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1.填一填。
(1)把10个苹果分给甲、乙、丙三人,要求:甲至少得到3个苹果,乙至少得到2个苹果,丙至多得到3个苹果,符合这样要求的分配方案有()种。
(2)李亮练习打靶,5次共打了33环,那么至少有一发不低于()环。
(3)往8个抽屉里放入17本书,每个抽屉里都必须有书,其中放入书最多的抽屉至少有()本书,最多有()本书。
(1)把10个苹果分给甲、乙、丙三人,要求:甲至少得到3个苹果,乙至少得到2个苹果,丙至多得到3个苹果,符合这样要求的分配方案有()种。
(2)李亮练习打靶,5次共打了33环,那么至少有一发不低于()环。
(3)往8个抽屉里放入17本书,每个抽屉里都必须有书,其中放入书最多的抽屉至少有()本书,最多有()本书。
答案
(1)
6+5+4+3=18
(2)
33÷5=6……3
6+1=7
(3)
17÷8=2……1
2+1=3
17-7×1=10
答：(1) 18；(2) 7；(3) 3，10。
6+5+4+3=18
(2)
33÷5=6……3
6+1=7
(3)
17÷8=2……1
2+1=3
17-7×1=10
答：(1) 18；(2) 7；(3) 3，10。
解析
【分析】
(1) 先满足甲乙的最低分配要求：先给甲分3个、乙分2个，此时还剩10-3-2=5个苹果待分配。已知丙至多得到3个苹果，即丙最多从剩余5个中分3个，可分0、1、2、3个四种情况：丙分0个时，5个全分给甲乙有6种方案；丙分1个时，剩余4个分给甲乙有5种方案；丙分2个时，剩余3个分给甲乙有4种方案；丙分3个时，剩余2个分给甲乙有3种方案，相加即可得总方案数。
(2) 这是典型鸽巢问题，把5次打靶看作5个抽屉，33环看作待分配元素。要找至少有一发不低于的环数，先平均分配：33÷5=6余3，即平均每次6环还剩3环，剩余3环任意分配到3次打靶中，这3次的环数就是6+1=7环，因此至少有一发不低于7环。
(3) 第一个空求最多的抽屉至少有几本书，用平均分配思路：17÷8=2余1，每个抽屉先放2本，剩余1本任意放入1个抽屉，这个抽屉就有2+1=3本，即最多的抽屉至少有3本。第二个空求最多的抽屉最多有几本书，让其余7个抽屉都放最少的1本，剩下的全放入最多的抽屉即可，计算得17-7×1=10本。
【解析】
(1) 先满足甲乙最低分配要求，剩余苹果数：
$10-3-2=5$（个）
丙可分配0、1、2、3个，对应方案数相加：
$6+5+4+3=18$（种）
(2) $33÷5=6$（环）$\dots\dots3$（环）
$6+1=7$（环）
(3) 求最多的抽屉至少的本数：
$17÷8=2$（本）$\dots\dots1$（本）
$2+1=3$（本）
求最多的抽屉最多的本数：
$17-7×1=10$（本）
【答案】
(1) 18；(2) 7；(3) 3，10
【知识点】
1. 鸽巢原理
2. 分配计数
3. 最值计算
【点评】
这组题目侧重鸽巢原理的基础应用，解题时需先明确分配规则：求“至少不低于”“最多的至少”类问题优先用平均分配思路，求最大量的最大值时让其余量取最小值即可，熟练掌握思路就能快速准确解题。
【难度系数】
0.7
(1) 先满足甲乙的最低分配要求：先给甲分3个、乙分2个，此时还剩10-3-2=5个苹果待分配。已知丙至多得到3个苹果，即丙最多从剩余5个中分3个，可分0、1、2、3个四种情况：丙分0个时，5个全分给甲乙有6种方案；丙分1个时，剩余4个分给甲乙有5种方案；丙分2个时，剩余3个分给甲乙有4种方案；丙分3个时，剩余2个分给甲乙有3种方案，相加即可得总方案数。
(2) 这是典型鸽巢问题，把5次打靶看作5个抽屉，33环看作待分配元素。要找至少有一发不低于的环数，先平均分配：33÷5=6余3，即平均每次6环还剩3环，剩余3环任意分配到3次打靶中，这3次的环数就是6+1=7环，因此至少有一发不低于7环。
(3) 第一个空求最多的抽屉至少有几本书，用平均分配思路：17÷8=2余1，每个抽屉先放2本，剩余1本任意放入1个抽屉，这个抽屉就有2+1=3本，即最多的抽屉至少有3本。第二个空求最多的抽屉最多有几本书，让其余7个抽屉都放最少的1本，剩下的全放入最多的抽屉即可，计算得17-7×1=10本。
【解析】
(1) 先满足甲乙最低分配要求，剩余苹果数：
$10-3-2=5$（个）
丙可分配0、1、2、3个，对应方案数相加：
$6+5+4+3=18$（种）
(2) $33÷5=6$（环）$\dots\dots3$（环）
$6+1=7$（环）
(3) 求最多的抽屉至少的本数：
$17÷8=2$（本）$\dots\dots1$（本）
$2+1=3$（本）
求最多的抽屉最多的本数：
$17-7×1=10$（本）
【答案】
(1) 18；(2) 7；(3) 3，10
【知识点】
1. 鸽巢原理
2. 分配计数
3. 最值计算
【点评】
这组题目侧重鸽巢原理的基础应用，解题时需先明确分配规则：求“至少不低于”“最多的至少”类问题优先用平均分配思路，求最大量的最大值时让其余量取最小值即可，熟练掌握思路就能快速准确解题。
【难度系数】
0.7
2. 选择正确答案的字母填在括号里。
(1)王老师把36根跳绳分给5个班,则至少有一个班要分到()根跳绳。
A.6 B.7 C.8 D.9
(2)把14支铅笔放入4个文具盒中,总有一个文具盒中至少放入()支铅笔。
A.2 B.3 C.4 D.5
(1)王老师把36根跳绳分给5个班,则至少有一个班要分到()根跳绳。
A.6 B.7 C.8 D.9
(2)把14支铅笔放入4个文具盒中,总有一个文具盒中至少放入()支铅笔。
A.2 B.3 C.4 D.5
答案
(1)
36÷5=7（根）……1（根）
7+1=8（根）
答：至少有一个班要分到8根跳绳，选C。
(2)
14÷4=3（支）……2（支）
3+1=4（支）
答：总有一个文具盒中至少放入4支铅笔，选C。
36÷5=7（根）……1（根）
7+1=8（根）
答：至少有一个班要分到8根跳绳，选C。
(2)
14÷4=3（支）……2（支）
3+1=4（支）
答：总有一个文具盒中至少放入4支铅笔，选C。
解析
【分析】
这两道题均为鸽巢原理的基础题型，解题遵循鸽巢原理的基本逻辑：首先明确“物品总数”和“抽屉数”，将物品平均分配到各个抽屉中，若分配后有余数，那么至少有一个抽屉中的物品数量为“商+1”，因为剩余的物品无论分到哪个抽屉，都会使该抽屉的物品数比平均分的商多1。
第(1)题中，物品总数是36根跳绳，抽屉数是5个班，先做平均分运算，再按规则计算至少数；第(2)题中，物品总数是14支铅笔，抽屉数是4个文具盒，同理按上述逻辑计算即可。
【解析】
(1) 先计算平均每个班能分到的跳绳数：
$36÷5=7$（根）……$1$（根）
每个班先分7根后还剩余1根，剩余的1根分给任意一个班，这个班的跳绳数量为$7+1=8$（根），因此至少有一个班要分到8根跳绳。
(2) 先计算平均每个文具盒能放的铅笔数：
$14÷4=3$（支）……$2$（支）
每个文具盒先放3支后还剩余2支，剩余的2支无论怎么分配，至少会有一个文具盒多分到1支，即$3+1=4$（支），因此总有一个文具盒中至少放入4支铅笔。
【答案】
(1)C；(2)C
【知识点】
鸽巢原理、有余数除法、平均分
【点评】
这两道题是鸽巢原理的典型基础题，重点考查对“有余数时，至少数=商+1”这一规律的理解和应用，只要找准物品总数和抽屉数，结合有余数除法计算即可解答，属于该知识点的入门必练题型。
【难度系数】
0.8
这两道题均为鸽巢原理的基础题型，解题遵循鸽巢原理的基本逻辑：首先明确“物品总数”和“抽屉数”，将物品平均分配到各个抽屉中，若分配后有余数，那么至少有一个抽屉中的物品数量为“商+1”，因为剩余的物品无论分到哪个抽屉，都会使该抽屉的物品数比平均分的商多1。
第(1)题中，物品总数是36根跳绳，抽屉数是5个班，先做平均分运算，再按规则计算至少数；第(2)题中，物品总数是14支铅笔，抽屉数是4个文具盒，同理按上述逻辑计算即可。
【解析】
(1) 先计算平均每个班能分到的跳绳数：
$36÷5=7$（根）……$1$（根）
每个班先分7根后还剩余1根，剩余的1根分给任意一个班，这个班的跳绳数量为$7+1=8$（根），因此至少有一个班要分到8根跳绳。
(2) 先计算平均每个文具盒能放的铅笔数：
$14÷4=3$（支）……$2$（支）
每个文具盒先放3支后还剩余2支，剩余的2支无论怎么分配，至少会有一个文具盒多分到1支，即$3+1=4$（支），因此总有一个文具盒中至少放入4支铅笔。
【答案】
(1)C；(2)C
【知识点】
鸽巢原理、有余数除法、平均分
【点评】
这两道题是鸽巢原理的典型基础题，重点考查对“有余数时，至少数=商+1”这一规律的理解和应用，只要找准物品总数和抽屉数，结合有余数除法计算即可解答，属于该知识点的入门必练题型。
【难度系数】
0.8
3.15名同学坐到7条长凳上。
答案
15÷7=2（名）……1（名）
2+1=3（名）
答：先给每条长凳平均分2名同学，剩余的1名同学无论坐到任意一条长凳上，这条长凳上的人数就变为3名，因此15名同学坐到7条长凳上，必有一条长凳上至少坐3名同学。
2+1=3（名）
答：先给每条长凳平均分2名同学，剩余的1名同学无论坐到任意一条长凳上，这条长凳上的人数就变为3名，因此15名同学坐到7条长凳上，必有一条长凳上至少坐3名同学。
解析
【分析】
这是典型的鸽巢问题，解题时首先明确对应关系：15名同学是待分配的元素，7条长凳相当于7个“鸽巢”。首先将同学平均分配到每条长凳上，计算每条长凳先能分到的人数和剩余人数，剩余的人无论分配到哪条长凳，都会让该长凳人数增加1，由此就能推导得出至少坐多少人的结论。
【解析】
先尝试把15名同学平均分配到7条长凳上，列除法算式计算：
$15÷7=2$（名）$\dots\dots1$（名）
该结果表示每条长凳先坐2名同学时，还剩余1名同学没有座位。剩余的1名同学无论坐到哪条长凳上，这条长凳的人数就变为$2+1=3$（名）。
【答案】
$15÷7=2$（名）$\dots\dots1$（名）
$2+1=3$（名）
答：先给每条长凳平均分2名同学，剩余的1名同学无论坐到任意一条长凳上，这条长凳上的人数就变为3名，因此15名同学坐到7条长凳上，必有一条长凳上至少坐3名同学。
【知识点】
1.鸽巢原理
2.有余数除法应用
【点评】
本题是鸽巢原理的基础应用题型，解题核心是找准待分配元素和“鸽巢”，熟练掌握“平均分后有余数时，至少数=商+1”的规律即可快速求解这类问题。
【难度系数】
0.8
这是典型的鸽巢问题，解题时首先明确对应关系：15名同学是待分配的元素，7条长凳相当于7个“鸽巢”。首先将同学平均分配到每条长凳上，计算每条长凳先能分到的人数和剩余人数，剩余的人无论分配到哪条长凳，都会让该长凳人数增加1，由此就能推导得出至少坐多少人的结论。
【解析】
先尝试把15名同学平均分配到7条长凳上，列除法算式计算：
$15÷7=2$（名）$\dots\dots1$（名）
该结果表示每条长凳先坐2名同学时，还剩余1名同学没有座位。剩余的1名同学无论坐到哪条长凳上，这条长凳的人数就变为$2+1=3$（名）。
【答案】
$15÷7=2$（名）$\dots\dots1$（名）
$2+1=3$（名）
答：先给每条长凳平均分2名同学，剩余的1名同学无论坐到任意一条长凳上，这条长凳上的人数就变为3名，因此15名同学坐到7条长凳上，必有一条长凳上至少坐3名同学。
【知识点】
1.鸽巢原理
2.有余数除法应用
【点评】
本题是鸽巢原理的基础应用题型，解题核心是找准待分配元素和“鸽巢”，熟练掌握“平均分后有余数时，至少数=商+1”的规律即可快速求解这类问题。
【难度系数】
0.8
4.10个信封投入3个信箱里，至少有4封信投入同一个信箱，为什么？
答案
10÷3=3（封）……1（封）
3+1=4（封）
答：平均每个信箱先投入3封信后，剩余的1封信无论投入哪一个信箱，这个信箱的信数都会是4封，因此至少有4封信投入同一个信箱。
3+1=4（封）
答：平均每个信箱先投入3封信后，剩余的1封信无论投入哪一个信箱，这个信箱的信数都会是4封，因此至少有4封信投入同一个信箱。
解析
【分析】
这是典型的鸽巢问题，解题时首先要明确“鸽巢”和“待分物品”：本题中3个信箱是“鸽巢”，10封信是“待分物品”。我们要判断至少有多少件物品在同一个鸽巢里，思路是先尽可能平均分配物品到各个鸽巢，得到每个鸽巢先能分到的数量，再看剩余的物品无论放到哪个鸽巢，都会让该鸽巢的物品数增加1，由此就能得出“至少”的情况。
【解析】
第一步：计算平均每个信箱最多先放几封信，还剩几封：
$10÷3 = 3$（封）$\dots\dots1$（封）
这说明如果平均分配，每个信箱先投入3封信后，还剩1封信没有投放。
第二步：剩余的1封信无论投入哪一个信箱，这个信箱的信的数量就变为：
$3+1=4$（封）
因此可以得出至少有4封信投入同一个信箱的结论。
【答案】
$10÷3=3$（封）……$1$（封）
$3+1=4$（封）
答：平均每个信箱先投入3封信后，剩余的1封信无论投入哪一个信箱，这个信箱的信数都会是4封，因此至少有4封信投入同一个信箱。
【知识点】
1. 鸽巢原理
2. 有余数的除法应用
【点评】
本题是鸽巢原理的基础应用题型，解题关键是先对物品做平均分配，再结合余数的去向推导“至少”的情况，能够考察学生对鸽巢问题基本逻辑的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
这是典型的鸽巢问题，解题时首先要明确“鸽巢”和“待分物品”：本题中3个信箱是“鸽巢”，10封信是“待分物品”。我们要判断至少有多少件物品在同一个鸽巢里，思路是先尽可能平均分配物品到各个鸽巢，得到每个鸽巢先能分到的数量，再看剩余的物品无论放到哪个鸽巢，都会让该鸽巢的物品数增加1，由此就能得出“至少”的情况。
【解析】
第一步：计算平均每个信箱最多先放几封信，还剩几封：
$10÷3 = 3$（封）$\dots\dots1$（封）
这说明如果平均分配，每个信箱先投入3封信后，还剩1封信没有投放。
第二步：剩余的1封信无论投入哪一个信箱，这个信箱的信的数量就变为：
$3+1=4$（封）
因此可以得出至少有4封信投入同一个信箱的结论。
【答案】
$10÷3=3$（封）……$1$（封）
$3+1=4$（封）
答：平均每个信箱先投入3封信后，剩余的1封信无论投入哪一个信箱，这个信箱的信数都会是4封，因此至少有4封信投入同一个信箱。
【知识点】
1. 鸽巢原理
2. 有余数的除法应用
【点评】
本题是鸽巢原理的基础应用题型，解题关键是先对物品做平均分配，再结合余数的去向推导“至少”的情况，能够考察学生对鸽巢问题基本逻辑的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
5.某次数学竞赛有6名学生参加，总分是547分，至少有1名学生的分数不低于92分，为什么？
答案
547÷6 = 91（分）……1（分）
91 + 1 = 92（分）
答：将总分平均分给6名学生，每人得到91分后还剩余1分，剩余的1分无论分给哪一名学生，这名学生的分数都会是92分，因此至少有1名学生的分数不低于92分。
91 + 1 = 92（分）
答：将总分平均分给6名学生，每人得到91分后还剩余1分，剩余的1分无论分给哪一名学生，这名学生的分数都会是92分，因此至少有1名学生的分数不低于92分。
解析
【分析】
这是一道鸽巢原理的应用类题目，我们可以把6名学生看作6个“鸽巢”，总分547分看作待分配的物品总数。要判断是否至少有1名学生分数不低于92分，可先按最平均的情况分配分数：先计算总分平均分给6名学生时每人的得分和剩余分数，剩余的分数无论分给哪名学生，该学生的分数都会比平均分高1，由此即可推导得出结论。
【解析】
首先计算平均每名学生的得分与剩余分数：
$547÷6 = 91$（分）$\dots\dots1$（分）
若每名学生都得91分，总分仅为$6×91=546$分，还剩1分需要分配。
将剩余的1分分给任意1名学生，这名学生的得分就变为$91+1=92$（分）。
因此可证明至少有1名学生的分数不低于92分。
【答案】
$547÷6 = 91$（分）$\dots\dots1$（分）
$91 + 1 = 92$（分）
答：将总分平均分给6名学生，每人得到91分后还剩余1分，剩余的1分无论分给哪一名学生，这名学生的分数都会是92分，因此至少有1名学生的分数不低于92分。
【知识点】
鸽巢原理，有余数除法的应用
【点评】
本题是鸽巢原理的基础典型题，解题关键是先从最平均的分配情况入手分析，再结合余数的分配逻辑推导结论，能很好地考查对鸽巢原理的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.8
这是一道鸽巢原理的应用类题目，我们可以把6名学生看作6个“鸽巢”，总分547分看作待分配的物品总数。要判断是否至少有1名学生分数不低于92分，可先按最平均的情况分配分数：先计算总分平均分给6名学生时每人的得分和剩余分数，剩余的分数无论分给哪名学生，该学生的分数都会比平均分高1，由此即可推导得出结论。
【解析】
首先计算平均每名学生的得分与剩余分数：
$547÷6 = 91$（分）$\dots\dots1$（分）
若每名学生都得91分，总分仅为$6×91=546$分，还剩1分需要分配。
将剩余的1分分给任意1名学生，这名学生的得分就变为$91+1=92$（分）。
因此可证明至少有1名学生的分数不低于92分。
【答案】
$547÷6 = 91$（分）$\dots\dots1$（分）
$91 + 1 = 92$（分）
答：将总分平均分给6名学生，每人得到91分后还剩余1分，剩余的1分无论分给哪一名学生，这名学生的分数都会是92分，因此至少有1名学生的分数不低于92分。
【知识点】
鸽巢原理，有余数除法的应用
【点评】
本题是鸽巢原理的基础典型题，解题关键是先从最平均的分配情况入手分析，再结合余数的分配逻辑推导结论，能很好地考查对鸽巢原理的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.8
