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7. 利用添括号简便计算：
(1) $2026x^2y + 321x^2y - 21x^2y$；
(2) $8xy - \frac{3}{5}xy - 3xy - \frac{2}{5}xy$。
(1) $2026x^2y + 321x^2y - 21x^2y$；
(2) $8xy - \frac{3}{5}xy - 3xy - \frac{2}{5}xy$。
答案
(1) $2326x^2y$ (2) $4xy$
解析
【分析】
本题要求用添括号进行简便计算，解题思路如下：①先观察每小题的各项，发现都是同类项，可将相同的字母部分作为公因式提取，把各项的系数放在括号内进行运算；②观察系数的特点，将能凑整的数通过添括号优先计算，降低运算难度。第(1)题中321和21相减可得整百数，第(2)题中两个分数相加得整数、两个整数相减也得整数，通过添括号凑整后计算更简便。
【解析】
(1) 原式$=(2026 + 321 - 21)x^2y$
先计算括号内可凑整的部分：$321-21=300$
再计算剩余部分：$2026+300=2326$
因此结果为$2326x^2y$。
(2) 原式$=[8 - 3 + (-\frac{3}{5} - \frac{2}{5})]xy$
分别计算括号内凑整的部分：$8-3=5$，$-\frac{3}{5}-\frac{2}{5}=-1$
再合并计算：$5-1=4$
因此结果为$4xy$。
【答案】
(1) $\boxed{2326x^2y}$；(2) $\boxed{4xy}$
【知识点】
添括号法则；合并同类项；简便运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是灵活运用添括号法则对系数进行凑整运算，能有效减少计算量，避免逐次运算的失误，掌握凑整技巧是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题要求用添括号进行简便计算，解题思路如下：①先观察每小题的各项，发现都是同类项，可将相同的字母部分作为公因式提取，把各项的系数放在括号内进行运算；②观察系数的特点，将能凑整的数通过添括号优先计算，降低运算难度。第(1)题中321和21相减可得整百数，第(2)题中两个分数相加得整数、两个整数相减也得整数，通过添括号凑整后计算更简便。
【解析】
(1) 原式$=(2026 + 321 - 21)x^2y$
先计算括号内可凑整的部分：$321-21=300$
再计算剩余部分：$2026+300=2326$
因此结果为$2326x^2y$。
(2) 原式$=[8 - 3 + (-\frac{3}{5} - \frac{2}{5})]xy$
分别计算括号内凑整的部分：$8-3=5$，$-\frac{3}{5}-\frac{2}{5}=-1$
再合并计算：$5-1=4$
因此结果为$4xy$。
【答案】
(1) $\boxed{2326x^2y}$；(2) $\boxed{4xy}$
【知识点】
添括号法则；合并同类项；简便运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是灵活运用添括号法则对系数进行凑整运算，能有效减少计算量，避免逐次运算的失误，掌握凑整技巧是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
8. 若$a - 2b = 1$，$b - c = -1$，则$(a + c) - (4b - c)$的值为 【 】
A.$-1$
B.$0$
C.$2$
D.$3$
A.$-1$
B.$0$
C.$2$
D.$3$
答案
D
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，无法通过已知条件直接求出a、b、c三个字母的具体数值，因此解题思路为：第一步先对待求代数式去括号、合并同类项完成化简；第二步将化简后的式子变形，整理为已知的$a-2b$和$b-c$的组合形式；第三步将已知等式的值整体代入计算，即可求出结果。
【解析】
首先化简待求代数式：
$\begin{aligned}(a + c) - (4b - c)&=a + c - 4b + c\\&=a - 4b + 2c\end{aligned}$
将化简后的式子变形为已知条件的组合形式：
$a - 4b + 2c=(a - 2b) - 2(b - c)$
把$a - 2b = 1$，$b - c = -1$整体代入上式：
$\begin{aligned}原式&=1 - 2×(-1)\\&=1 + 2\\&=3\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
整式化简、整体代入求值、去括号法则
【点评】
本题解题核心是灵活运用整体代入思想，无需单独求解每个字母的数值，通过将待求式变形为已知条件的组合形式即可快速计算，既简化了计算过程，也降低了出错概率。
【难度系数】
0.7
本题属于整式化简求值类题目，无法通过已知条件直接求出a、b、c三个字母的具体数值，因此解题思路为：第一步先对待求代数式去括号、合并同类项完成化简；第二步将化简后的式子变形，整理为已知的$a-2b$和$b-c$的组合形式；第三步将已知等式的值整体代入计算，即可求出结果。
【解析】
首先化简待求代数式：
$\begin{aligned}(a + c) - (4b - c)&=a + c - 4b + c\\&=a - 4b + 2c\end{aligned}$
将化简后的式子变形为已知条件的组合形式：
$a - 4b + 2c=(a - 2b) - 2(b - c)$
把$a - 2b = 1$，$b - c = -1$整体代入上式：
$\begin{aligned}原式&=1 - 2×(-1)\\&=1 + 2\\&=3\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
整式化简、整体代入求值、去括号法则
【点评】
本题解题核心是灵活运用整体代入思想，无需单独求解每个字母的数值，通过将待求式变形为已知条件的组合形式即可快速计算，既简化了计算过程，也降低了出错概率。
【难度系数】
0.7
9. 把$x-xy+y-1$重新组合，下列结果中正确的是 【 】
A.$(x-1)-(xy-y)$
B.$(x-xy)-(y+1)$
C.$-(xy+x+y)-1$
D.$-xy-(x-y+1)$
A.$(x-1)-(xy-y)$
B.$(x-xy)-(y+1)$
C.$-(xy+x+y)-1$
D.$-xy-(x-y+1)$
答案
A
解析
【分析】
本题考查添括号的正误判断，解题可采用逆推法：将每个选项的括号去掉，还原后的式子与题干原式$x-xy+y-1$对比，一致的即为正确选项。核心依据是去括号法则：括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去掉括号后括号内各项符号都要改变。
【解析】
我们逐个对选项去括号验证：
A. $(x-1)-(xy-y)$
去括号得：$x-1-xy+y$，整理为$x-xy+y-1$，与原式完全一致。
B. $(x-xy)-(y+1)$
去括号得：$x-xy-y-1$，式中$y$的符号与原式相反，不符合。
C. $-(xy+x+y)-1$
去括号得：$-xy-x-y-1$，$x$、$y$的符号均与原式相反，不符合。
D. $-xy-(x-y+1)$
去括号得：$-xy-x+y-1$，$x$的符号与原式相反，不符合。
综上只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
添括号法则；去括号法则；整式变形
【点评】
本题属于基础运算类题目，采用去括号逆推的方法比直接添括号更不容易出错，解题时要注意括号前为负号时，括号内所有项都要变号，避免出现漏改符号的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查添括号的正误判断，解题可采用逆推法：将每个选项的括号去掉，还原后的式子与题干原式$x-xy+y-1$对比，一致的即为正确选项。核心依据是去括号法则：括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去掉括号后括号内各项符号都要改变。
【解析】
我们逐个对选项去括号验证：
A. $(x-1)-(xy-y)$
去括号得：$x-1-xy+y$，整理为$x-xy+y-1$，与原式完全一致。
B. $(x-xy)-(y+1)$
去括号得：$x-xy-y-1$，式中$y$的符号与原式相反，不符合。
C. $-(xy+x+y)-1$
去括号得：$-xy-x-y-1$，$x$、$y$的符号均与原式相反，不符合。
D. $-xy-(x-y+1)$
去括号得：$-xy-x+y-1$，$x$的符号与原式相反，不符合。
综上只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
添括号法则；去括号法则；整式变形
【点评】
本题属于基础运算类题目，采用去括号逆推的方法比直接添括号更不容易出错，解题时要注意括号前为负号时，括号内所有项都要变号，避免出现漏改符号的错误。
【难度系数】
0.8
10. 已知$(a+b-c-1)(a-b+c-1)=(A+B)(A-B)$，则$A=$
a-1
，$B=$b-c
。答案
10. $a-1$ $b-c$
解析
【分析】
本题要求将左边的乘积式变形为$(A+B)(A-B)$的形式，解题核心是明确该式子的结构特征：两个因式中完全相同的部分为$A$，仅符号相反的部分为$B$和$-B$。思考步骤如下：第一步，先梳理左边两个多项式的所有项，找出公共的相同项；第二步，利用添括号法则，把相同项归为一组，剩余符号相反的项归为另一组，即可对应得到$A$和$B$。
【解析】
首先对等式左边的两个因式进行分组变形：
第一个因式：$a+b-c-1 = (a-1) + (b-c)$
第二个因式：$a-b+c-1 = (a-1) - (b-c)$
因此左边可改写为：
$[(a-1)+(b-c)][(a-1)-(b-c)]$
对比等式右边的$(A+B)(A-B)$，可得：
$A = a-1$，$B = b-c$
【答案】
$a-1$；$b-c$
【知识点】
添括号法则；平方差公式结构特征
【点评】
本题重点考察对多项式分组变形的能力和添括号法则的应用能力，解题的关键是准确拆分出两个因式中的相同部分和符号相反的部分，注意添括号时若括号前是负号，括号内各项要变号。
【难度系数】
0.7
本题要求将左边的乘积式变形为$(A+B)(A-B)$的形式，解题核心是明确该式子的结构特征：两个因式中完全相同的部分为$A$，仅符号相反的部分为$B$和$-B$。思考步骤如下：第一步，先梳理左边两个多项式的所有项，找出公共的相同项；第二步，利用添括号法则，把相同项归为一组，剩余符号相反的项归为另一组，即可对应得到$A$和$B$。
【解析】
首先对等式左边的两个因式进行分组变形：
第一个因式：$a+b-c-1 = (a-1) + (b-c)$
第二个因式：$a-b+c-1 = (a-1) - (b-c)$
因此左边可改写为：
$[(a-1)+(b-c)][(a-1)-(b-c)]$
对比等式右边的$(A+B)(A-B)$，可得：
$A = a-1$，$B = b-c$
【答案】
$a-1$；$b-c$
【知识点】
添括号法则；平方差公式结构特征
【点评】
本题重点考察对多项式分组变形的能力和添括号法则的应用能力，解题的关键是准确拆分出两个因式中的相同部分和符号相反的部分，注意添括号时若括号前是负号，括号内各项要变号。
【难度系数】
0.7
11. 按下列要求给多项式$-a^3 + 2a^2 - a + 1$添括号：
（1）使最高次项的系数变为正数；
（2）把奇次项放在前面是“－”号的括号里，其余的项放在前面是“＋”号的括号里。
（1）使最高次项的系数变为正数；
（2）把奇次项放在前面是“－”号的括号里，其余的项放在前面是“＋”号的括号里。
答案
(1) $-(a^3 - 2a^2 + a - 1)$ (2) $-(a^3 + a) + (2a^2 + 1)$
解析
【分析】
首先回忆添括号法则：添括号时，若括号前是正号，括到括号里的各项符号都不变；若括号前是负号，括到括号里的各项符号都要改变。
(1) 先确定原多项式最高次项为$-a^3$，系数是-1，要让最高次项系数变为正数，需给整个多项式添加带负号的括号，按照法则将括号内各项变号即可。
(2) 先识别多项式的奇次项：次数为奇数的项，本题中是$-a^3$（次数为3）和$-a$（次数为1），剩余的$2a^2$、$+1$为非奇次项。将奇次项放在带“-”号的括号里时，括号内各项要变号；剩余项放在带“+”号的括号里时，各项符号不变，合并后即可得到结果。
【解析】
(1) 给原多项式整体添带负号的括号，括号内各项变号：
$-a^3 + 2a^2 - a + 1 = -(a^3 - 2a^2 + a - 1)$
(2) 先提取奇次项$-a^3$、$-a$，放入前带“-”号的括号，括号内变号得$-(a^3+a)$；剩余项$2a^2$、$+1$放入前带“+”号的括号，符号不变得$+(2a^2+1)$，合并后为：
$-(a^3 + a) + (2a^2 + 1)$
【答案】
(1) $-(a^3 - 2a^2 + a - 1)$ (2) $-(a^3 + a) + (2a^2 + 1)$
【知识点】
添括号法则；多项式的项与次数
【点评】
本题主要考查添括号法则的实际应用，解题关键是准确识别符合要求的项，牢记添负号括号时括号内所有项都要变号，避免出现漏变符号的错误。
【难度系数】
0.8
首先回忆添括号法则：添括号时，若括号前是正号，括到括号里的各项符号都不变；若括号前是负号，括到括号里的各项符号都要改变。
(1) 先确定原多项式最高次项为$-a^3$，系数是-1，要让最高次项系数变为正数，需给整个多项式添加带负号的括号，按照法则将括号内各项变号即可。
(2) 先识别多项式的奇次项：次数为奇数的项，本题中是$-a^3$（次数为3）和$-a$（次数为1），剩余的$2a^2$、$+1$为非奇次项。将奇次项放在带“-”号的括号里时，括号内各项要变号；剩余项放在带“+”号的括号里时，各项符号不变，合并后即可得到结果。
【解析】
(1) 给原多项式整体添带负号的括号，括号内各项变号：
$-a^3 + 2a^2 - a + 1 = -(a^3 - 2a^2 + a - 1)$
(2) 先提取奇次项$-a^3$、$-a$，放入前带“-”号的括号，括号内变号得$-(a^3+a)$；剩余项$2a^2$、$+1$放入前带“+”号的括号，符号不变得$+(2a^2+1)$，合并后为：
$-(a^3 + a) + (2a^2 + 1)$
【答案】
(1) $-(a^3 - 2a^2 + a - 1)$ (2) $-(a^3 + a) + (2a^2 + 1)$
【知识点】
添括号法则；多项式的项与次数
【点评】
本题主要考查添括号法则的实际应用，解题关键是准确识别符合要求的项，牢记添负号括号时括号内所有项都要变号，避免出现漏变符号的错误。
【难度系数】
0.8
12. 利用添括号简便计算：
(1) $\frac{1}{4}a^2 - \frac{6}{17}a^2 - \frac{11}{17}a^2$；
(2) $-\frac{3}{7}x^2y - \frac{44}{19}x^2y - \frac{4}{7}x^2y + \frac{6}{19}x^2y$。
(1) $\frac{1}{4}a^2 - \frac{6}{17}a^2 - \frac{11}{17}a^2$；
(2) $-\frac{3}{7}x^2y - \frac{44}{19}x^2y - \frac{4}{7}x^2y + \frac{6}{19}x^2y$。
答案
(1) 原式 $= \frac{1}{4}a^2 - (\frac{6}{17}a^2 + \frac{11}{17}a^2) = \frac{1}{4}a^2 - a^2 = -\frac{3}{4}a^2$
(2) 原式 $= (-\frac{3}{7}x^2y - \frac{4}{7}x^2y) + (-\frac{44}{19}x^2y + \frac{6}{19}x^2y) = -x^2y - 2x^2y = -3x^2y$
(2) 原式 $= (-\frac{3}{7}x^2y - \frac{4}{7}x^2y) + (-\frac{44}{19}x^2y + \frac{6}{19}x^2y) = -x^2y - 2x^2y = -3x^2y$
解析
【分析】
这两道题都属于整式加减的简便计算题型，解题核心是利用添括号法则将同分母系数的同类项分组凑整，简化计算。（1）中后两项的分母均为17，且两项前均为减号，根据添括号规则：括号前为负号时，括号内各项要变号，可将后两项放入带负号的括号内先求和，再合并同类项；（2）中观察可知有两项系数分母为7、两项系数分母为19，将同分母的同类项分别分组放入括号，组内系数相加凑整后再合并，注意添括号时符号变化规律。
【解析】
(1) 原式$= \frac{1}{4}a^2 - (\frac{6}{17}a^2 + \frac{11}{17}a^2)$
$= \frac{1}{4}a^2 - a^2$
$= -\frac{3}{4}a^2$
(2) 原式$= (-\frac{3}{7}x^2y - \frac{4}{7}x^2y) + (-\frac{44}{19}x^2y + \frac{6}{19}x^2y)$
$= -x^2y - 2x^2y$
$= -3x^2y$
【答案】
(1) $-\frac{3}{4}a^2$；(2) $-3x^2y$
【知识点】
添括号法则；合并同类项；整式的加减运算
【点评】
本题考查利用添括号进行整式简便运算的能力，解题关键是观察同类项系数的特征合理分组凑整，需要熟练掌握添括号的符号变化规则，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.8
这两道题都属于整式加减的简便计算题型，解题核心是利用添括号法则将同分母系数的同类项分组凑整，简化计算。（1）中后两项的分母均为17，且两项前均为减号，根据添括号规则：括号前为负号时，括号内各项要变号，可将后两项放入带负号的括号内先求和，再合并同类项；（2）中观察可知有两项系数分母为7、两项系数分母为19，将同分母的同类项分别分组放入括号，组内系数相加凑整后再合并，注意添括号时符号变化规律。
【解析】
(1) 原式$= \frac{1}{4}a^2 - (\frac{6}{17}a^2 + \frac{11}{17}a^2)$
$= \frac{1}{4}a^2 - a^2$
$= -\frac{3}{4}a^2$
(2) 原式$= (-\frac{3}{7}x^2y - \frac{4}{7}x^2y) + (-\frac{44}{19}x^2y + \frac{6}{19}x^2y)$
$= -x^2y - 2x^2y$
$= -3x^2y$
【答案】
(1) $-\frac{3}{4}a^2$；(2) $-3x^2y$
【知识点】
添括号法则；合并同类项；整式的加减运算
【点评】
本题考查利用添括号进行整式简便运算的能力，解题关键是观察同类项系数的特征合理分组凑整，需要熟练掌握添括号的符号变化规则，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.8
13. (方城期末)有这样一道题:“如果代数式$5a+3b$的值为$-4$,那么代数式$2(a+b)+4(2a+b)$的值是多少?”爱动脑筋的汤同学解题过程如下:
原式$=2a+2b+8a+4b=10a+6b=2(5a+3b)=2×(-4)=-8$.
汤同学把$5a+3b$作为一个整体求解.整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法,请仿照上面的解题方法,完成下面的问题:
【简单应用】(1)已知$a^2+a=3$,则$2a^2+2a+2026=$
(2)已知$a-2b=-3$,求$3(a+b)-7a+5b-5$的值;
【拓展提高】(3)已知$a^2+2ab=5$,$ab-2b^2=-6$,求代数式$3a^2+4ab+4b^2$的值.
原式$=2a+2b+8a+4b=10a+6b=2(5a+3b)=2×(-4)=-8$.
汤同学把$5a+3b$作为一个整体求解.整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法,请仿照上面的解题方法,完成下面的问题:
【简单应用】(1)已知$a^2+a=3$,则$2a^2+2a+2026=$
2032
;(2)已知$a-2b=-3$,求$3(a+b)-7a+5b-5$的值;
【拓展提高】(3)已知$a^2+2ab=5$,$ab-2b^2=-6$,求代数式$3a^2+4ab+4b^2$的值.
答案
13. (1) 2032
(2) 原式$=-4(a-2b)-5$. 因为$a-2b=-3$, 所以原式$=-4×(-3)-5=7$
(3) 原式$=3(a^2+2ab)-2(ab-2b^2)=3×5-2×(-6)=27$
(2) 原式$=-4(a-2b)-5$. 因为$a-2b=-3$, 所以原式$=-4×(-3)-5=7$
(3) 原式$=3(a^2+2ab)-2(ab-2b^2)=3×5-2×(-6)=27$
解析
【分析】
本题考查整式加减中的整体代入求值思想，解题思路如下：
(1) 观察所求代数式$2a^2+2a+2026$，前两项可提取公因式2得到$2(a^2+a)$，正好对应已知条件$a^2+a=3$，直接整体代入计算即可。
(2) 先对所求代数式去括号、合并同类项，整理为含有$a-2b$的形式，再将已知$a-2b=-3$整体代入计算。
(3) 观察已知的两个代数式和所求代数式的系数关系，将$3a^2+4ab+4b^2$拆分为$3(a^2+2ab)-2(ab-2b^2)$，刚好对应已知的两个式子，分别代入数值计算即可。
【解析】
(1) 已知$a^2+a=3$，对所求代数式变形：
$2a^2+2a+2026=2(a^2+a)+2026$
将$a^2+a=3$代入得：$2×3+2026=6+2026=2032$
(2) 先化简$3(a+b)-7a+5b-5$：
去括号得：$3a+3b-7a+5b-5$
合并同类项得：$-4a+8b-5=-4(a-2b)-5$
将$a-2b=-3$代入得：$-4×(-3)-5=12-5=7$
(3) 已知$a^2+2ab=5$，$ab-2b^2=-6$，对所求代数式变形：
$3a^2+4ab+4b^2=3a^2+6ab-2ab+4b^2=3(a^2+2ab)-2(ab-2b^2)$
代入已知值计算得：$3×5-2×(-6)=15+12=27$
【答案】
(1) 2032；(2) 7；(3) 27
【知识点】
整体代入求值；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，解题核心是将所求代数式通过去括号、合并同类项、拆项等方式，变形为含已知代数式的形式，再整体代入计算，可避免单独求每个未知数值的复杂运算。
【难度系数】
0.7
本题考查整式加减中的整体代入求值思想，解题思路如下：
(1) 观察所求代数式$2a^2+2a+2026$，前两项可提取公因式2得到$2(a^2+a)$，正好对应已知条件$a^2+a=3$，直接整体代入计算即可。
(2) 先对所求代数式去括号、合并同类项，整理为含有$a-2b$的形式，再将已知$a-2b=-3$整体代入计算。
(3) 观察已知的两个代数式和所求代数式的系数关系，将$3a^2+4ab+4b^2$拆分为$3(a^2+2ab)-2(ab-2b^2)$，刚好对应已知的两个式子，分别代入数值计算即可。
【解析】
(1) 已知$a^2+a=3$，对所求代数式变形：
$2a^2+2a+2026=2(a^2+a)+2026$
将$a^2+a=3$代入得：$2×3+2026=6+2026=2032$
(2) 先化简$3(a+b)-7a+5b-5$：
去括号得：$3a+3b-7a+5b-5$
合并同类项得：$-4a+8b-5=-4(a-2b)-5$
将$a-2b=-3$代入得：$-4×(-3)-5=12-5=7$
(3) 已知$a^2+2ab=5$，$ab-2b^2=-6$，对所求代数式变形：
$3a^2+4ab+4b^2=3a^2+6ab-2ab+4b^2=3(a^2+2ab)-2(ab-2b^2)$
代入已知值计算得：$3×5-2×(-6)=15+12=27$
【答案】
(1) 2032；(2) 7；(3) 27
【知识点】
整体代入求值；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，解题核心是将所求代数式通过去括号、合并同类项、拆项等方式，变形为含已知代数式的形式，再整体代入计算，可避免单独求每个未知数值的复杂运算。
【难度系数】
0.7
