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1. 关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有一根为0的条件是（）
A.$b=0$
B.$c=0$
C.$c=0$且$b≠0$
D.$b^2-4ac=0$
A.$b=0$
B.$c=0$
C.$c=0$且$b≠0$
D.$b^2-4ac=0$
答案
B
解析
【分析】
解题思路：要确定一元二次方程有一根为0的条件，可利用方程根的定义推导：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此把x=0代入原方程，结合一元二次方程a≠0的限定条件，即可推出对应的参数要求，再逐一排查选项即可。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=0代入方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
$a×0^2 + b×0 + c = 0$
化简得$c=0$。
已知原方程是一元二次方程，已满足$a≠0$的要求，对b的取值没有限制，因此方程有一根为0的条件是$c=0$。
逐一验证选项：A选项b=0不符合推导结果，错误；B选项c=0符合要求，正确；C选项要求b≠0没有依据，例如方程$x^2=0$是有根为0的一元二次方程，此时b=0，错误；D选项$b^2-4ac=0$是方程有两个相等实数根的条件，和有一根为0没有必然联系，错误。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义；一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解方程根的含义，只要掌握将根代入方程验证的方法就能快速求解，注意不要额外增加对一次项系数的不必要限制。
【难度系数】
0.9
解题思路：要确定一元二次方程有一根为0的条件，可利用方程根的定义推导：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此把x=0代入原方程，结合一元二次方程a≠0的限定条件，即可推出对应的参数要求，再逐一排查选项即可。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=0代入方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
$a×0^2 + b×0 + c = 0$
化简得$c=0$。
已知原方程是一元二次方程，已满足$a≠0$的要求，对b的取值没有限制，因此方程有一根为0的条件是$c=0$。
逐一验证选项：A选项b=0不符合推导结果，错误；B选项c=0符合要求，正确；C选项要求b≠0没有依据，例如方程$x^2=0$是有根为0的一元二次方程，此时b=0，错误；D选项$b^2-4ac=0$是方程有两个相等实数根的条件，和有一根为0没有必然联系，错误。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义；一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解方程根的含义，只要掌握将根代入方程验证的方法就能快速求解，注意不要额外增加对一次项系数的不必要限制。
【难度系数】
0.9
2.（2025·湖南）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的周长为（）
A.6
B.9
C.12
D.18
A.6
B.9
C.12
D.18
答案
C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“对角线AC与BD互相垂直平分”入手思考：第一步，先回忆特殊四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，若平行四边形的对角线再互相垂直，就可判定该四边形为菱形；第二步，回忆菱形的性质，菱形的四条边长度相等，已知一条边的长度，即可求出周长。
【解析】
∵ 对角线AC与BD互相平分，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
又
∵ AC⊥BD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=DA=3，
∴ 四边形ABCD的周长=4×AB=4×3=12。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定；菱形的性质
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是先根据对角线的特征判断四边形的形状，再结合菱形的边长性质计算周长，熟练掌握特殊四边形的判定与性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“对角线AC与BD互相垂直平分”入手思考：第一步，先回忆特殊四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，若平行四边形的对角线再互相垂直，就可判定该四边形为菱形；第二步，回忆菱形的性质，菱形的四条边长度相等，已知一条边的长度，即可求出周长。
【解析】
∵ 对角线AC与BD互相平分，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
又
∵ AC⊥BD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=DA=3，
∴ 四边形ABCD的周长=4×AB=4×3=12。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定；菱形的性质
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是先根据对角线的特征判断四边形的形状，再结合菱形的边长性质计算周长，熟练掌握特殊四边形的判定与性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 一个等腰三角形的两条边长分别是 图1
方程$x^2 -7x +12=0$的两根,则该等腰三角形的周长是 ()
A.10
B.11
C.10 或 11
D.12 或 9
方程$x^2 -7x +12=0$的两根,则该等腰三角形的周长是 ()
A.10
B.11
C.10 或 11
D.12 或 9
答案
C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先求解一元二次方程，得到两根即三角形的两条候选边长；第二步结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论腰长和底边长的取值；第三步对每种情况用三角形三边关系验证是否能构成三角形，符合条件的再计算周长，最终得到所有可能的周长结果。
【解析】
首先解方程$x^2 -7x +12=0$，因式分解得：
$(x-3)(x-4)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=4$，即等腰三角形的两条边长为3和4。
接下来分两种情况讨论：
1. 当腰长为3，底边长为4时，三角形三边长为3、3、4。
验证三边关系：$3+3＞4$，$4-3＜3$，满足三角形构成条件，此时周长为$3+3+4=10$。
2. 当腰长为4，底边长为3时，三角形三边长为4、4、3。
验证三边关系：$4+3＞4$，$4-3＜4$，满足三角形构成条件，此时周长为$4+4+3=11$。
综上，该等腰三角形的周长为10或11。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，解题时要注意分类讨论思想的运用，尤其要牢记讨论等腰三角形边长时，必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免漏解或出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步先求解一元二次方程，得到两根即三角形的两条候选边长；第二步结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论腰长和底边长的取值；第三步对每种情况用三角形三边关系验证是否能构成三角形，符合条件的再计算周长，最终得到所有可能的周长结果。
【解析】
首先解方程$x^2 -7x +12=0$，因式分解得：
$(x-3)(x-4)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=4$，即等腰三角形的两条边长为3和4。
接下来分两种情况讨论：
1. 当腰长为3，底边长为4时，三角形三边长为3、3、4。
验证三边关系：$3+3＞4$，$4-3＜3$，满足三角形构成条件，此时周长为$3+3+4=10$。
2. 当腰长为4，底边长为3时，三角形三边长为4、4、3。
验证三边关系：$4+3＞4$，$4-3＜4$，满足三角形构成条件，此时周长为$4+4+3=11$。
综上，该等腰三角形的周长为10或11。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，解题时要注意分类讨论思想的运用，尤其要牢记讨论等腰三角形边长时，必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免漏解或出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
4. 如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别为AB,AC,BC的中点,则DC和EF的大小关系是 () A. DC＞EF B. DC＜EF C. DC=EF D. 无法比较 
图2 
图3
图2 图3答案
C
解析
【分析】
拿到题目先梳理已知条件：首先是直角三角形ABC，其次有多个中点。第一步，看到直角三角形斜边的中点D，优先回忆直角三角形斜边中线的性质，可得到DC和斜边AB的数量关系；第二步，看到E、F分别是AC、BC的中点，可知EF是△ABC的中位线，结合中位线定理得到EF和AB的数量关系；最后以AB为中间量，就能对比DC和EF的大小关系。
【解析】
解：1. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
可得 $ DC = \frac{1}{2}AB $。
2. 因为E、F分别为AC、BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
可得 $ EF = \frac{1}{2}AB $。
因此 $ DC = EF $，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何基础类考题，核心是通过公共中间量AB建立两条待比较线段的等量关系，熟练掌握中点相关的几何性质定理即可快速求解，是中点类几何题的常考题型。
【难度系数】
0.8
拿到题目先梳理已知条件：首先是直角三角形ABC，其次有多个中点。第一步，看到直角三角形斜边的中点D，优先回忆直角三角形斜边中线的性质，可得到DC和斜边AB的数量关系；第二步，看到E、F分别是AC、BC的中点，可知EF是△ABC的中位线，结合中位线定理得到EF和AB的数量关系；最后以AB为中间量，就能对比DC和EF的大小关系。
【解析】
解：1. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
可得 $ DC = \frac{1}{2}AB $。
2. 因为E、F分别为AC、BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
可得 $ EF = \frac{1}{2}AB $。
因此 $ DC = EF $，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何基础类考题，核心是通过公共中间量AB建立两条待比较线段的等量关系，熟练掌握中点相关的几何性质定理即可快速求解，是中点类几何题的常考题型。
【难度系数】
0.8
5. 一元二次方程$x^2 -4x -8=0$的解是（）
A.$x_1=-2+2\sqrt{3},x_2=-2-2\sqrt{3}$
B.$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}$
C.$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
D.$x_1=2\sqrt{3},x_2=-2\sqrt{3}$
A.$x_1=-2+2\sqrt{3},x_2=-2-2\sqrt{3}$
B.$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}$
C.$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
D.$x_1=2\sqrt{3},x_2=-2\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程的求解，可选择配方法或公式法解题。若用配方法，思路是先将常数项移到等号右侧，再给等式两边加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，再开平方求解；若用公式法，先确定方程中a、b、c的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
方法一：配方法
移项得：$x^2 - 4x = 8$
配方，两边同时加4（一次项系数-4一半的平方）：$x^2 - 4x + 4 = 8 + 4$
即$(x-2)^2 = 12$
开平方得：$x - 2 = \pm 2\sqrt{3}$
解得：$x_1 = 2 + 2\sqrt{3}$，$x_2 = 2 - 2\sqrt{3}$
方法二：公式法
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题中$a=1$，$b=-4$，$c=-8$
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×(-8) = 16 + 32 = 48 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x = \frac{4\pm\sqrt{48}}{2×1} = \frac{4\pm4\sqrt{3}}{2} = 2\pm2\sqrt{3}$
即$x_1 = 2 + 2\sqrt{3}$，$x_2 = 2 - 2\sqrt{3}$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程解法、配方法、公式法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握配方法和求根公式的应用即可快速得出正确结果，主要考查基础运算能力。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元二次方程的求解，可选择配方法或公式法解题。若用配方法，思路是先将常数项移到等号右侧，再给等式两边加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，再开平方求解；若用公式法，先确定方程中a、b、c的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
方法一：配方法
移项得：$x^2 - 4x = 8$
配方，两边同时加4（一次项系数-4一半的平方）：$x^2 - 4x + 4 = 8 + 4$
即$(x-2)^2 = 12$
开平方得：$x - 2 = \pm 2\sqrt{3}$
解得：$x_1 = 2 + 2\sqrt{3}$，$x_2 = 2 - 2\sqrt{3}$
方法二：公式法
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题中$a=1$，$b=-4$，$c=-8$
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×(-8) = 16 + 32 = 48 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x = \frac{4\pm\sqrt{48}}{2×1} = \frac{4\pm4\sqrt{3}}{2} = 2\pm2\sqrt{3}$
即$x_1 = 2 + 2\sqrt{3}$，$x_2 = 2 - 2\sqrt{3}$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程解法、配方法、公式法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握配方法和求根公式的应用即可快速得出正确结果，主要考查基础运算能力。
【难度系数】
0.8
6. (2025·浙江)如图3,五边形ABCDE,A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,已知点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0)。若DE的长为3,则D'E'的长为 ()
A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
答案
C
解析
【分析】
本题考查位似图形的相关计算，解题思路如下：首先回忆位似图形的性质：以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标之比等于位似比，且位似图形的对应边长度之比等于位似比。第一步先根据已知的点A、A'的坐标求出两个位似图形的位似比，第二步利用对应边的比等于位似比，代入DE的长度即可求出D'E'的长度。
【解析】
∵ 五边形ABCDE和A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
∴ 两个图形的位似比$k = \frac{OA'}{OA} = \frac{3}{2}$。
根据位似图形的性质，对应边的长度之比等于位似比，即$\frac{D'E'}{DE} = k = \frac{3}{2}$。
已知$DE = 3$，代入得：
$D'E' = DE × \frac{3}{2} = 3 × \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；坐标与位似变换
【点评】
本题是基础题型，核心考查位似比与对应线段的关系，解题的关键是正确通过对应点的坐标求出位似比，掌握位似的基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题考查位似图形的相关计算，解题思路如下：首先回忆位似图形的性质：以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标之比等于位似比，且位似图形的对应边长度之比等于位似比。第一步先根据已知的点A、A'的坐标求出两个位似图形的位似比，第二步利用对应边的比等于位似比，代入DE的长度即可求出D'E'的长度。
【解析】
∵ 五边形ABCDE和A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
∴ 两个图形的位似比$k = \frac{OA'}{OA} = \frac{3}{2}$。
根据位似图形的性质，对应边的长度之比等于位似比，即$\frac{D'E'}{DE} = k = \frac{3}{2}$。
已知$DE = 3$，代入得：
$D'E' = DE × \frac{3}{2} = 3 × \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；坐标与位似变换
【点评】
本题是基础题型，核心考查位似比与对应线段的关系，解题的关键是正确通过对应点的坐标求出位似比，掌握位似的基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
7. (2024·西宁)如图4,小区物业规划在一个长60 m、宽22 m的矩形场地ABCD上修建一个小型停车场,阴影部分为停车位所在区域,两侧是宽x m的道路,中间是宽2x m的道路。如果阴影部分的总面积是600 m²,那么x满足的方程是 ()
A.$x^2 -41x +180=0$
B.$x^2 -41x +225=0$
C.$x^2 -41x +30=0$
D.$x^2 -41x -270=0$
A.$x^2 -41x +180=0$
B.$x^2 -41x +225=0$
C.$x^2 -41x +30=0$
D.$x^2 -41x -270=0$
答案
A
解析
【分析】
解决此类道路修建的面积问题时，可通过平移法将分散的阴影部分拼接为规则矩形，简化面积计算。首先推导拼接后矩形的长与宽：水平方向原矩形长60m，左右两侧道路各宽x m，因此拼接后阴影矩形的长为(60-2x)m；竖直方向原矩形宽22m，中间道路宽2x m，因此拼接后阴影矩形的宽为(22-2x)m。再结合阴影总面积为600m²，利用矩形面积公式列方程，整理为一般形式后匹配选项即可。
【解析】
将两个阴影区域向中间平移，可拼接成一个新的矩形：
1. 新矩形的长：原矩形长减去左右两条道路的宽度，即$(60-2x)\ \mathrm{m}$；
2. 新矩形的宽：原矩形宽减去中间道路的宽度，即$(22-2x)\ \mathrm{m}$；
3. 根据阴影部分总面积为$600\ \mathrm{m}^2$，结合矩形面积公式列方程：
$(60-2x)(22-2x)=600$
展开并整理方程：
$\begin{aligned}1320-120x-44x+4x^2&=600\\4x^2-164x+720&=0\\x^2-41x+180&=0\end{aligned}$
因此x满足的方程为$x^2 -41x +180=0$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；平移的应用
【点评】
本题是几何面积结合一元二次方程的常考题型，核心技巧是通过平移将不规则的阴影分布转化为规则矩形，降低计算难度，解题时需注意准确表示拼接后矩形的长和宽，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
解决此类道路修建的面积问题时，可通过平移法将分散的阴影部分拼接为规则矩形，简化面积计算。首先推导拼接后矩形的长与宽：水平方向原矩形长60m，左右两侧道路各宽x m，因此拼接后阴影矩形的长为(60-2x)m；竖直方向原矩形宽22m，中间道路宽2x m，因此拼接后阴影矩形的宽为(22-2x)m。再结合阴影总面积为600m²，利用矩形面积公式列方程，整理为一般形式后匹配选项即可。
【解析】
将两个阴影区域向中间平移，可拼接成一个新的矩形：
1. 新矩形的长：原矩形长减去左右两条道路的宽度，即$(60-2x)\ \mathrm{m}$；
2. 新矩形的宽：原矩形宽减去中间道路的宽度，即$(22-2x)\ \mathrm{m}$；
3. 根据阴影部分总面积为$600\ \mathrm{m}^2$，结合矩形面积公式列方程：
$(60-2x)(22-2x)=600$
展开并整理方程：
$\begin{aligned}1320-120x-44x+4x^2&=600\\4x^2-164x+720&=0\\x^2-41x+180&=0\end{aligned}$
因此x满足的方程为$x^2 -41x +180=0$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；平移的应用
【点评】
本题是几何面积结合一元二次方程的常考题型，核心技巧是通过平移将不规则的阴影分布转化为规则矩形，降低计算难度，解题时需注意准确表示拼接后矩形的长和宽，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
