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8.已知菱形的周长为40,一条对角线长为12,则这个菱形的面积为（）
A.40
B.47
C.96
D.190
A.40
B.47
C.96
D.190
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的核心性质：①菱形的四条边长度相等；②菱形的两条对角线互相垂直平分；③菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。首先根据周长求出菱形的边长，再结合已知对角线的长度，利用勾股定理求出另一条对角线的长度，最后代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵菱形的周长为40，且菱形四条边长度相等
∴菱形的边长为 $40 ÷ 4 = 10$
∵菱形的对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为12
∴该对角线的一半长度为 $12 ÷ 2 = 6$
设另一条对角线的一半长度为$x$，由勾股定理可得：
$x^2 + 6^2 = 10^2$
解得 $x^2 = 100 - 36 = 64$，即$x=8$（长度为正数，舍去负根）
∴另一条对角线的全长为 $8 × 2 = 16$
∴菱形的面积为 $\frac{1}{2} × 12 × 16 = 96$
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是基础类常考题，重点考查菱形相关性质的灵活运用，解题的关键是熟练掌握菱形边长与对角线的关系，结合勾股定理求出未知对角线长度，再代入面积公式求解即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆菱形的核心性质：①菱形的四条边长度相等；②菱形的两条对角线互相垂直平分；③菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。首先根据周长求出菱形的边长，再结合已知对角线的长度，利用勾股定理求出另一条对角线的长度，最后代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵菱形的周长为40，且菱形四条边长度相等
∴菱形的边长为 $40 ÷ 4 = 10$
∵菱形的对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为12
∴该对角线的一半长度为 $12 ÷ 2 = 6$
设另一条对角线的一半长度为$x$，由勾股定理可得：
$x^2 + 6^2 = 10^2$
解得 $x^2 = 100 - 36 = 64$，即$x=8$（长度为正数，舍去负根）
∴另一条对角线的全长为 $8 × 2 = 16$
∴菱形的面积为 $\frac{1}{2} × 12 × 16 = 96$
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是基础类常考题，重点考查菱形相关性质的灵活运用，解题的关键是熟练掌握菱形边长与对角线的关系，结合勾股定理求出未知对角线长度，再代入面积公式求解即可。
【难度系数】
0.8
9. (2025·三门峡一模)如图5,$AB// CD$,$AD// BE$,AE与CD交于点O,$CD=3OD$,若$BE=15$,则线段AD的长为 ()
A.5
B.4
C.3
D.6
A.5
B.4
C.3
D.6
答案
A
解析
【分析】
首先根据已知的两组平行关系，可判定四边形ABCD是平行四边形，得到AD=BC；再由AD//BE可推出△AOD与△EOC相似，结合CD=3OD得出两个三角形的相似比，进而得到CE与AD的数量关系；最后结合BE=BC+CE的线段和关系，代入已知BE的长度即可求出AD的长。
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵AB//CD，AD//BE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC。
2. 证明三角形相似：
∵AD//BE，
∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，
∴△AOD∽△EOC（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 求相似比与线段关系：
已知CD=3OD，
∴OC=CD - OD=3OD - OD=2OD，即$\frac{OD}{OC}=\frac{1}{2}$。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AD}{CE}=\frac{OD}{OC}=\frac{1}{2}$，
∴CE=2AD。
4. 计算AD的长度：
∵BE=BC+CE=AD+2AD=3AD，且BE=15，
∴3AD=15，解得AD=5。
【答案】
A
【知识点】
1. 平行四边形的判定与性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用平行线的性质推导平行四边形和相似三角形，再结合线段比例关系建立等式求解，对学生的几何逻辑推导能力有一定的考查。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的两组平行关系，可判定四边形ABCD是平行四边形，得到AD=BC；再由AD//BE可推出△AOD与△EOC相似，结合CD=3OD得出两个三角形的相似比，进而得到CE与AD的数量关系；最后结合BE=BC+CE的线段和关系，代入已知BE的长度即可求出AD的长。
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵AB//CD，AD//BE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC。
2. 证明三角形相似：
∵AD//BE，
∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，
∴△AOD∽△EOC（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 求相似比与线段关系：
已知CD=3OD，
∴OC=CD - OD=3OD - OD=2OD，即$\frac{OD}{OC}=\frac{1}{2}$。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AD}{CE}=\frac{OD}{OC}=\frac{1}{2}$，
∴CE=2AD。
4. 计算AD的长度：
∵BE=BC+CE=AD+2AD=3AD，且BE=15，
∴3AD=15，解得AD=5。
【答案】
A
【知识点】
1. 平行四边形的判定与性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用平行线的性质推导平行四边形和相似三角形，再结合线段比例关系建立等式求解，对学生的几何逻辑推导能力有一定的考查。
【难度系数】
0.7
10. 如图6,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,若使PD+PE的和最小,则这个最小值为（）
A.$2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{6}$
C.3
D.$\sqrt{6}$
A.$2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{6}$
C.3
D.$\sqrt{6}$
答案
A
解析
【分析】
本题属于将军饮马类最短路径问题，解题思路如下：1. 首先明确要找AC上一点P使PD+PE最小，需利用轴对称转化线段：正方形对角线AC是它的一条对称轴，点D关于AC的对称点为点B，因此PD=PB，可将PD+PE转化为PB+PE；2. 根据“两点之间线段最短”，可知PB+PE的最小值为线段BE的长度；3. 接下来只需结合正方形面积求出边长，再利用等边三角形的性质得到BE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴点D与点B关于对角线AC对称，
∴PD = PB，
∴PD + PE = PB + PE，
根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，PB+PE取得最小值，最小值为BE的长度。
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB² = 12，解得AB = √12 = 2√3，
又
∵△ABE是等边三角形，
∴BE = AB = 2√3，
即PD+PE的最小值为2√3。
【答案】
A
【知识点】
最短路径问题，正方形的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是几何最值类典型考题，解题的核心是利用正方形的轴对称性将两条线段的和转化为共线线段的长度，再结合特殊图形的性质计算，有效考查了对轴对称性质和最短路径原理的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题属于将军饮马类最短路径问题，解题思路如下：1. 首先明确要找AC上一点P使PD+PE最小，需利用轴对称转化线段：正方形对角线AC是它的一条对称轴，点D关于AC的对称点为点B，因此PD=PB，可将PD+PE转化为PB+PE；2. 根据“两点之间线段最短”，可知PB+PE的最小值为线段BE的长度；3. 接下来只需结合正方形面积求出边长，再利用等边三角形的性质得到BE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴点D与点B关于对角线AC对称，
∴PD = PB，
∴PD + PE = PB + PE，
根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，PB+PE取得最小值，最小值为BE的长度。
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB² = 12，解得AB = √12 = 2√3，
又
∵△ABE是等边三角形，
∴BE = AB = 2√3，
即PD+PE的最小值为2√3。
【答案】
A
【知识点】
最短路径问题，正方形的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是几何最值类典型考题，解题的核心是利用正方形的轴对称性将两条线段的和转化为共线线段的长度，再结合特殊图形的性质计算，有效考查了对轴对称性质和最短路径原理的应用能力。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(2024·巴中)已知方程$x^2 -2x +k=0$的一个根为-2,则方程的另一个根为。
11.(2024·巴中)已知方程$x^2 -2x +k=0$的一个根为-2,则方程的另一个根为。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种常规解题思路：
思路1：利用方程的根的定义，将已知根代入原方程求出未知参数k，再解完整的一元二次方程，得到另一个根；
思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，不需要求参数，直接计算另一个根，计算更简便。
本题两种方法都适用，优先选择更高效的韦达定理求解。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系求解）：
设方程的另一个根为$m$，
对于一元二次方程$x^2 -2x +k=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，
根据韦达定理，两根之和满足：$-2 + m = -\frac{b}{a}=2$，
解得$m=2+2=4$。
方法二（代入求参再解方程）：
将已知根$x=-2$代入原方程，得：$(-2)^2 -2×(-2)+k=0$，
计算得$4+4+k=0$，解得$k=-8$，
则原方程为$x^2 -2x -8=0$，
因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-2$，即另一个根为4。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程相关性质的应用，两种解法均为常规解题方法，熟练掌握根与系数的关系可有效简化计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种常规解题思路：
思路1：利用方程的根的定义，将已知根代入原方程求出未知参数k，再解完整的一元二次方程，得到另一个根；
思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，不需要求参数，直接计算另一个根，计算更简便。
本题两种方法都适用，优先选择更高效的韦达定理求解。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系求解）：
设方程的另一个根为$m$，
对于一元二次方程$x^2 -2x +k=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，
根据韦达定理，两根之和满足：$-2 + m = -\frac{b}{a}=2$，
解得$m=2+2=4$。
方法二（代入求参再解方程）：
将已知根$x=-2$代入原方程，得：$(-2)^2 -2×(-2)+k=0$，
计算得$4+4+k=0$，解得$k=-8$，
则原方程为$x^2 -2x -8=0$，
因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-2$，即另一个根为4。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程相关性质的应用，两种解法均为常规解题方法，熟练掌握根与系数的关系可有效简化计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
12. (2025·成都)若$\frac{a}{b}=3$，则$\frac{a+b}{b}$的值为。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题可从两种常规思路入手：① 观察所求分式$\frac{a+b}{b}$的结构，可逆用同分母分式加法法则将其拆分为$\frac{a}{b}+\frac{b}{b}$，即$\frac{a}{b}+1$，直接代入已知的$\frac{a}{b}=3$即可计算结果；② 也可根据已知的比例关系，用含$b$的式子表示$a$，再代入所求分式约分得到结果，两种方法都属于初中阶段代数式求值的基础方法，计算难度低。
【解析】
方法一：逆用同分母分式加法法则
根据分式运算规则，$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$
已知$\frac{a}{b}=3$，代入上式可得：
原式$=3+1=4$
方法二：代入消元法
由$\frac{a}{b}=3$可得$a=3b$（分式有意义，故$b≠0$）
将$a=3b$代入$\frac{a+b}{b}$得：
$\frac{3b+b}{b}=\frac{4b}{b}=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
分式的运算；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查分式运算规则的应用，以及已知比例关系求代数式值的常用方法，熟练掌握分式拆分或代入消元的思路即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题可从两种常规思路入手：① 观察所求分式$\frac{a+b}{b}$的结构，可逆用同分母分式加法法则将其拆分为$\frac{a}{b}+\frac{b}{b}$，即$\frac{a}{b}+1$，直接代入已知的$\frac{a}{b}=3$即可计算结果；② 也可根据已知的比例关系，用含$b$的式子表示$a$，再代入所求分式约分得到结果，两种方法都属于初中阶段代数式求值的基础方法，计算难度低。
【解析】
方法一：逆用同分母分式加法法则
根据分式运算规则，$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$
已知$\frac{a}{b}=3$，代入上式可得：
原式$=3+1=4$
方法二：代入消元法
由$\frac{a}{b}=3$可得$a=3b$（分式有意义，故$b≠0$）
将$a=3b$代入$\frac{a+b}{b}$得：
$\frac{3b+b}{b}=\frac{4b}{b}=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
分式的运算；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查分式运算规则的应用，以及已知比例关系求代数式值的常用方法，熟练掌握分式拆分或代入消元的思路即可快速求解。
【难度系数】
0.9
13. 如图7,在平面直角坐标系中,边长为4的正方形ABCD的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上点D'处,则点C的对应点C'的坐标为。
答案
解：
由题意得，正方形边长为4，因此$AD'=AD=4$，$AB=4$。
因为$O$是$AB$的中点，$AB$在$x$轴上，所以$AO=OB=2$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD'$中，由勾股定理得：
$OD'=\sqrt{AD'^2 - AO^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$
即点$D'$的坐标为$(0,2\sqrt{3})$。
由图形变换性质可知，四边形$ABC'D'$是平行四边形，因此$C'D'=AB=4$，且$C'D'// AB$（即$C'D'$平行于$x$轴）。
所以点$C'$的纵坐标与点$D'$的纵坐标相等，为$2\sqrt{3}$，点$C'$的横坐标为$0+4=4$。
故点$C'$的坐标为$\boldsymbol{(4,2\sqrt{3})}$。
由题意得，正方形边长为4，因此$AD'=AD=4$，$AB=4$。
因为$O$是$AB$的中点，$AB$在$x$轴上，所以$AO=OB=2$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD'$中，由勾股定理得：
$OD'=\sqrt{AD'^2 - AO^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$
即点$D'$的坐标为$(0,2\sqrt{3})$。
由图形变换性质可知，四边形$ABC'D'$是平行四边形，因此$C'D'=AB=4$，且$C'D'// AB$（即$C'D'$平行于$x$轴）。
所以点$C'$的纵坐标与点$D'$的纵坐标相等，为$2\sqrt{3}$，点$C'$的横坐标为$0+4=4$。
故点$C'$的坐标为$\boldsymbol{(4,2\sqrt{3})}$。
解析
【分析】
要求点C'的坐标，可先求其关联点D'的坐标，再结合图形变换后的性质推导C'坐标：首先明确正方形推拉后边长不变，故AD'=AD=4；已知O是AB中点，AB长为4，可得AO=2，结合D'在y轴上，△AOD'为直角三角形，可先用勾股定理求出OD'的长度，得到D'坐标；再根据推拉后四边形ABC'D'为平行四边形，C'D'与AB平行且相等，即可由D'坐标推出C'的坐标。
【解析】
由题意可知，正方形ABCD边长为4，因此$AD'=AD=4$，$AB=4$。
∵O是AB的中点，AB在x轴上，
∴$AO=OB=\frac{1}{2}AB=2$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD'$中，由勾股定理得：
$OD'=\sqrt{AD'^2 - AO^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$，
即点$D'$的坐标为$(0,2\sqrt{3})$。
由图形变换的性质可知，四边形$ABC'D'$是平行四边形，
因此$C'D'=AB=4$，且$C'D'// AB$（即$C'D'$平行于x轴），
∴点$C'$的纵坐标与$D'$的纵坐标相等，为$2\sqrt{3}$，横坐标为$0+4=4$。
【答案】
$\boldsymbol{(4,2\sqrt{3})}$
【知识点】
勾股定理；平行四边形的性质；点的坐标特征
【点评】
本题是几何变换与平面直角坐标系结合的基础题，解题关键是抓住图形变换前后边长不变的特点，灵活运用勾股定理和平行四边形的性质求解，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
要求点C'的坐标，可先求其关联点D'的坐标，再结合图形变换后的性质推导C'坐标：首先明确正方形推拉后边长不变，故AD'=AD=4；已知O是AB中点，AB长为4，可得AO=2，结合D'在y轴上，△AOD'为直角三角形，可先用勾股定理求出OD'的长度，得到D'坐标；再根据推拉后四边形ABC'D'为平行四边形，C'D'与AB平行且相等，即可由D'坐标推出C'的坐标。
【解析】
由题意可知，正方形ABCD边长为4，因此$AD'=AD=4$，$AB=4$。
∵O是AB的中点，AB在x轴上，
∴$AO=OB=\frac{1}{2}AB=2$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD'$中，由勾股定理得：
$OD'=\sqrt{AD'^2 - AO^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$，
即点$D'$的坐标为$(0,2\sqrt{3})$。
由图形变换的性质可知，四边形$ABC'D'$是平行四边形，
因此$C'D'=AB=4$，且$C'D'// AB$（即$C'D'$平行于x轴），
∴点$C'$的纵坐标与$D'$的纵坐标相等，为$2\sqrt{3}$，横坐标为$0+4=4$。
【答案】
$\boldsymbol{(4,2\sqrt{3})}$
【知识点】
勾股定理；平行四边形的性质；点的坐标特征
【点评】
本题是几何变换与平面直角坐标系结合的基础题，解题关键是抓住图形变换前后边长不变的特点，灵活运用勾股定理和平行四边形的性质求解，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
14.(2025·甘肃)“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢”。风筝古称纸鸢,起源于春秋战国时期,风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录。为丰富校园生活,某校开展风筝制作活动,小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝。风筝的形状如图8所示,其中对角线$AC ⊥ BD$。已知大、小风筝的对应边之比为$3:1$,如果小风筝两条对角线的长分别为$30\ \mathrm{cm}$和$35\ \mathrm{cm}$,那么大风筝两条对角线长的和为$\mathrm{cm}$。
答案
$\boldsymbol{195}$
解析
【分析】
首先由“两个风筝形状相同”可判断二者为相似图形，且大风筝与小风筝的相似比为3:1；根据相似多边形的性质，相似多边形对应对角线的比等于相似比，因此我们可以先利用相似比分别求出大风筝两条对角线的长度，再相加即可得到两条对角线长的和。
【解析】
解：
∵大小两个风筝形状相同，
∴两个风筝是相似图形，且大风筝与小风筝的相似比为3:1。
根据相似多边形的性质：相似多边形对应对角线的比等于相似比，
已知小风筝两条对角线长分别为30cm、35cm，
∴大风筝对应的两条对角线长分别为：$30×3=90\ \mathrm{cm}$，$35×3=105\ \mathrm{cm}$，
则大风筝两条对角线长的和为：$90+105=195\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{195}$
【知识点】
相似图形的判定、相似多边形的性质、相似比的应用
【点评】
本题结合传统非遗风筝文化出题，贴近生活实际，主要考查相似图形相关性质的应用，解题的关键是明确相似多边形对应对角线的比等于相似比，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
首先由“两个风筝形状相同”可判断二者为相似图形，且大风筝与小风筝的相似比为3:1；根据相似多边形的性质，相似多边形对应对角线的比等于相似比，因此我们可以先利用相似比分别求出大风筝两条对角线的长度，再相加即可得到两条对角线长的和。
【解析】
解：
∵大小两个风筝形状相同，
∴两个风筝是相似图形，且大风筝与小风筝的相似比为3:1。
根据相似多边形的性质：相似多边形对应对角线的比等于相似比，
已知小风筝两条对角线长分别为30cm、35cm，
∴大风筝对应的两条对角线长分别为：$30×3=90\ \mathrm{cm}$，$35×3=105\ \mathrm{cm}$，
则大风筝两条对角线长的和为：$90+105=195\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{195}$
【知识点】
相似图形的判定、相似多边形的性质、相似比的应用
【点评】
本题结合传统非遗风筝文化出题，贴近生活实际，主要考查相似图形相关性质的应用，解题的关键是明确相似多边形对应对角线的比等于相似比，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
