【例2】如图，三角尺$ABC$放到两个物体之间，且$AC=BC$，$AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$。
求证：$△ ADC≌△ CEB$。

|思路分析|
思考1:在$△ ADC$和$△ CEB$中，已知相等的边、角有哪些？
思考2:$∠ ACD$和$∠ DAC$有什么关系？$∠ ACD$和$∠ BCE$呢？
思考3:$∠ BCE$和$∠ DAC$相等吗？为什么？
证明:
铺路设桥

证明：
∵ $AD⊥DE$，$BE⊥DE$，
∴ $∠ ADC = ∠ CEB = 90°$，
∴ $∠ DAC + ∠ ACD = 90°$。
∵ 三角尺$ABC$中$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACD + ∠ BCE = 180° - ∠ ACB = 90°$，
∴ $∠ DAC = ∠ BCE$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC = ∠ CEB \\∠ DAC = ∠ ECB \\AC = CB\end{cases}$
∴ $△ ADC ≌ △ CEB$（AAS）。

【规律方法】
证明三角形全等时寻找等角的方法
(1)公共角相等、对顶角相等、直角都相等；
(2)等角加(或减)等角，其和(或差)相等；
(3)同角或等角的余(补)角相等；
(4)根据角平分线、平行线找等角。

思路分析
思考1:AC=BC,∠ADC=∠CEB=90°.
思考2:∠ACD 和∠DAC 互余,∠ACD 和∠BCE 互余.
思考3:相等.因为同角的余角相等.
证明:由题意,知 AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,
所以∠ACD + ∠BCE = 90°,∠ADC=∠CEB=90°,
所以∠ACD+∠DAC=90°,
所以∠BCE=∠DAC.
在△ADC 和△CEB 中,
$\begin{cases}∠ADC=∠CEB,\\∠DAC=∠ECB,\\AC=CB,\end{cases}$
所以△ADC≌△CEB(AAS).

3.如图,在$Rt△ ABC$中,CD是斜边AB上的高线,E为AC上一点,$EF⊥ AB$于点F,$AE=CB$.
求证:$△ AEF≌△ CBD$.

3. 证明:在$Rt△ABC$中,$∠B+∠A=90^{\circ }$.
因为 CD 是斜边 AB 上的高线，
所以$∠B+∠BCD=90^{\circ }$.
所以$∠A=∠BCD$.
因为$EF⊥AB$,
所以$∠EFA=∠BDC=90^{\circ }$.
在$△AEF$和$△CBD$中,
$\{\begin{array}{l} ∠A=∠BCD,\\ ∠EFA=∠BDC,\\ AE=CB,\end{array} $
所以$△AEF≌ △CBD(AAS)$.

综合与实践——知识建构与应用
测量河两岸两点间的距离
学习了“全等三角形的判定”后，某数学兴趣小组同学就“测量河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案，如图①.
【测量工具】测量角度的仪器，皮尺等.
【测量步骤】
①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在同一条直线上，且$CD=BC$；
②测得$∠ DCB=100°$，$∠ ADC=65°$；
③在CD的延长线上取点E，使得$∠ BEC=15°$；
④测得DE的长度为30 m.
【问题解决】请你根据以上方案求出A，B两点间的距离AB.

【延伸探究】如图②，设AD与BE相交于点F，善于观察和思考的小明同学猜想线段$AF=EF$，你同意小明的观点吗？请说明理由.

【问题解决】
$AB=30\ \mathrm{m}$.
【延伸探究】
同意小明的观点.
理由:由上,知$∠CAD=∠BEC$,$AB=ED$.
因为$∠AFB$与$∠EFD$是对顶角，
所以$∠AFB=∠EFD$.
在$△ABF$和$△EDF$中,
$\{\begin{array}{l} ∠BAF=∠DEF,\\ ∠AFB=∠EFD,\\ AB=ED,\end{array} $
所以$△ABF≌ △EDF(AAS)$.
所以$AF=EF$.