因式分解法
(1)概念:利用来解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
(2)若能把方程$x^2 + bx + c = 0$左边的多项式因式分解为$x^2 + bx + c = (x - d)(x - h)$，则和就是方程$x^2 + bx + c = 0$的根.

(1) 因式分解 (2) d h

【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的基础概念。第(1)问直接对应因式分解法的定义，回忆定义内容即可作答；第(2)问利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的原理，将因式分解后的方程转化为两个一元一次方程求解，即可得到方程的根。
【解析】
(1) 根据因式分解法的定义：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法，因此此处填因式分解。
(2) 若$x^2 + bx + c = (x - d)(x - h)$，则原方程可化为$(x - d)(x - h) = 0$，根据乘法的性质，可得$x - d = 0$或$x - h = 0$，解得$x = d$或$x = h$，因此$d$和$h$就是方程的根。
【答案】
(1) 因式分解 (2) $d$；$h$
【知识点】
1. 因式分解法定义 2. 一元二次方程的根
【点评】
本题是基础概念类题目，侧重考察对因式分解法解一元二次方程相关核心概念的理解与记忆，熟练掌握基础定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9

【例1】用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2 -4x=0$；
(2)$(x+1)^2 -4=0$；
(3)$(x-3)^2 -2x(x-3)=0$。
【变式1】方程$2x^2=5x$的根为。

(1) 解:$x^2 -4x=0$,因式分解,得$x(x-4)=0$,$\therefore x=0$或$x-4=0$,解得$x_1=0,x_2=4$.
(2) 解:$(x+1)^2 -4=0$,$(x+1+2)(x+1-2)=0$,$x+1+2=0$或$x+1-2=0$,$\therefore x_1=-3,x_2=1$.
(3) 解:$(x-3)^2 -2x(x-3)=0$,因式分解,得$(x-3)(x-3-2x)=0$,即$(x-3)(-3-x)=0$,$\therefore x-3=0$或$-3-x=0$,解得$x_1=3,x_2=-3$.
【变式1】$x_1=0,x_2=\frac{5}{2}$

【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是“降次”，通用步骤为：①将方程整理为右边为0的形式；②把方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，所得解就是原方程的根。
各小题具体思考方向：(1)左边可直接提取公因式$x$分解；(2)左边符合平方差$a^2-b^2$的结构，用平方差公式分解；(3)左右两项含公因式$(x-3)$，提取公因式即可分解；变式1先移项把右边项移到左侧，再提取公因式$x$分解。
【解析】
例1
(1) 对$x^2 -4x=0$因式分解，提取公因式$x$得：$x(x-4)=0$，
$\therefore x=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=0,x_2=4$。
(2) 对$(x+1)^2 -4=0$，将左边用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解（其中$a=x+1$，$b=2$），得：
$(x+1+2)(x+1-2)=0$，
$\therefore x+1+2=0$或$x+1-2=0$，
解得$x_1=-3,x_2=1$。
(3) 对$(x-3)^2 -2x(x-3)=0$，提取公因式$(x-3)$得：
$(x-3)(x-3-2x)=0$，整理为$(x-3)(-x-3)=0$，
$\therefore x-3=0$或$-x-3=0$，
解得$x_1=3,x_2=-3$。
变式1
先移项得$2x^2 -5x=0$，提取公因式$x$得：$x(2x-5)=0$，
$\therefore x=0$或$2x-5=0$，
解得$x_1=0,x_2=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=4$；(2)$x_1=-3,x_2=1$；(3)$x_1=3,x_2=-3$；变式1：$x_1=0,x_2=\frac{5}{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法、平方差公式
【点评】
本组题是因式分解法解一元二次方程的基础应用，核心要求是熟练掌握提公因式、公式法等常见因式分解方法，牢记“先使方程右侧为0，再分解左侧降次为一次方程求解”的步骤，是解一元二次方程的必备基础技能。
【难度系数】
0.8

【变式2】用因式分解法解下列方程：
(1)$x(5x+4)=5x+4$；
(2)$x^2 - 9 = 4(x - 3)$。

(1) 解:$x(5x+4)=5x+4$,$\therefore x(5x+4)-(5x+4)=0$,$\therefore (x-1)(5x+4)=0$,$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{4}{5}$.
(2) 解:原方程可化为$(x+3)(x-3)-4(x-3)=0$,$\therefore (x-3)(x+3-4)=0$,$\therefore (x-3)(x-1)=0$,$\therefore x-3=0$或$x-1=0$,$\therefore x_1=3,x_2=1$.

【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。
(1) 注意不能直接两边同时除以(5x+4)，否则会漏掉5x+4=0的根，正确思路是先移项，把右边的(5x+4)移到左边，再提取公因式(5x+4)，得到乘积为0的形式后求解。
(2) 左边$x^2-9$符合平方差公式的特征，先因式分解为$(x+3)(x-3)$，再移项提取公因式$(x-3)$，注意同样不能直接约掉$(x-3)$避免漏根，整理后求解即可。
【解析】
(1) 解：$x(5x+4)=5x+4$，
移项得：$x(5x+4)-(5x+4)=0$，
提取公因式得：$(x-1)(5x+4)=0$，
$\therefore x-1=0$或$5x+4=0$，
解得：$x_1=1,x_2=-\frac{4}{5}$。
(2) 解：原方程利用平方差公式变形为$(x+3)(x-3)=4(x-3)$，
移项得：$(x+3)(x-3)-4(x-3)=0$，
提取公因式得：$(x-3)(x+3-4)=0$，
化简得：$(x-3)(x-1)=0$，
$\therefore x-3=0$或$x-1=0$，
解得：$x_1=3,x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=-\frac{4}{5}$；
(2) $x_1=3,x_2=1$。
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式法因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查因式分解法的应用，解题的关键是熟练掌握常见的因式分解方法，切记不可随意约去含有未知数的整式，否则容易出现漏解的问题。
【难度系数】
0.8

【例2】用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2 - 4x - 5 = 0$；
(2)$x^2 + 6x - 7 = 0$。

(1) 解:$x^2 -4x -5=0$,$\because x^2 -4x -5=(x-5)(x+1)$,$\therefore (x-5)(x+1)=0$,$\therefore x-5=0$或$x+1=0$,$\therefore x_1=5,x_2=-1$.
(2) 解:$x^2 +6x -7=0$,因式分解,得$(x+7)(x-1)=0$,则$x+7=0$或$x-1=0$,解得$x_1=-7,x_2=1$.

【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，转化为两个一元一次方程求解。本题中两个方程的二次项系数均为1，可采用十字相乘法对左侧的二次三项式因式分解：找到两个数，使它们的乘积等于常数项、和等于一次项系数，即可将二次三项式分解为$(x+a)(x+b)$的形式，后续求解即可。
【解析】
(1) 解：对于方程$x^2 - 4x - 5 = 0$，
先对左侧因式分解，可得$x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)$，
因此原方程转化为$(x - 5)(x + 1) = 0$，
可得$x - 5 = 0$或$x + 1 = 0$，
分别解得$x_1 = 5$，$x_2 = -1$。
(2) 解：对于方程$x^2 + 6x - 7 = 0$，
用十字相乘法对左侧因式分解，得$(x + 7)(x - 1) = 0$，
因此可得$x + 7 = 0$或$x - 1 = 0$，
分别解得$x_1 = -7$，$x_2 = 1$。
【答案】
(1)$x_1=5,x_2=-1$；(2)$x_1=-7,x_2=1$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程 2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查十字相乘法的应用，熟练掌握十字相乘的拆分技巧，能大幅提升这类一元二次方程的解题速度，是后续解复杂一元二次方程的基础技能。
【难度系数】
0.8

【变式】(2026 江门月考)用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2 -3x +2=0$；
(2)$x^2 +x -30=0$。

(1) 解:$x^2 -3x +2=0$,$(x-2)(x-1)=0$,$x-2=0$或$x-1=0$,$\therefore x_1=2,x_2=1$.
(2) 解:$x^2 +x -30=0$,$(x-5)(x+6)=0$,$x-5=0$或$x+6=0$,$\therefore x_1=5,x_2=-6$.

【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先把方程整理为左边是二次三项式、右边为0的形式，再将左边分解为两个一次因式的乘积，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，把二次方程降次转化为两个一元一次方程求解。
针对第(1)题：观察左边的二次三项式$x^2-3x+2$，需找到两个数，乘积等于常数项2，和等于一次项系数-3，可得-1和-2满足条件，用十字相乘法即可分解因式；
针对第(2)题：观察左边的二次三项式$x^2+x-30$，需找到两个数，乘积等于常数项-30，和等于一次项系数1，可得-5和6满足条件，用十字相乘法即可分解因式。
【解析】
(1) 对$x^2 -3x +2=0$因式分解，得：
$(x-1)(x-2)=0$
由此可得$x-1=0$或$x-2=0$
分别解两个一元一次方程，得$x_1=1$，$x_2=2$。
(2) 对$x^2 +x -30=0$因式分解，得：
$(x-5)(x+6)=0$
由此可得$x-5=0$或$x+6=0$
分别解两个一元一次方程，得$x_1=5$，$x_2=-6$。
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=2$；(2)$x_1=5,x_2=-6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解、降次转化思想
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心考查十字相乘法分解二次三项式的熟练度，只要掌握拆项的规律，就能快速准确求出方程的解。
【难度系数】
0.85