1 [2026 山东]如图，P 是抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的顶点，则下列结论正确的是（）

A.$2a+b=0$
B.$-\dfrac{3}{4}＜a＜-\dfrac{1}{2}$
C.对任意实数$t$，$at^2+bt＜4a+2b$总成立
D.若点$A(1-m,y_1)$，$B(1+m,y_2)$在抛物线上，则$y_1＜y_2$

1. B 【解析】由题图可知,抛物线开口向下,即$a＜0.∵$ 顶点 $P$ 的坐标为 $(2,3),\therefore$ 对称轴为直线 $x=2$, 即 $-\frac{b}{2a}=2$.$\therefore b=-4a$,即 $4a+b=0$,故 A 错误. 设抛物线对应的函数表达式为 $y=a(x-2)^2+3$,令 $x=0$,得 $y=4a+3$,即抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,4a+3)$. 由题图可知,抛物线与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴上方且在直线 $y=1$ 的下方, $\therefore 0＜4a+3＜1$,解得 $-\frac{3}{4}＜a＜-\frac{1}{2}$,故 B 正确. 根据题图,得当 $x=2$ 时, $y=ax^2+bx+c$ 取得最大值, 为 $y=4a+2b+c$, 对任意实数 $t,at^2+bt+c≤4a+2b+c,\therefore at^2+bt≤4a+2b$, 故 C 错误. $y_1-y_2=a(1-m-2)^2+3-[a(1+m-2)^2+3]=4ma$,$y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系与 $m$ 的取值有关,故 D 错误.

2 [2026 烟台]如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象与$x$轴交于点$A(1,0)$,与$y$轴的交点$C$位于点$(0,-2)$和点$(0,-3)$之间,顶点为$P$,对称轴为直线$x=2$.给出下列说法:① $abc＜0$;② $4a+b=0$;③ $-1＜a＜-\dfrac{2}{3}$;④ 设抛物线与$x$轴的另一个交点为$B$,当$∠ CPB=90°$时,$a=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.其中,正确的是 ()

A.②③④
B.②③
C.②④
D.①③④

2. A 【解析】$\because$ 二次函数图象开口向下, $\therefore a＜0. \because$ 对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=2＞0, \therefore b＞0. \because$ 二次函数的图象与 $y$ 轴的交点 $C$ 位于点 $(0,-2)$ 和点 $(0,-3)$ 之间, $\therefore c＜0. \therefore abc＞0$. 故①错误. $\because$ 对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=2, \therefore b=-4a. \therefore 4a+b=0$. 故②正确. $\because$ 二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A(1,0), \therefore a+b+c=0. \because b=-4a, \therefore a-4a+c=0. \therefore c=3a. \because$ 二次函数图象与 $y$ 轴的交点 $C$ 位于点 $(0,-2)$ 和点 $(0,-3)$ 之间, $\therefore -3＜3a＜-2. \therefore -1＜a＜-\frac{2}{3}$. 故③正确. $\because$ 二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A(1,0)$, 对称轴为直线 $x=2, \therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(3,0). \because c=3a, \therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(0,3a)$. 当 $x=2$ 时, $y=4a+2b+c$, 将 $c=3a,b=-4a$ 代入, 可得 $y=-a, \therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(2,-a). \therefore PC^2=4+16a^2,PB^2=1+a^2,BC^2=9+9a^2$. $\because ∠ CPB=90°, \therefore PC^2+PB^2=BC^2$, 即 $4+16a^2+1+a^2=9+9a^2$, 解得 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $a=-\frac{\sqrt{2}}{2}. \because a＜0, \therefore a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 故④正确. 综上所述,正确的是②③④.

3 [2025 绥化]如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与x轴交于点A(3,0)，B(-1,0)，与y轴交于点C(0，m)，其中$ -4 ＜ m ＜ -3 $。给出下列结论：① $ a - c ＞ 0 $；② 方程 $ ax^2 + bx + c - 5 = 0 $ 没有实数根；③ $ -\dfrac{8}{3} ＜ b ＜ -2 $；④ $ \dfrac{a + b + c}{b - a} ＞ 0 $。其中，错误的有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

3. A 【解析】$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(3,0)$,$B(-1,0)$, 开口向上, $\therefore$ 顶点的横坐标为 $-\frac{b}{2a}=\frac{3-1}{2}=1$,$a＞0. \therefore b=-2a$. 当 $x=-1$ 时, $y=a-b+c=0, \therefore a-(-2a)+c=0$, 即 $3a+c=0. \therefore c=-3a. \therefore a-c=a-(-3a)=4a＞0$. 故①正确. $\because$ 抛物线开口向上, 对称轴为直线 $x=1, \therefore$ 当 $x=1$ 时, 函数取得最小值, 最小值小于 $0. \therefore$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与直线 $y=5$ 有两个不同的交点. $\therefore$ 方程 $ax^2+bx+c-5=0$ 有两个不相等的实数根. 故②错误. $\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与 $y$ 轴交于点 $C(0,m)$, 其中 $-4＜m＜-3, \therefore$ 当 $x=0$ 时, $y=c=m. \therefore -4＜c＜-3. \because c=-3a,b=-2a, \therefore c=\frac{3}{2}b. \therefore -4＜\frac{3}{2}b＜-3$, 解得 $-\frac{8}{3}＜b＜-2$. 故③正确. $\because$ 当 $x=1$ 时, 函数取得最小值, 最小值为 $y=a+b+c＜0$,$b=-2a, \therefore b-a=-2a-a=-3a＜0. \therefore \frac{a+b+c}{b-a}＞0$. 故④正确. 综上所述,错误的结论为②,有1个.

4 [2026 绥化]已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示，顶点坐标为$(-2,5)$，与$x$轴交于$A(m,0),B$两点，其中$2 ＜ m ＜ 3$。给出下列结论：① $ \frac{b}{ac} ＜ 0 $；② $ b + 4a = 0 $；③ $ a - b + 3c ＞ 0 $；④ $ -\frac{5}{16} ＜ a ＜ -\frac{1}{5} $；⑤ 方程 $ ax^2 + (b + k^2)x + c + k^2 = 0 $（$k$为常数）有实数根。其中，正确的有（）

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

4. B 【解析】$\because$ 抛物线开口向下, 顶点坐标为 $(-2,5)$, 与 $y$ 轴交于正半轴, $\therefore a＜0,-\frac{b}{2a}=-2,c＞0. \therefore b=4a＜0$. $\therefore \frac{b}{ac}＞0$. 故①错误. $\because b=4a, \therefore b-4a=0$. 故②错误. $\because a＜0,c＞0, \therefore c-a＞0. \therefore a-b+3c=a-4a+3c=3(c-a)＞0$. 故③正确. $\because$ 抛物线的顶点坐标为 $(-2,5), \therefore$ 当 $x=-2$ 时, $y=4a-2b+c=5$, 即 $4a-2×4a+c=5. \therefore c=4a+5$. 由题图可得, 当 $x=2$ 时, $y＞0$, 即 $4a+2b+c＞0, \therefore 4a+8a+4a+5＞0. \therefore a＞-\frac{5}{16}$. 由题图可得, 当 $x=3$ 时, $y＜0$, 即 $9a+3b+c＜0, \therefore 9a+12a+4a+5＜0. \therefore a＜-\frac{1}{5}. \therefore -\frac{5}{16}＜a＜-\frac{1}{5}$. 故④正确. $\because$ 方程 $ax^2+(b+k^2)x+c+k^2=0$ 可化为 $ax^2+bx+c=-k^2x-k^2, \therefore$ 该方程的解为抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与直线 $y=-k^2x-k^2$ 的交点的横坐标. $\because$ 直线 $y=-k^2x-k^2=-k^2(x+1)$ 过定点 $(-1,0)$, 且过第二、三、四象限, $\therefore$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与直线 $y=-k^2x-k^2$ 必有交点. $\therefore$ 方程 $ax^2+(b+k^2)x+c+k^2=0$($k$ 为常数)有实数根. 故⑤正确. 综上所述,正确的结论是③④⑤,共3个.

5 [2026 遂宁]如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）与$x$轴两个交点的坐标分别为$(-1,0),(m,0)$，且$2＜m＜3$。给出下列结论：①$abc＞0$；②$3a+c＜0$；③$-4a＜y_{\mathrm{最小值}}＜-\dfrac{9a}{4}$；
④ 若方程$ax^2+bx+c+\dfrac{1}{2}=0$有实数根，则$b^2-4ac＞a$。其中，正确的为（）

A.①④
B.②③
C.①②④
D.①③④

5. D 【解析】① $\because$ 抛物线开口向上, $\therefore a＞0. \because$ 抛物线与 $x$ 轴两个交点的坐标分别为 $(-1,0),(m,0), \therefore$ 对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=\frac{-1+m}{2},a-b+c=0,y=a(x+1)(x-m)=ax^2+a(1-m)x-am. \therefore b=a(1-m),c=-am. \because 2＜m＜3, \therefore \frac{1}{2}＜\frac{-1+m}{2}＜1. \therefore$ 对称轴在 $y$ 轴右侧. $\therefore x=-\frac{b}{2a}＞0. \therefore b＜0. \because$ 抛物线与 $y$ 轴交于负半轴, $\therefore c＜0. \therefore abc＞0$. 故①正确. ② $\because a＞0,2＜m＜3, \therefore 3a+c=a(3-m)＞0$. 故②错误. ③ 当 $x=\frac{-1+m}{2}$ 时, 抛物线对应的二次函数有最小值, $y_{\mathrm{最小值}}=a(\frac{-1+m}{2}+1)(\frac{-1+m}{2}-m)=-\frac{1}{4}a(m+1)^2, \because 2＜m＜3,-\frac{1}{4}a＜0, \therefore$ 当 $2＜m＜3$ 时, $y_{\mathrm{最小值}}=-\frac{1}{4}a(m+1)^2$ 随 $m$ 的增大而减小. 当 $m=2$ 时, $y_{\mathrm{最小值}}=-\frac{9}{4}a$; 当 $m=3$ 时, $y_{\mathrm{最小值}}=-4a. \therefore -4a＜y_{\mathrm{最小值}}＜-\frac{9a}{4}$. 故③正确. ④ $\because$ 方程 $ax^2+bx+c+\frac{1}{2}=0$ 有实数根, $\therefore \Delta=b^2-4a(c+\frac{1}{2})\ge0$, 即 $b^2-4ac-2a\ge0. \therefore b^2-4ac\ge2a. \because a＞0, \therefore 2a＞a. \therefore b^2-4ac＞a$. 故④正确. 综上所述,正确的结论是①③④.