8. (2025·江苏镇江模拟)如图，$△ DAB$和$△ CAB$都是等腰三角形，$CA = CB$，$DA = DB$，$AB$为公共底边，$∠ CBD = ∠ PBD$，且$PB = CB$，$∠ ABC = ∠ BAC = 75°$，则$∠ P + ∠ ACB$的度数为______．

$45^{\circ}$

9. * 如图,在五边形 ABCDE 中,$∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=2$,则五边形 ABCDE 的面积为$\underline{\hspace{5cm}}$．

4

10. 已知 $ AB = AC $，$ AD = AE $，$ BD = CE $，且 $ B,D,E $ 三点在一条直线上.
（1）如图①，点 $ B $ 在线段 $ DE $ 上. 求证：$ ∠ DAE = ∠ BAC $；
（2）如图②，点 $ B $ 在 $ ED $ 的延长线上，请直接写出 $ ∠ ADE $ 与 $ ∠ AEC $ 之间的数量关系；
（3）若点 $ B $ 在线段 $ DE $ 的延长线上（$ A,D,E $ 三点按逆时针方向排列），则 $ ∠ ADE $ 与 $ ∠ AEC $ 之间的数量关系为 ______.

$\angle ADE=\angle AEC$ ; 证明：​$(1)$​在​$∆ADB$​和​$∆AEC$​中​$\begin {cases}{AB=AC}\\{ AD=AE}\\{BD=CE}\end {cases}$​∴​$ ∆ADB≌∆AEC(\mathrm {SSS})$​∴​$∠DAB =∠EAC$​∴​$∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，$​即​$∠DAE=∠BAC$​解：​$(2)∠ADE+∠AEC=180°$​

11. 新素养 几何直观（2025·江苏常州模拟）已知在$△ ABC$中，$AB=BC≠AC$，作与$△ ABC$只有一条公共边，且与$△ ABC$全等的三角形，则能作出这样的三角形一共有（ ）
A. 3个
B. 5个
C. 7个
D. 9个

C

12. 如图,在四边形 ABCD 中,$AD=BC=$
12,$AB=CD,BD=15$.点 E 从点 D 出
发,以每秒4个单位长度的速度沿 D→
A→D匀速运动;点 F 从点 C 出发,以每
秒1个单位长度的速度沿 CB 方向向点
B匀速运动;点 G 从点 B 出发,沿 BD 方
向向点 D 匀速运动.三个点同时出发,当
点 E 到达终点时,其余两点也随之停止
运动,设运动时间为 t s.
(1) 求证:$AD// BC;$
(2) 在运动过程中,小明发现$△ DEG$和
$△ BFG$有全等的情况出现.请你探究
这样的情况,并求全等出现时 t 的
值和对应的 BG 长.

类题精讲

证明：​$(1)$​在​$\triangle ABD$​和​$\triangle CDB$​中​$\begin {cases}AD = CB\\AB = CD\\BD = DB\end {cases}$​∴​$\triangle ABD≌\triangle CDB(\mathrm {SSS})$​∴​$∠ADB=∠CBD，$​∴​$AD// BC$​解：​$(2)$​由​$(1)$​得​$AD//BC，$​∴​$∠EDG=∠F BG$​情况​$1$​：当点​$E$​沿​$D→A(0\leq t\leq 3)$​运动时，​$DE = 4t，$​​$CF = t$​又​$AD = BC = 12，$​∴​$BF = 12 - t$​​$①$​若​$\triangle DEG≌\triangle BFG$​则​$DE = BF，$​​$DG = BG$​∴​$4t = 12 - t，$​解得​$t = 2.4$​又​$BD = 15，$​∴此时​$BG=\frac 12BD = 7.5$​​$②$​若​$\triangle DEG≌\triangle BGF$​则​$DE = BG，$​​$DG = BF$​∴​$DE + BF = BG + DG = BD$​即​$4t + 12 - t = 15，$​解得​$t = 1$​此时​$BG = DE = 4×1 = 4；$​情况​$2$​：当点​$E$​沿​$A→ D(3​运动时，$​$DE = 12×2 - 4t = 24 - 4t，$​​$CF = t$​则​$BF = 12 - t$​​$①$​若​$\triangle DEG≌\triangle BFG$​则​$DE = BF，$​​$DG = BG$​∴​$24 - 4t = 12 - t，$​解得​$t = 4$​此时​$BG=\frac 12BD = 7.5；$​​$②$​若​$\triangle DEG≌\triangle BGF$​则​$DE = BG，$​​$DG = BF$​∴​$DE + BF = BD$​即​$24 - 4t+12 - t = 15，$​解得​$t = 4.2$​此时​$BG = DE = 24 - 4×4.2 = 7.2$​综上，​$\triangle DEG $​和​$\triangle BFG $​全等时的情况如下当​$t = 2.4，$​​$BG = 7.5$​或​$t = 4，$​​$BG = 7.5$​时，​$\triangle DEG≌\triangle BFG；$​当​$t = 1，$​​$BG = 4$​或​$t = 4.2，$​​$BG = 7.2$​时，​$\triangle DEG≌\triangle BGF$​