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21.(12分)如图，AB，CD是$\odot O$中的弦(点C异于点A)，连接AD，$AB=BC$，$∠ BAD=90°$，点E为CD上一点，连接EB，且$BE// AD$，点F是DC延长线上的一点，使得$EF=BE$，连接BF，AF，AF交BE于点G.
(1)求证:BF是$\odot O$的切线.
(2)若$AB=4$，$DF=10$，求$\tan∠ AFB$的值.
(1)求证:BF是$\odot O$的切线.
(2)若$AB=4$，$DF=10$，求$\tan∠ AFB$的值.
答案
(1)证明:连接BD,如图所示. $∵∠BAD=90°$,$∴BD$为$\odot O$的直径,即BD经过点O. $∵\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,$∴∠ADB=∠EDB$. $∵BE// AD$,$∴∠EBD=∠ADB$,$∴∠EDB=∠EBD$. $∵EF=BE$,$∴∠EBF=∠EFB$,$∴∠DBF=∠EBD+∠EBF=∠EDB+∠EFB$. $∵∠EDB+∠EFB+∠DBF=180°$,$∴2∠DBF=180°$,$∴∠DBF=90°$,即$BF⊥BD$. $∵BD$为$\odot O$的直径,$∴BF$是$\odot O$的切线. (2)解:设BD交AF于点K,连接AC交BD于点H,连接BC,如图所示. $∵∠EDB=∠EBD$,$∴EB=ED$. $∵EF=BE$,$∴EB=ED=EF$. $∵DF=10$,$∴EB=ED=EF=\frac{1}{2}DF=5$. $∵\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,$AB=4$,$∴BC=AB=4$,$AC⊥BD$,$AH=CH$. $∵BD$为$\odot O$的直径,$∴∠BCD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△BCE$中,由勾股定理,得$CE=\sqrt{BE^2-BC^2}=3$,$∴CD=ED+CE=8$,$FC=EF-CE=2$.在$\mathrm{Rt}△BCD$中,由勾股定理,得$BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=4\sqrt{5}$.在$\mathrm{Rt}△BFC$中,由勾股定理,得$BF=\sqrt{FC^2+BC^2}=2\sqrt{5}$. $∵BF⊥BD$,$AC⊥BD$,$∴BF// AC$,$∴△DCH∽△DFB$,$∴CH:BF=DH:BD=DC:DF$,即$CH:2\sqrt{5}=DH:4\sqrt{5}=8:10$,$∴CH=\frac{8\sqrt{5}}{5}$,$DH=\frac{16\sqrt{5}}{5}$,$∴BH=BD-DH=4\sqrt{5}-\frac{16\sqrt{5}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$,$AH=CH=\frac{8\sqrt{5}}{5}$. $∵BF// AC$,$∴△FBK∽△AHK$,$∴BK:KH=BF:AH$,即$BK:KH=2\sqrt{5}:\frac{8\sqrt{5}}{5}$,$∴4BK=5KH$. $∵KH=BH-BK=\frac{4\sqrt{5}}{5}-BK$,$∴4BK=5(\frac{4\sqrt{5}}{5}-BK)$,$∴BK=\frac{4\sqrt{5}}{9}$.在$\mathrm{Rt}△FBK$中,$\tan∠AFB=\frac{BK}{BF}=\frac{2}{9}$.
22. (12分)【生活观察】小明通过观察发现,将运动中的羽毛球看成一个点,扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线,如图①和图②所示.
【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为直线,网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛球运动轨迹的剖面如图③所示,从A点击球,击球点是抛物线的最高点,点A到地面的距离$AO=2.4\ \mathrm{m}$,球网上端点B到地面的距离$BC=1.55\ \mathrm{m}$,人与球网之间的距离$OC=1.6\ \mathrm{m}$,假设两种击球路线都经过点B正上方0.05 m处的点D,网前吊球和扣杀球的落点分别为点E,F.
(1)请在图③中建立合适的平面直角坐标系,并分别求出两种击球路线的函数解析式.
【模型应用】
(2)网前吊球的落点到球网的距离$CE$的长是
(3)甲在A处击球,扣杀球时,羽毛球的平均速度约为$36\ \mathrm{m/s}$,网前吊球时,羽毛球下降的高度$h$(单位:$\mathrm{m}$)与时间$t$(单位:$\mathrm{s}$)之间的关系式为$h=5t^2$.乙在看到甲击球的同时尝试接球,从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要$0.5\ \mathrm{s}$.请通过计算说明,乙能接到哪种方式的击球.
【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为直线,网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛球运动轨迹的剖面如图③所示,从A点击球,击球点是抛物线的最高点,点A到地面的距离$AO=2.4\ \mathrm{m}$,球网上端点B到地面的距离$BC=1.55\ \mathrm{m}$,人与球网之间的距离$OC=1.6\ \mathrm{m}$,假设两种击球路线都经过点B正上方0.05 m处的点D,网前吊球和扣杀球的落点分别为点E,F.
(1)请在图③中建立合适的平面直角坐标系,并分别求出两种击球路线的函数解析式.
【模型应用】
(2)网前吊球的落点到球网的距离$CE$的长是
8√3/5 -1.6
m.(结果保留根号)(3)甲在A处击球,扣杀球时,羽毛球的平均速度约为$36\ \mathrm{m/s}$,网前吊球时,羽毛球下降的高度$h$(单位:$\mathrm{m}$)与时间$t$(单位:$\mathrm{s}$)之间的关系式为$h=5t^2$.乙在看到甲击球的同时尝试接球,从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要$0.5\ \mathrm{s}$.请通过计算说明,乙能接到哪种方式的击球.
答案
22. 解:(1)以O为坐标原点,OF所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则$A(0,2.4)$,$D(1.6,1.6)$.设直线AD的解析式为$y=kx+n$,$∴\begin{cases}n=2.4\\1.6k+n=1.6\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\n=2.4\end{cases}$$∴$扣杀球击球路线的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2.4$.设网前吊球击球路线的函数解析式为$y=ax^2+2.4$,$∴1.6=a×1.6^2+2.4$,解得$a=-\frac{5}{16}$,$∴$网前吊球击球路线的函数解析式为$y=-\frac{5}{16}x^2+2.4$. (2)$\frac{8\sqrt{3}}{5}-1.6$ (3)对于$y=-\frac{1}{2}x+2.4$,令$y=0$,则$-\frac{1}{2}x+2.4=0$,解得$x=4.8$,$∴F(4.8,0)$,$∴OF=4.8$,$∴AF=\sqrt{OF^2+OA^2}≈5.37\ \mathrm{m}$. $∵$扣杀球时,羽毛球的平均速度约为$36\ \mathrm{m/s}$,$∴\frac{5.37}{36}≈0.15(\mathrm{s})$. $∵0.15＜0.5$,$∴$乙不能接到扣杀球的击球. $∵$从A点击球,击球点是抛物线的最高点,$∴2.4=5t^2$. $∵t＞0$,$∴t≈0.69$. $∵0.69＞0.5$,$∴$乙能接到网前吊球的击球.
23.(14分)在四边形ABCD中,点E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G.
【问题初探】(1)如图①,若四边形ABCD是正方形,且$DE⊥CF$,求证:$DE=CF$.
【类比探究】(2)如图②,若四边形ABCD是矩形,$AD=2CD$,且$DE⊥CF$,猜想DE与CF的数量关系,并加以证明.
【迁移拓展】(3)如图③,若四边形ABCD是平行四边形,$AD=2CD$.当$∠B=∠EGF$时,第(2)问的结论是否依旧成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
【问题初探】(1)如图①,若四边形ABCD是正方形,且$DE⊥CF$,求证:$DE=CF$.
【类比探究】(2)如图②,若四边形ABCD是矩形,$AD=2CD$,且$DE⊥CF$,猜想DE与CF的数量关系,并加以证明.
【迁移拓展】(3)如图③,若四边形ABCD是平行四边形,$AD=2CD$.当$∠B=∠EGF$时,第(2)问的结论是否依旧成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
答案
(1)证明:$∵$四边形ABCD是正方形,且$DE⊥CF$,$∴∠A=∠ADC=90°$,$AD=DC$,$∠ADE+∠CFD=90°$,$∴∠ADE+∠AED=90°$,$∴∠AED=∠CFD$.在$△ADE$和$△DCF$中,$\begin{cases}∠A=∠FDC\\∠AED=∠DFC\\AD=DC\end{cases}$,$∴△ADE≌△DCF$(AAS),$∴DE=CF$. (2)解:$DE=2CF$.证明:$∵$四边形ABCD是矩形,$∴∠A=∠ADC=90°$. $∵DE⊥CF$,$∴∠ADE+∠CFD=∠DCF+∠CFD=90°$,$∴∠ADE=∠DCF$,$∴△ADE∽△DCF$,$∴\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}=\frac{2CD}{CD}=2$,$∴DE=2CF$. (3)解:当$∠B=∠EGF$时,$DE=2CF$成立.证明:如图,在AD的延长线上取点M,使$CM=CF$,$∴∠CMF=∠CFM$. $∵$四边形ABCD是平行四边形,$∴AB// CD$,$AD// BC$,$∴∠A=∠CDM$,$∠B+∠A=180°$. $∵∠B=∠EGF$,$∴∠EGF+∠A=180°$,$∴∠AED+∠AFG=180°$. $∵∠CFM+∠AFG=180°$,$∴∠AED=∠CFM=∠CMF$,$∴△ADE∽△DCM$,$∴\frac{DE}{CM}=\frac{AD}{DC}$,即$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}=\frac{2CD}{CD}=2$,$∴DE=2CF$.
