{5}{8}ab$；(2)$65\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
代数式表示面积，代数式求值
【点评】
本题运用分割法将不规则图形面积转化为规则图形面积的和，考查了列代数式及代入求值的基本技能，题型常规，难度适中。
【难度系数】
0.5

20.(10分)(东阳市)我们规定两数$a,b$之间的一种运算,记作$[a,b]$。如果$a^c=b$,那么$[a,b]=c$。例如$[2,8]=3$。
对于任意自然数$n$,可以证明$[3^n,4^n]=[3,4]$。
理由如下:设$[3^n,4^n]=x$,则$(3^n)^x=4^n$,$\therefore (3^x)^n=4^n$。$\therefore 3^x=4$。$\therefore [3,4]=x$。$\therefore [3^n,4^n]=[3,4]$。
(1)根据以上规定:$[4,64]=$;$[2018,1]=$。
(2)①说明等式$[3,3]+[3,5]=[3,15]$成立的理由。
②计算:$[5,2]+[5,7]=[5,$$]$。
(3)猜想:$[4,12]-[4,2]=[4,$$]$,并说明理由。

(1)3 0
(2)①设$[3,3]=x,[3,5]=y,[3,15]=z$,则$3^x=3,3^y=5,3^z=15=3×5=3^{x+y}$,
所以$x+y=z$,即$[3,3]+[3,5]=[3,15]$。
②$[5,2]+[5,7]=[5,14]$。
(3)$[4,12]-[4,2]=[4,6]$。理由如下:设$[4,12]=m,[4,2]=n$,则$4^m=12,4^n=2$,所以$4^{m-n}=\dfrac{4^m}{4^n}=\dfrac{12}{2}=6$。所以$[4,6]=m-n$,即$[4,12]-[4,2]=[4,6]$。

【分析】首先明确新运算规则：若$a^c = b$，则$[a,b] = c$。解题时需将所求的$[a,b]$转化为求满足$a^c = b$的指数$c$，结合指数运算性质（同底数幂的乘、除法则）解决问题：(1)直接根据定义计算；(2)通过设未知数，利用同底数幂乘法推导等式；(3)利用同底数幂除法推导差值对应的结果。
【解析】
(1) 根据新运算定义：
对$[4,64]$，找$x$使$4^x = 64$，因$4^3 = 64$，故$[4,64] = 3$；
对$[2018,1]$，找$x$使$2018^x = 1$，因非零数的0次方为1，即$2018^0 = 1$，故$[2018,1] = 0$。
(2) ① 设$[3,3] = x$，$[3,5] = y$，$[3,15] = z$，由定义得：$3^x = 3$，$3^y = 5$，$3^z = 15$；
因$15 = 3×5 = 3^x·3^y = 3^{x+y}$，故$3^z = 3^{x+y}$，得$z = x+y$，即$[3,3] + [3,5] = [3,15]$，等式成立。
② 由①的规律，$[5,2] + [5,7]$对应$2×7 = 14$，故$[5,2] + [5,7] = [5,14]$。
(3) 猜想$[4,12] - [4,2] = [4,6]$，理由：
设$[4,12] = m$，$[4,2] = n$，由定义得$4^m = 12$，$4^n = 2$；
则$4^{m-n} = \frac{4^m}{4^n} = \frac{12}{2} = 6$，故$[4,6] = m-n$，即$[4,12] - [4,2] = [4,6]$。
【答案】
(1) 3；0
(2) ① 理由见解析；② 14
(3) 6
【知识点】
新定义运算、同底数幂的乘除法则
【点评】
本题为新定义运算题型，核心是将新运算转化为指数运算，考查指数性质的应用，需掌握设未知数转化的解题方法，难度适中。
【难度系数】
0.6

21.(10分)(湖州市吴兴区)如图1所示为一个长为$p$、宽为$q$的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按如图2所示的方式拼成一个正方形。
(1)请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积。
方法①$\underline{\hspace{5cm}}$;方法②$\underline{\hspace{5cm}}$。
(2)观察图2,你能写出$(p+q)^2,(p-q)^2,pq$这三个代数式之间的等量关系吗?
(3)根据(2)中的等量关系,解决问题:若$a+b=10,ab=16$,且$a＞b$,求$\sqrt{a-b}$的值。

(1)方法①:阴影部分的面积为$(\dfrac{p}{2}-\dfrac{q}{2})^2=\dfrac{(p-q)^2}{4}$;
方法②:阴影部分的面积为$(\dfrac{p}{2}+\dfrac{q}{2})^2-4×\dfrac{p}{2}×\dfrac{q}{2}=\dfrac{(p+q)^2}{4}-pq$;故答案为$\dfrac{(p-q)^2}{4};\dfrac{(p+q)^2}{4}-pq$。
(2)这三个代数式之间的等量关系是$(p-q)^2=(p+q)^2-4pq$。
(3)因为$a+b=10,ab=16$,所以$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=10^2-4×16=36$。因为$a＞b$,所以$a-b＞0$。所以$a-b=6$。所以$\sqrt{a-b}=\sqrt{6}$。

【分析】
本题是利用图形面积推导代数关系的数形结合题，解题思路如下：1. 先确定图1中分割后小长方形的边长：原长方形长为$p$、宽为$q$，均分成四个小长方形后，每个小长方形的长为$\frac{p}{2}$，宽为$\frac{q}{2}$；2. 从两个角度计算图2阴影部分面积：方法①，阴影是小正方形，其边长为小长方形长与宽的差，直接用正方形面积公式；方法②，阴影面积等于大正方形面积减去四个小长方形的总面积，大正方形边长为小长方形长与宽的和；3. 根据两种方法的面积相等，推导$(p+q)^2$、$(p-q)^2$、$pq$的等量关系；4. 代入$a+b=10$、$ab=16$，结合$a＞b$的条件计算$\sqrt{a-b}$的值。
【解析】
(1) 由图1可知，每个小长方形的长为$\frac{p}{2}$，宽为$\frac{q}{2}$。
方法①：阴影部分是小正方形，边长为$\frac{p}{2}-\frac{q}{2}$，面积为$(\frac{p}{2}-\frac{q}{2})^2=\frac{(p-q)^2}{4}$；
方法②：图2中最大正方形的边长为$\frac{p}{2}+\frac{q}{2}$，面积为$(\frac{p}{2}+\frac{q}{2})^2$，四个小长方形总面积为$4×\frac{p}{2}×\frac{q}{2}=pq$，因此阴影面积为$(\frac{p}{2}+\frac{q}{2})^2 - pq=\frac{(p+q)^2}{4}-pq$；
(2) 因为两种方法表示的阴影面积相等，所以$\frac{(p-q)^2}{4}=\frac{(p+q)^2}{4}-pq$，两边同乘4得等量关系：$(p-q)^2=(p+q)^2-4pq$；
(3) 已知$a+b=10$，$ab=16$，代入等量关系得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=10^2-4×16=100-64=36$，
因为$a＞b$，所以$a-b＞0$，故$a-b=\sqrt{36}=6$，因此$\sqrt{a-b}=\sqrt{6}$；
【答案】
(1) $\frac{(p-q)^2}{4}$；$\frac{(p+q)^2}{4}-pq$
(2) $(p-q)^2=(p+q)^2-4pq$
(3) $\sqrt{6}$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、数形结合
【点评】
本题通过图形面积的不同表示推导完全平方公式，考查数形结合思想与公式应用能力，是基础中档题，侧重对公式本质的理解。
【难度系数】
0.6