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【例1】如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB//DE，∠ACB＝∠F.求证：AC＝DF.
证明：
证明：
答案
证明：因为BE＝CF，所以BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.
因为AB//DE，所以∠B＝∠DEF.
在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} ∠ B=∠ DEF, \\ BC=EF, \\ ∠ ACB=∠ F, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(ASA).
所以AC＝DF.
因为AB//DE，所以∠B＝∠DEF.
在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} ∠ B=∠ DEF, \\ BC=EF, \\ ∠ ACB=∠ F, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(ASA).
所以AC＝DF.
(改变条件)将例1中的条件“$∠ ACB=∠ F$”改成“$AC// DF$”后，如何证明？
答案
证明: 因为 $BE=CF$, 所以 $BE+EC=CF+EC$, 即 $BC=EF$.
因为 $AB// DE$,$AC// DF$,
所以 $∠ B=∠ DEF$,$∠ ACB=∠ F$.
在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中,
$\begin{cases}∠ B=∠ DEF,\\BC=EF,\\∠ ACB=∠ F,\end{cases}$
所以 $△ ABC≌△ DEF(\mathrm{ASA})$,
所以 $AC=DF$.
因为 $AB// DE$,$AC// DF$,
所以 $∠ B=∠ DEF$,$∠ ACB=∠ F$.
在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中,
$\begin{cases}∠ B=∠ DEF,\\BC=EF,\\∠ ACB=∠ F,\end{cases}$
所以 $△ ABC≌△ DEF(\mathrm{ASA})$,
所以 $AC=DF$.
1.如图，$AC=AE$，$∠ C=∠ E$，$∠ 1=∠ 2$.
求证：$△ ABC≌△ ADE$.
求证：$△ ABC≌△ ADE$.
答案
1. 证明:因为$∠ 1=∠ 2$，
所以$∠ 1+∠ EAC=∠ 2+∠ EAC$，
所以$∠ BAC=∠ DAE$.
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}∠ BAC=∠ DAE,\\AC=AE,\\∠ C=∠ E,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADE(\mathrm{ASA})$.
所以$∠ 1+∠ EAC=∠ 2+∠ EAC$，
所以$∠ BAC=∠ DAE$.
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}∠ BAC=∠ DAE,\\AC=AE,\\∠ C=∠ E,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADE(\mathrm{ASA})$.
2.如图，$AB=AE$，$∠ 1=∠ 2$，$∠ B=∠ E$. 求证：$BC=ED$.
答案
2. 证明:因为$∠ 1=∠ 2$，
所以$∠ 1+∠ BAD=∠ 2+∠ BAD$，
即$∠ BAC=∠ EAD$.
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases}∠ BAC=∠ EAD,\\AB=AE,\\∠ B=∠ E,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ AED(\mathrm{ASA})$.
所以$BC=ED$.
所以$∠ 1+∠ BAD=∠ 2+∠ BAD$，
即$∠ BAC=∠ EAD$.
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases}∠ BAC=∠ EAD,\\AB=AE,\\∠ B=∠ E,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ AED(\mathrm{ASA})$.
所以$BC=ED$.
