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三、解答题(本大题共8小题,共90分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16. (10分)(1)计算: $2^{-1} - \sqrt[3]{-8} + \sqrt{3} \cos 30°$.
(2)求不等式组 $\begin{cases} 2x + 1 ＞ 3(x - 1) \\ \dfrac{2 - x}{2} ＜ x + 4 \end{cases}$ 的正整数解.
16. (10分)(1)计算: $2^{-1} - \sqrt[3]{-8} + \sqrt{3} \cos 30°$.
(2)求不等式组 $\begin{cases} 2x + 1 ＞ 3(x - 1) \\ \dfrac{2 - x}{2} ＜ x + 4 \end{cases}$ 的正整数解.
答案
16. 解:(1)原式=$\frac{1}{2}-(-2)+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}+2+\frac{3}{2}=4$.
(2)$\begin{cases} 2x + 1 ＞ 3(x - 1) \ \ ① \\ \dfrac{2 - x}{2} ＜ x + 4 \ \ ② \end{cases}$ ,解不等式①,得$x＜4$.
解不等式②,得$x＞-2$,$∴$不等式组的解集为$-2＜x＜4$,$∴$不等式组的正整数解为1,2,3.
(2)$\begin{cases} 2x + 1 ＞ 3(x - 1) \ \ ① \\ \dfrac{2 - x}{2} ＜ x + 4 \ \ ② \end{cases}$ ,解不等式①,得$x＜4$.
解不等式②,得$x＞-2$,$∴$不等式组的解集为$-2＜x＜4$,$∴$不等式组的正整数解为1,2,3.
17.(12分)(1)先化简,再求值:$(2x+1)(2x-1)+x(3-4x)$,其中$x=\frac{1}{3}$.
(2)列方程组解古算题:“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金八两.牛、羊各直金几何?”题目大意是:5头牛、2只羊共价值10两“金”.2头牛、5只羊共价值8两“金”.每头牛、每只羊各价值多少两“金”?
(2)列方程组解古算题:“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金八两.牛、羊各直金几何?”题目大意是:5头牛、2只羊共价值10两“金”.2头牛、5只羊共价值8两“金”.每头牛、每只羊各价值多少两“金”?
答案
17. 解:(1)原式=$4x^2-1+3x-4x^2=3x-1$.当$x=\frac{1}{3}$时,原式=$3×\frac{1}{3}-1=1-1=0$. (2)设每头牛价值$x$两“金”,每只羊价值$y$两“金”.由题意,得$\begin{cases}5x+2y=10\\2x+5y=8\end{cases}$,解得$\begin{cases}x=\frac{34}{21}\\y=\frac{20}{21}\end{cases}$,$∴$每头牛价值$\frac{34}{21}$两“金”,每只羊价值$\frac{20}{21}$两“金”.
18.(10分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点E,点F在BC的延长线上,且CF=BC,连接DF,点G是DF的中点,连接CG.
(1)求证:CG⊥DF.
(2)求证:四边形ECGD是矩形.
(1)求证:CG⊥DF.
(2)求证:四边形ECGD是矩形.
答案
18. 证明:(1)$∵$四边形ABCD是菱形,$∴AC⊥BD$,$AD=BC$,$AD// BC$,即$AD// CF$. $∵CF=BC$,$∴CF=AD$,$∴$四边形ACFD是平行四边形,$∴AC// DF$,$∴BD⊥DF$. $∵CF=BC$,点G是DF的中点,$∴CG$是$△DBF$的中位线,$∴CG// BD$,$∴CG⊥DF$. (2)$∵$四边形ABCD是菱形,$∴AC⊥BD$,$∴∠DEC=90°$. $∵BD⊥DF$,$CG⊥DF$,$∴∠EDG=∠CGD=90°$,$∴$四边形ECGD是矩形.
19.(10分)为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情,某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动.为了解活动效果,从七、八年级学生的知识问答成绩中,各随机抽取12名学生的成绩(单位:分)进行统计整理.下面给出了部分信息:
七年级:60,70,70,80,87,89,91,94,95,97,99,100;
八年级:70,77,79,81,88,89,91,92,93,93,95,96.
a.抽取的七、八年级学生成绩不完整统计表如下.(单位:分)
|年级|平均数|众数|方差|最小值|四分位数||||最大值|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
| | | | | |$m_{25}$|$m_{50}$|$m_{75}$| |
|七年级|86|②|157.5|
|③|④|96|100|
|八年级|①|93|61|70|80|90|⑤|96|
b.抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如图
.
根据以上信息回答下列问题:
(1)统计表中①处应填,②处应填,③处应填,④处应填,⑤处应填.
(2)请补全七、八年级箱线图.
(3)基于上述材料分析,可以发现年级学生成绩稳定.
(4)若该校八年级有600名学生参与了此次活动,请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数.
七年级:60,70,70,80,87,89,91,94,95,97,99,100;
八年级:70,77,79,81,88,89,91,92,93,93,95,96.
a.抽取的七、八年级学生成绩不完整统计表如下.(单位:分)
|年级|平均数|众数|方差|最小值|四分位数||||最大值|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
| | | | | |$m_{25}$|$m_{50}$|$m_{75}$| |
|七年级|86|②|157.5|
|③|④|96|100||八年级|①|93|61|70|80|90|⑤|96|
b.抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如图
.根据以上信息回答下列问题:
(1)统计表中①处应填,②处应填,③处应填,④处应填,⑤处应填.
(2)请补全七、八年级箱线图.
(3)基于上述材料分析,可以发现年级学生成绩稳定.
(4)若该校八年级有600名学生参与了此次活动,请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数.
答案
19. 解:(1)87 70 75 90 93
(2)如图所示：
(3)八
(4)$∵$八年级抽取的12名学生中,成绩超过94分的有95分,96分,共2人,$∴$根据样本估计总体,该校八年级600名学生中成绩超过94分的人数为$600×\frac{1}{6}=100$(人).
20. (10分)火灾是常见多发、威胁公众安全和社会发展的灾害之一，消防车是消防救援的主要装备.如图是某种消防车云梯的侧面示意图，点$D,B,O$在同一直线上，$DO$可绕着点$O$旋转，$AB$为云梯的液压杆，点$O,A,C$在同一水平线上，其中$BD$可伸缩，套管$OB$的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆$AB=3\ \mathrm{m}$，$∠ BAC=53°$，$∠ DOC=37°$.
(1)求$OB$的长.
(2)消防人员在云梯末端点$D$高空作业时，将$BD$伸长到最大长度$6\ \mathrm{m}$，云梯$DO$绕点$O$顺时针旋转一定角度，消防人员发现铅直高度升高了$3\ \mathrm{m}$，求云梯$OD$大约旋转了多少度？(参考数据：$\sin 37°\approx \frac{3}{5}$，$\tan 37°\approx \frac{3}{4}$，$\sin 53°\approx \frac{4}{5}$，$\tan 53°\approx \frac{4}{3}$，$\sin 64°\approx 0.90$，$\cos 64°\approx 0.44$)
(1)求$OB$的长.
(2)消防人员在云梯末端点$D$高空作业时，将$BD$伸长到最大长度$6\ \mathrm{m}$，云梯$DO$绕点$O$顺时针旋转一定角度，消防人员发现铅直高度升高了$3\ \mathrm{m}$，求云梯$OD$大约旋转了多少度？(参考数据：$\sin 37°\approx \frac{3}{5}$，$\tan 37°\approx \frac{3}{4}$，$\sin 53°\approx \frac{4}{5}$，$\tan 53°\approx \frac{4}{3}$，$\sin 64°\approx 0.90$，$\cos 64°\approx 0.44$)
答案
解:(1)如图,过点B作$BE⊥OC$于点E.在$\mathrm{Rt}△ABE$中,$∠BAC=53°$,$AB=3\ \mathrm{m}$,$∴BE=AB·\sin∠BAE=3×\sin 53°≈3×\frac{4}{5}=\frac{12}{5}(\mathrm{m})$.
在$\mathrm{Rt}△BOE$中,$∠BOE=37°$,$BE=\frac{12}{5}\ \mathrm{m}$,$∴OB=\frac{BE}{\sin∠BOE}≈\frac{\frac{12}{5}}{\frac{3}{5}}=4(\mathrm{m})$. (2)如图,过点D作$DF⊥OC$于点F,旋转后点D的对应点为$D'$,过点$D'$作$D'G⊥OC$于点G,过点D作$DH⊥D'G$于点H.在$\mathrm{Rt}△FOD$中,$OD=OB+BD=4+6=10(\mathrm{m})$,$∠DOF=37°$,$∴DF=OD·\sin 37°≈10×\frac{3}{5}=6(\mathrm{m})$,$∴D'G=D'H+HG=3+6=9(\mathrm{m})$.在$\mathrm{Rt}△D'OG$中,$OD'=10\ \mathrm{m}$,$D'G=9\ \mathrm{m}$,$∴\sin∠D'OG=\frac{D'G}{D'O}=\frac{9}{10}$,$∴∠D'OG≈64°$,$∴∠D'OD=64°-37°=27°$,即云梯OD大约旋转了$27°$.
