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11.【数学游戏】把一个正方体分割成8个小正方体，至少需要切3刀，因为这8个小正方体都只有三个面是现成的，所以其他三个面必须用刀切3次才能切出来。那么，要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需要用刀切几次？为什么？
答案
要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需要用刀切6次。因为最中间的1个小正方体的六个面都不是现成的，所以这六个面必须用刀切6次才能切出来，所以至少切6次。
解析
【分析】
我们可以先类比分割成8个小正方体的思路：8是2的立方，对应长宽高三个方向各切1刀，共3刀。现在要分割成27个小正方体，27是3的立方，说明小正方体是按3行、3列、3层排列的。接下来从两个角度思考：一是从三维结构来看，正方体有长、宽、高三个互相垂直的方向，每个方向要分成3等份，需要切3-1=2刀，三个方向总次数就是2×3=6刀；二是从最中间的小正方体来看，它的6个面都不是原大正方体的表面，每个面都必须用刀切才能得到，所以最少需要6刀，不可能更少。
【解析】
解：因为27=3×3×3，即分割后的小正方体在大正方体的长、宽、高三个方向上各排列3个：
1. 任意一个方向要分成3等份，需要切3-1=2刀；
2. 长、宽、高三个方向各切2刀，总次数为2×3=6次。
另外，最中心的小正方体的6个面都不是原大正方体的原有面，每一个面都需要通过刀切得到，切1次最多只能形成这个小正方体的1个面，因此最少需要切6次，无法更少。
【答案】
要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需要用刀切6次。因为最中间的1个小正方体的六个面都不是现成的，所以这六个面必须用刀切6次才能切出来，所以至少切6次。
【知识点】
正方体的特征、立体图形分割、空间想象
【点评】
本题结合正方体的三维结构考查立体图形的分割问题，既可以通过分维度计算切割次数，也可以通过中心小正方体的面的特征快速推导，能有效锻炼空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
我们可以先类比分割成8个小正方体的思路：8是2的立方，对应长宽高三个方向各切1刀，共3刀。现在要分割成27个小正方体，27是3的立方，说明小正方体是按3行、3列、3层排列的。接下来从两个角度思考：一是从三维结构来看，正方体有长、宽、高三个互相垂直的方向，每个方向要分成3等份，需要切3-1=2刀，三个方向总次数就是2×3=6刀；二是从最中间的小正方体来看，它的6个面都不是原大正方体的表面，每个面都必须用刀切才能得到，所以最少需要6刀，不可能更少。
【解析】
解：因为27=3×3×3，即分割后的小正方体在大正方体的长、宽、高三个方向上各排列3个：
1. 任意一个方向要分成3等份，需要切3-1=2刀；
2. 长、宽、高三个方向各切2刀，总次数为2×3=6次。
另外，最中心的小正方体的6个面都不是原大正方体的原有面，每一个面都需要通过刀切得到，切1次最多只能形成这个小正方体的1个面，因此最少需要切6次，无法更少。
【答案】
要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需要用刀切6次。因为最中间的1个小正方体的六个面都不是现成的，所以这六个面必须用刀切6次才能切出来，所以至少切6次。
【知识点】
正方体的特征、立体图形分割、空间想象
【点评】
本题结合正方体的三维结构考查立体图形的分割问题，既可以通过分维度计算切割次数，也可以通过中心小正方体的面的特征快速推导，能有效锻炼空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
将一个正方体的表面沿某些棱剪开展成平面图形，至少要剪
7
条棱，展开的平面图形中含有6
个小正方形。答案
1. 7
2. 6
2. 6
解析
【分析】
首先回忆正方体的基本特征：正方体共有12条棱，6个完全相同的面。解题时围绕两个核心思路推导：①计算剪开的棱数：要把正方体剪成平面图形，6个正方形必须连通，每两个相邻正方形共用1条未剪开的棱，6个正方形连通一共需要5条未剪开的棱，用总棱数减去未剪开的棱数就能得到要剪开的棱数。②计算展开图的小正方形数量：正方体展开只是把面平铺，不会增减面的数量，直接对应正方体的面数即可。
【解析】
1. 求至少要剪的棱数：
正方体总共有12条棱。将正方体展开为连通的平面图形时，6个小正方形之间需要$6-1=5$条未剪开的公共棱来连接，因此需要剪开的棱数为总棱数减去未剪开的棱数，即$12-5=7$条。
2. 求展开图中小正方形的数量：
正方体共有6个面，展开为平面图形后面的数量不变，因此展开的平面图形中含有6个小正方形。
【答案】
7；6
【知识点】
正方体的展开与折叠；正方体的特征
【点评】
本题是正方体展开图的基础题型，解题关键是明确正方体展开后面的数量不变，同时理清总棱数、未剪开棱数、剪开棱数三者的数量关系，掌握相关规律即可快速作答。
【难度系数】
0.7
首先回忆正方体的基本特征：正方体共有12条棱，6个完全相同的面。解题时围绕两个核心思路推导：①计算剪开的棱数：要把正方体剪成平面图形，6个正方形必须连通，每两个相邻正方形共用1条未剪开的棱，6个正方形连通一共需要5条未剪开的棱，用总棱数减去未剪开的棱数就能得到要剪开的棱数。②计算展开图的小正方形数量：正方体展开只是把面平铺，不会增减面的数量，直接对应正方体的面数即可。
【解析】
1. 求至少要剪的棱数：
正方体总共有12条棱。将正方体展开为连通的平面图形时，6个小正方形之间需要$6-1=5$条未剪开的公共棱来连接，因此需要剪开的棱数为总棱数减去未剪开的棱数，即$12-5=7$条。
2. 求展开图中小正方形的数量：
正方体共有6个面，展开为平面图形后面的数量不变，因此展开的平面图形中含有6个小正方形。
【答案】
7；6
【知识点】
正方体的展开与折叠；正方体的特征
【点评】
本题是正方体展开图的基础题型，解题关键是明确正方体展开后面的数量不变，同时理清总棱数、未剪开棱数、剪开棱数三者的数量关系，掌握相关规律即可快速作答。
【难度系数】
0.7
1.下列图形是正方体的表面展开图的是（
C
）。答案
1. C
解析
【分析】
要判断一个图形是否为正方体的表面展开图，我们可以结合正方体展开图的特征逐步排除错误选项：首先排除包含“田”字形、“凹”字形的图形，这类图形一定无法折成正方体；再分析剩余图形折叠时是否会出现面重叠的情况，无重叠且6个面刚好能围成正方体的就是正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项B：中间4个小正方形组成“田”字形，不符合正方体展开图的特征，直接排除；
2. 选项A：该图形折叠时，最右侧上方的两个面会和其他面发生重叠，无法拼成完整的正方体，排除；
3. 选项D：该图形折叠后会出现面重叠的问题，不能围成正方体，排除；
4. 选项C：属于正方体展开图的“一四一”型，中间4个横向排列的正方形作为正方体的侧面，上下两个正方形分别作为正方体的上、下底面，折叠后可以得到完整的正方体，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
正方体表面展开图、展开与折叠
【点评】
本题考查正方体表面展开图的识别，牢记正方体展开图的常见类型和禁止出现的结构，即可快速做出判断，是对空间想象能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
要判断一个图形是否为正方体的表面展开图，我们可以结合正方体展开图的特征逐步排除错误选项：首先排除包含“田”字形、“凹”字形的图形，这类图形一定无法折成正方体；再分析剩余图形折叠时是否会出现面重叠的情况，无重叠且6个面刚好能围成正方体的就是正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项B：中间4个小正方形组成“田”字形，不符合正方体展开图的特征，直接排除；
2. 选项A：该图形折叠时，最右侧上方的两个面会和其他面发生重叠，无法拼成完整的正方体，排除；
3. 选项D：该图形折叠后会出现面重叠的问题，不能围成正方体，排除；
4. 选项C：属于正方体展开图的“一四一”型，中间4个横向排列的正方形作为正方体的侧面，上下两个正方形分别作为正方体的上、下底面，折叠后可以得到完整的正方体，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
正方体表面展开图、展开与折叠
【点评】
本题考查正方体表面展开图的识别，牢记正方体展开图的常见类型和禁止出现的结构，即可快速做出判断，是对空间想象能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
2.如图所示的是一个小正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，“诚”字所在的面相对的面上的字是(
A.守
B.信
C.友
D.善
B
)。A.守
B.信
C.友
D.善
答案
2. B
解析
【分析】
解这道题我们需要用到正方体表面展开图相对面的判定规则：正方体展开图中相对的面没有公共边和公共顶点，常用判定规律为“相间、Z端是对面”，即同一行/列间隔一个面的两个面相对，“Z”字形两端的两个面相对。解题时先明确本题展开图属于“二二二”型，我们可以先排除和“诚”相邻的面，再结合规律确定相对面即可。
【解析】
本题的展开图是正方体“二二二”型表面展开图：
1. 首先排除与“诚”相邻的面：和“诚”有公共边的面是“实”，折叠后“守”也和“诚”相邻，因此先排除“实”“守”两个选项；
2. 再根据相对面规律判断：“实”和“友”是相对面，“守”和“善”是相对面，剩余的“诚”和“信”位于“Z”字形的两端，互为相对面。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方体展开图
2. 相对面判定
【点评】
本题考查正方体展开图相对面的识别，属于基础题，熟记常见正方体展开图的相对面规律即可快速得出答案，也可通过动手折叠的方式验证结论，锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.8
解这道题我们需要用到正方体表面展开图相对面的判定规则：正方体展开图中相对的面没有公共边和公共顶点，常用判定规律为“相间、Z端是对面”，即同一行/列间隔一个面的两个面相对，“Z”字形两端的两个面相对。解题时先明确本题展开图属于“二二二”型，我们可以先排除和“诚”相邻的面，再结合规律确定相对面即可。
【解析】
本题的展开图是正方体“二二二”型表面展开图：
1. 首先排除与“诚”相邻的面：和“诚”有公共边的面是“实”，折叠后“守”也和“诚”相邻，因此先排除“实”“守”两个选项；
2. 再根据相对面规律判断：“实”和“友”是相对面，“守”和“善”是相对面，剩余的“诚”和“信”位于“Z”字形的两端，互为相对面。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方体展开图
2. 相对面判定
【点评】
本题考查正方体展开图相对面的识别，属于基础题，熟记常见正方体展开图的相对面规律即可快速得出答案，也可通过动手折叠的方式验证结论，锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.8
3.将一个无底无盖的正方体沿一条棱剪开得到的平面图形是(
A.长方形
B.正方形
C.三角形
D.五边形
A
)。A.长方形
B.正方形
C.三角形
D.五边形
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先明确无底无盖正方体的结构：它仅包含4个大小完全相同的正方形侧面，没有上下底面。接下来思考剪开后的图形构成：沿一条棱剪开时，4个侧面不会分离，会连成一个整体。我们可以假设正方体棱长为a，拼接后的图形如果是4个正方形依次相连，长为4a、宽为a，长和宽不相等，符合长方形特征。再逐一排除错误选项：三角形仅由3个面拼接得到，不符合4个侧面的前提；五边形需要5个面，也不满足；只有4个正方形拼成2×2的形式才是正方形，但沿一条棱剪开无法得到这种拼接形式，因此排除正方形选项。
【解析】
第一步：确定无底无盖正方体的构成：共有4个全等的正方形侧面，无上下底面。
第二步：分析剪开后的图形特征：沿一条棱剪开后，4个侧面保持相连，由4个边长为原正方体棱长（设为a）的正方形拼接而成。展开后图形的一组对边长为4a，另一组对边长为a，两组对边长度不相等，且四个角均为直角，符合长方形的定义。
第三步：排除错误选项：B选项正方形要求长和宽相等，不符合展开图边长特征；C选项三角形、D选项五边形的面数均与4个侧面的数量不符，故排除。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.正方体展开图
2.长方形的特征
3.立体图形的展开与折叠
【点评】
本题侧重考查空间想象能力，解题核心是先明确待展开立体图形的组成，再结合展开后的边长特征判断平面图形的类型，易错点是忽略展开的拼接限制，误以为多个正方形拼接一定得到正方形。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确无底无盖正方体的结构：它仅包含4个大小完全相同的正方形侧面，没有上下底面。接下来思考剪开后的图形构成：沿一条棱剪开时，4个侧面不会分离，会连成一个整体。我们可以假设正方体棱长为a，拼接后的图形如果是4个正方形依次相连，长为4a、宽为a，长和宽不相等，符合长方形特征。再逐一排除错误选项：三角形仅由3个面拼接得到，不符合4个侧面的前提；五边形需要5个面，也不满足；只有4个正方形拼成2×2的形式才是正方形，但沿一条棱剪开无法得到这种拼接形式，因此排除正方形选项。
【解析】
第一步：确定无底无盖正方体的构成：共有4个全等的正方形侧面，无上下底面。
第二步：分析剪开后的图形特征：沿一条棱剪开后，4个侧面保持相连，由4个边长为原正方体棱长（设为a）的正方形拼接而成。展开后图形的一组对边长为4a，另一组对边长为a，两组对边长度不相等，且四个角均为直角，符合长方形的定义。
第三步：排除错误选项：B选项正方形要求长和宽相等，不符合展开图边长特征；C选项三角形、D选项五边形的面数均与4个侧面的数量不符，故排除。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.正方体展开图
2.长方形的特征
3.立体图形的展开与折叠
【点评】
本题侧重考查空间想象能力，解题核心是先明确待展开立体图形的组成，再结合展开后的边长特征判断平面图形的类型，易错点是忽略展开的拼接限制，误以为多个正方形拼接一定得到正方形。
【难度系数】
0.8
4.如图所示的是正方体的表面展开图,则该正方体相对两个面上的数字之和的最小值是(
A.5
B.6
C.7
D.8
B
)。A.5
B.6
C.7
D.8
答案
4. B
解析
【分析】
要解决这道题，可按照三步思路推导：第一步，利用正方体展开图相对面的判定规律找出三对相对的面，判定规则为：相对的面一定不相邻，同列或同行中间间隔1个正方形的两个面互为相对面；第二步，分别计算每对相对面上数字的和；第三步，比较三个和的大小，即可得到最小值。
【解析】
解：首先根据正方体展开图相对面的判定规则，确定三对相对的面：
1. 数字1和5为相对面，两数之和为：$1+5=6$
2. 数字2和6为相对面，两数之和为：$2+6=8$
3. 数字3和4为相对面，两数之和为：$3+4=7$
对比三个和的大小：$6＜7＜8$，因此相对两个面上的数字之和的最小值是6。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方体表面展开图、有理数加法、有理数大小比较
【点评】
本题是正方体展开图的典型基础题，解题核心是熟练掌握展开图相对面的判定规则，避免找错相对面导致计算错误，掌握对应规律后可快速完成求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可按照三步思路推导：第一步，利用正方体展开图相对面的判定规律找出三对相对的面，判定规则为：相对的面一定不相邻，同列或同行中间间隔1个正方形的两个面互为相对面；第二步，分别计算每对相对面上数字的和；第三步，比较三个和的大小，即可得到最小值。
【解析】
解：首先根据正方体展开图相对面的判定规则，确定三对相对的面：
1. 数字1和5为相对面，两数之和为：$1+5=6$
2. 数字2和6为相对面，两数之和为：$2+6=8$
3. 数字3和4为相对面，两数之和为：$3+4=7$
对比三个和的大小：$6＜7＜8$，因此相对两个面上的数字之和的最小值是6。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方体表面展开图、有理数加法、有理数大小比较
【点评】
本题是正方体展开图的典型基础题，解题核心是熟练掌握展开图相对面的判定规则，避免找错相对面导致计算错误，掌握对应规律后可快速完成求解。
【难度系数】
0.7
