登录
11. (★)下列说法正确的是 【 】
A.延长线段AB和延长线段BA的含义相同
B.射线AB和射线BA是同一条射线
C.经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线
D.延长直线AB
A.延长线段AB和延长线段BA的含义相同
B.射线AB和射线BA是同一条射线
C.经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线
D.延长直线AB
答案
C
解析
【分析】
本题考查直线、射线、线段的基础概念与性质，解题时需逐一结合对应知识点判断每个选项的正误：首先回忆三类几何图形的特征：线段有两个端点，可双向延长，不同延长方向含义不同；射线有1个端点，只有端点相同且延伸方向一致才是同一条射线；直线无端点，本身向两方无限延伸，无需延长；同时牢记直线的基本性质“两点确定一条直线”，再对应核对每个选项即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 延长线段AB是沿A到B的方向延长，延长线段BA是沿B到A的方向延长，二者延长方向相反，含义不同，故A错误；
B. 射线AB的端点是A，向B的方向无限延伸，射线BA的端点是B，向A的方向无限延伸，二者端点和延伸方向都不同，不是同一条射线，故B错误；
C. 根据直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线，也就是经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线，故C正确；
D. 直线本身是向两方无限延伸的，不存在“延长直线”的说法，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.直线的性质
2.射线的概念
3.线段的概念
【点评】
本题是基础概念类考题，核心是区分直线、射线、线段的特征差异，只要准确掌握三者的定义和相关性质，就能快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.9
本题考查直线、射线、线段的基础概念与性质，解题时需逐一结合对应知识点判断每个选项的正误：首先回忆三类几何图形的特征：线段有两个端点，可双向延长，不同延长方向含义不同；射线有1个端点，只有端点相同且延伸方向一致才是同一条射线；直线无端点，本身向两方无限延伸，无需延长；同时牢记直线的基本性质“两点确定一条直线”，再对应核对每个选项即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 延长线段AB是沿A到B的方向延长，延长线段BA是沿B到A的方向延长，二者延长方向相反，含义不同，故A错误；
B. 射线AB的端点是A，向B的方向无限延伸，射线BA的端点是B，向A的方向无限延伸，二者端点和延伸方向都不同，不是同一条射线，故B错误；
C. 根据直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线，也就是经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线，故C正确；
D. 直线本身是向两方无限延伸的，不存在“延长直线”的说法，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.直线的性质
2.射线的概念
3.线段的概念
【点评】
本题是基础概念类考题，核心是区分直线、射线、线段的特征差异，只要准确掌握三者的定义和相关性质，就能快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.9
12. (★★)(1)探索观察：
①经过平面内不在同一直线上的3个点，最多可以画条直线；
②经过平面内不在同一直线上的4个点，最多可以画条直线；
③经过平面内不在同一直线上的5个点，最多可以画条直线.
(2)探索归纳：
如果平面内有n(n为大于或等于3的整数)个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么最多可以画条直线.(用含n的代数式表示)
①经过平面内不在同一直线上的3个点，最多可以画条直线；
②经过平面内不在同一直线上的4个点，最多可以画条直线；
③经过平面内不在同一直线上的5个点，最多可以画条直线.
(2)探索归纳：
如果平面内有n(n为大于或等于3的整数)个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么最多可以画条直线.(用含n的代数式表示)
答案
解：
(1) ① 3
② 6
③ 10
(2) $\frac{n(n-1)}{2}$
(1) ① 3
② 6
③ 10
(2) $\frac{n(n-1)}{2}$
解析
【分析】
解题的核心依据是“两点确定一条直线”，要得到最多的直线条数，需保证任意3个点都不在同一直线上，此时每两个点均可确定唯一一条直线。思考时先计算每个点与其余所有点连接得到的直线总数，注意此时每条直线会被两个端点各计算1次，存在重复，因此最终结果需要除以2去掉重复计数的部分，再分别代入n=3、4、5即可求解前3空，进一步推广就能得到n个点时的通用表达式。
【解析】
(1) ① 3个点时，每个点可与剩余2个点各画1条直线，初步计算得$3×2=6$条，由于每条直线被重复计算了2次，因此最多可画直线：$6÷2=3$条；
② 4个点时，每个点可与剩余3个点各画1条直线，初步计算得$4×3=12$条，去掉重复计数后，最多可画直线：$12÷2=6$条；
③ 5个点时，每个点可与剩余4个点各画1条直线，初步计算得$5×4=20$条，去掉重复计数后，最多可画直线：$20÷2=10$条；
(2) 当平面内有n个点（任意3点不共线）时，每个点可与剩余$(n-1)$个点各画1条直线，初步计算得$n(n-1)$条，每条直线被重复计算2次，因此最多可画直线条数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
【答案】
(1) ①3；②6；③10；(2)$\frac{n(n-1)}{2}$
【知识点】
两点确定一条直线；图形计数；规律探究
【点评】
本题以直线的基本性质为载体，考查从特殊到一般的归纳推理能力，解题的关键是注意避免直线的重复计数，是典型的规律探究类基础题，掌握该规律可快速解决同类点确定直线条数的问题。
【难度系数】
0.75
解题的核心依据是“两点确定一条直线”，要得到最多的直线条数，需保证任意3个点都不在同一直线上，此时每两个点均可确定唯一一条直线。思考时先计算每个点与其余所有点连接得到的直线总数，注意此时每条直线会被两个端点各计算1次，存在重复，因此最终结果需要除以2去掉重复计数的部分，再分别代入n=3、4、5即可求解前3空，进一步推广就能得到n个点时的通用表达式。
【解析】
(1) ① 3个点时，每个点可与剩余2个点各画1条直线，初步计算得$3×2=6$条，由于每条直线被重复计算了2次，因此最多可画直线：$6÷2=3$条；
② 4个点时，每个点可与剩余3个点各画1条直线，初步计算得$4×3=12$条，去掉重复计数后，最多可画直线：$12÷2=6$条；
③ 5个点时，每个点可与剩余4个点各画1条直线，初步计算得$5×4=20$条，去掉重复计数后，最多可画直线：$20÷2=10$条；
(2) 当平面内有n个点（任意3点不共线）时，每个点可与剩余$(n-1)$个点各画1条直线，初步计算得$n(n-1)$条，每条直线被重复计算2次，因此最多可画直线条数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
【答案】
(1) ①3；②6；③10；(2)$\frac{n(n-1)}{2}$
【知识点】
两点确定一条直线；图形计数；规律探究
【点评】
本题以直线的基本性质为载体，考查从特殊到一般的归纳推理能力，解题的关键是注意避免直线的重复计数，是典型的规律探究类基础题，掌握该规律可快速解决同类点确定直线条数的问题。
【难度系数】
0.75
13. (★★)在郑州东站和北京西站之间往返的某高铁，在运行途中停靠的站点有：新乡东，鹤壁东，安阳东，邯郸东，邢台东，石家庄，保定东，那么要为这趟高铁制作的车票一共有
【 】
A.72种
B.36种
C.56种
D.28种
【 】
A.72种
B.36种
C.56种
D.28种
答案
A
解析
【分析】
这道题考查线段计数的实际应用，解题思路可分为三步：第一步先明确这条高铁线路的总站点数量，第二步先计算单方向的车票总数（等价于数所有站点间的线段总条数），第三步结合车票有往返方向的特点，往返车票属于不同类型，将单方向车票数乘2即可得到总车票数。
【解析】
1. 计算总站点数：线路两端是郑州东站、北京西站，中间还有7个停靠站，总站点数为 $2+7=9$ 个。
2. 计算单方向车票数：单方向的车票数等于9个站点之间的线段总条数，按数线段的累加方法计算：$8+7+6+5+4+3+2+1=36$ 种。
3. 计算往返总车票数：由于往返两个站点的车票不相同，总车票数为单方向车票数的2倍，即 $36×2=72$ 种。
【答案】
A
【知识点】
线段计数、实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查线段计数的拓展应用，易错点是容易忽略车票的方向性，误算成单方向的车票数，解题时要先准确统计总站点数，再结合实际需求判断是否需要考虑顺序。
【难度系数】
0.7
这道题考查线段计数的实际应用，解题思路可分为三步：第一步先明确这条高铁线路的总站点数量，第二步先计算单方向的车票总数（等价于数所有站点间的线段总条数），第三步结合车票有往返方向的特点，往返车票属于不同类型，将单方向车票数乘2即可得到总车票数。
【解析】
1. 计算总站点数：线路两端是郑州东站、北京西站，中间还有7个停靠站，总站点数为 $2+7=9$ 个。
2. 计算单方向车票数：单方向的车票数等于9个站点之间的线段总条数，按数线段的累加方法计算：$8+7+6+5+4+3+2+1=36$ 种。
3. 计算往返总车票数：由于往返两个站点的车票不相同，总车票数为单方向车票数的2倍，即 $36×2=72$ 种。
【答案】
A
【知识点】
线段计数、实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查线段计数的拓展应用，易错点是容易忽略车票的方向性，误算成单方向的车票数，解题时要先准确统计总站点数，再结合实际需求判断是否需要考虑顺序。
【难度系数】
0.7
14. (★★★)如图,已知线段AB,回答下列问题,并从中探索规律.
(1)在AB上取1个点,图中共有几条线段?
(2)在AB上取2个点,图中共有几条线段?取3个点、4个点呢?
(3)猜想在AB上取n(n为正整数)个点,共有s条线段,试写出s与n的关系式.
(4)当n=20时,求线段的总数.
(1)在AB上取1个点,图中共有几条线段?
(2)在AB上取2个点,图中共有几条线段?取3个点、4个点呢?
(3)猜想在AB上取n(n为正整数)个点,共有s条线段,试写出s与n的关系式.
(4)当n=20时,求线段的总数.
答案
解：
(1) 设在AB上取的1个点为C，图中的线段为AC、CB、AB，共有3条线段。
(2) 在AB上取2个点时，线段总数为$3+2+1=6$条；
在AB上取3个点时，线段总数为$4+3+2+1=10$条；
在AB上取4个点时，线段总数为$5+4+3+2+1=15$条。
(3) AB上原有A、B2个端点，取$n$个点后，线段上总共有$(n+2)$个点，从左到右依次累加线段数量可得：
$s=1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
(4) 将$n=20$代入$s=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，得：
$s=\frac{(20+1)×(20+2)}{2}=231$
答：(1) 共有3条线段；(2) 取2个点共有6条线段，取3个点共有10条线段，取4个点共有15条线段；(3) $s$与$n$的关系式为$s=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$；(4) 线段的总数为231条。
(1) 设在AB上取的1个点为C，图中的线段为AC、CB、AB，共有3条线段。
(2) 在AB上取2个点时，线段总数为$3+2+1=6$条；
在AB上取3个点时，线段总数为$4+3+2+1=10$条；
在AB上取4个点时，线段总数为$5+4+3+2+1=15$条。
(3) AB上原有A、B2个端点，取$n$个点后，线段上总共有$(n+2)$个点，从左到右依次累加线段数量可得：
$s=1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
(4) 将$n=20$代入$s=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，得：
$s=\frac{(20+1)×(20+2)}{2}=231$
答：(1) 共有3条线段；(2) 取2个点共有6条线段，取3个点共有10条线段，取4个点共有15条线段；(3) $s$与$n$的关系式为$s=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$；(4) 线段的总数为231条。
解析
【分析】
解题时先明确线段的定义：两个端点确定一条线段，计数时要做到有序枚举，不重复、不遗漏。(1)问取1个点后线段上共3个端点，按顺序列出所有线段即可得到数量；(2)问取k个点时，线段上总共有(k+2)个端点，从第一个端点出发可连(k+1)条线段，第二个端点出发可连k条线段，依次递减到1，累加求和即可得到对应总线段数；(3)问将具体点数替换为n，利用等差数列求和（首项加末项乘项数除以2）即可推导出s与n的通用关系式；(4)问将n=20直接代入(3)问得到的关系式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设在AB上取的1个点为C，图中的线段为AC、CB、AB，共有3条线段。
(2) 在AB上取2个点时，总共有4个端点，线段总数为$3+2+1=6$条；
在AB上取3个点时，总共有5个端点，线段总数为$4+3+2+1=10$条；
在AB上取4个点时，总共有6个端点，线段总数为$5+4+3+2+1=15$条。
(3) AB上原有A、B2个端点，取$n$个点后，线段上总共有$(n+2)$个点，从左到右依次累加线段数量可得：
$s=1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
(4) 将$n=20$代入$s=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，得：
$s=\frac{(20+1)×(20+2)}{2}=231$
【答案】
(1) 共有3条线段；
(2) 取2个点共有6条线段，取3个点共有10条线段，取4个点共有15条线段；
(3) $s$与$n$的关系式为$\boldsymbol{s=\frac{(n+1)(n+2)}{2}}$；
(4) 线段的总数为231条。
【知识点】
线段计数、规律探究、代数式求值
【点评】
本题是线段计数的典型题型，核心是掌握有序计数的方法，通过从特殊到一般的归纳思路推导通用公式，既考查了枚举计数的细心程度，也考查了规律归纳和代数式应用的能力，掌握该公式可快速解决同类线段、角、直线交点等计数问题。
【难度系数】
0.6
解题时先明确线段的定义：两个端点确定一条线段，计数时要做到有序枚举，不重复、不遗漏。(1)问取1个点后线段上共3个端点，按顺序列出所有线段即可得到数量；(2)问取k个点时，线段上总共有(k+2)个端点，从第一个端点出发可连(k+1)条线段，第二个端点出发可连k条线段，依次递减到1，累加求和即可得到对应总线段数；(3)问将具体点数替换为n，利用等差数列求和（首项加末项乘项数除以2）即可推导出s与n的通用关系式；(4)问将n=20直接代入(3)问得到的关系式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设在AB上取的1个点为C，图中的线段为AC、CB、AB，共有3条线段。
(2) 在AB上取2个点时，总共有4个端点，线段总数为$3+2+1=6$条；
在AB上取3个点时，总共有5个端点，线段总数为$4+3+2+1=10$条；
在AB上取4个点时，总共有6个端点，线段总数为$5+4+3+2+1=15$条。
(3) AB上原有A、B2个端点，取$n$个点后，线段上总共有$(n+2)$个点，从左到右依次累加线段数量可得：
$s=1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
(4) 将$n=20$代入$s=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，得：
$s=\frac{(20+1)×(20+2)}{2}=231$
【答案】
(1) 共有3条线段；
(2) 取2个点共有6条线段，取3个点共有10条线段，取4个点共有15条线段；
(3) $s$与$n$的关系式为$\boldsymbol{s=\frac{(n+1)(n+2)}{2}}$；
(4) 线段的总数为231条。
【知识点】
线段计数、规律探究、代数式求值
【点评】
本题是线段计数的典型题型，核心是掌握有序计数的方法，通过从特殊到一般的归纳思路推导通用公式，既考查了枚举计数的细心程度，也考查了规律归纳和代数式应用的能力，掌握该公式可快速解决同类线段、角、直线交点等计数问题。
【难度系数】
0.6
