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8 在二次函数$y=ax^2+bx+c$中，函数$y$与自变量$x$的部分对应值如下表：
则当$y＜5$时，$x$的取值范围是
则当$y＜5$时，$x$的取值范围是
$0＜x＜4$
。答案
8. $0＜x＜4$
9 [2025广安]如图，二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数，$a≠0)$的图象交$x$轴于$A,B$两点，点$A$的坐标是$(-1,0)$，点$B$的坐标是$(n,0)$。给出下列结论：①$abc＜0$；②$4a+c＞2b$；③关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=-1,x_2=n$；④$-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$。其中，正确的是
(第9题)
①③④
(填序号)。 (第9题)答案
9. ①③④ 【解析】由题图,得抛物线的开口向下,交y轴于正半轴,
∴ a＜0,c＞0.
∵ 抛物线的对称轴在y轴右侧,
∴ $-\frac{b}{2a}＞0$.
∴ $b＞0$.
∴ $abc＜0$. 故①正确. 由题图,得当$x=-2$时,$y＜0$,即$4a-2b+c＜0$,即$4a+c＜2b$,故②错误.
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象交$x$轴于A,B两点,点A(-1,0),点B(n,0),
∴ 关于x的方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=-1,x_2=n$.
∴ $-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$. 故③④正确.综上所述,正确的是①③④.
∴ a＜0,c＞0.
∵ 抛物线的对称轴在y轴右侧,
∴ $-\frac{b}{2a}＞0$.
∴ $b＞0$.
∴ $abc＜0$. 故①正确. 由题图,得当$x=-2$时,$y＜0$,即$4a-2b+c＜0$,即$4a+c＜2b$,故②错误.
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象交$x$轴于A,B两点,点A(-1,0),点B(n,0),
∴ 关于x的方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=-1,x_2=n$.
∴ $-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$. 故③④正确.综上所述,正确的是①③④.
10 二次函数 $y=x^2+x$ 的图象如图所示.
(1) 根据方程的根与函数图象和 $x$ 轴的交点之间的关系,将方程 $x^2+x=1$ 的根在图上近似地表示出来(描点),并观察图象,写出方程 $x^2+x=1$ 的根的近似值(精确到0.1);
(2) 在同一平面直角坐标系中画出一次函数 $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ 的图象,观察图象,写出自变量 $x$ 的取值在什么范围内时,一次函数的值小于二次函数的值.
(1) 根据方程的根与函数图象和 $x$ 轴的交点之间的关系,将方程 $x^2+x=1$ 的根在图上近似地表示出来(描点),并观察图象,写出方程 $x^2+x=1$ 的根的近似值(精确到0.1);
(2) 在同一平面直角坐标系中画出一次函数 $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ 的图象,观察图象,写出自变量 $x$ 的取值在什么范围内时,一次函数的值小于二次函数的值.
答案
10. (1) 如图所示
方程$x^2+x=1$的根的近似值为$x_1≈-1.6$,$x_2≈0.6$ (2) 如图所示 由图象,可知当$x＜-1.5$或$x＞1$时,一次函数的值小于二次函数的值11 新考向 代数推理题 [2026云南]已知$m≠0$，$S = m^4 + m + \frac{192}{m^2} - \frac{4}{m} - 118$。某二次函数表示的图象为抛物线$M$，抛物线$M$经过$A(-10,0)$，$B(2m^2 -4m,0)$两点，函数$y=(2x+4)(3x-24)$表示的图象为抛物线$T$。$x$轴上有这样的点，它既在抛物线$M$上，又在抛物线$T$上。
(1) 求抛物线$T$与$x$轴的公共点的坐标；
(2) 比较$S$与$\sqrt{145}$的大小。
(1) 求抛物线$T$与$x$轴的公共点的坐标；
(2) 比较$S$与$\sqrt{145}$的大小。
答案
11. (1) 令$y=(2x+4)(3x-24)=0$,解得$x_1=-2,x_2=8$,
∴ 抛物线$T$与$x$轴的公共点的坐标为$(-2,0),(8,0)$ (2) 由(1),知抛物线$T$与$x$轴的公共点的坐标为$(-2,0),(8,0)$,
∵ 抛物线$M$经过$A(-10,0),B(2m^2-4m,0)$两点,$x$轴上有这样的点,它既在抛物线$M$上,又在抛物线$T$上,
∴ $2m^2-4m=-2$或$2m^2-4m=8$. ① 当$2m^2-4m=-2$时,整理,得$(m-1)^2=0$,解得$m_1=m_2=1$,将$m=1$代入$S$,得$S=1^4+1+\frac{192}{1^2}-\frac{4}{1}-118=72$.
∵ $72^2=5184＞145$,
∴ $72＞\sqrt{145}$,即$S＞\sqrt{145}$. ② 当$2m^2-4m=8$时,整理,得$m^2-2m-4=0$,解得$m=1±\sqrt{5}$,
∴ $m^2-2m=4$,两边除以$m$,得$\frac{4}{m}=m-2$.
∴ $m^4=(m^2)^2=(2m+4)^2=4m^2+16m+16=4×(2m+4)+16m+16=24m+32$,$\frac{192}{m^2}=\frac{192}{2m+4}=\frac{96}{m+2}$.
∵ $m^2-2m-4=0$,
∴ $m^2-4=2m$.
∴ $(m-2)(m+2)=2m$.
∴ $m+2=\frac{2m}{m-2}$.
∴ $\frac{96}{m+2}=\frac{96(m-2)}{2m}=48-\frac{96}{m}=48-24·\frac{4}{m}=48-24(m-2)=96-24m$.
∴ $S=(24m+32)+m+(96-24m)-(m-2)-118=12$,又$12^2=144＜145$,
∴ $12＜\sqrt{145}$,即$S＜\sqrt{145}$. 综上所述,当$m=1$时,$S＞\sqrt{145}$;当$m=1±\sqrt{5}$时,$S＜\sqrt{145}$
∴ 抛物线$T$与$x$轴的公共点的坐标为$(-2,0),(8,0)$ (2) 由(1),知抛物线$T$与$x$轴的公共点的坐标为$(-2,0),(8,0)$,
∵ 抛物线$M$经过$A(-10,0),B(2m^2-4m,0)$两点,$x$轴上有这样的点,它既在抛物线$M$上,又在抛物线$T$上,
∴ $2m^2-4m=-2$或$2m^2-4m=8$. ① 当$2m^2-4m=-2$时,整理,得$(m-1)^2=0$,解得$m_1=m_2=1$,将$m=1$代入$S$,得$S=1^4+1+\frac{192}{1^2}-\frac{4}{1}-118=72$.
∵ $72^2=5184＞145$,
∴ $72＞\sqrt{145}$,即$S＞\sqrt{145}$. ② 当$2m^2-4m=8$时,整理,得$m^2-2m-4=0$,解得$m=1±\sqrt{5}$,
∴ $m^2-2m=4$,两边除以$m$,得$\frac{4}{m}=m-2$.
∴ $m^4=(m^2)^2=(2m+4)^2=4m^2+16m+16=4×(2m+4)+16m+16=24m+32$,$\frac{192}{m^2}=\frac{192}{2m+4}=\frac{96}{m+2}$.
∵ $m^2-2m-4=0$,
∴ $m^2-4=2m$.
∴ $(m-2)(m+2)=2m$.
∴ $m+2=\frac{2m}{m-2}$.
∴ $\frac{96}{m+2}=\frac{96(m-2)}{2m}=48-\frac{96}{m}=48-24·\frac{4}{m}=48-24(m-2)=96-24m$.
∴ $S=(24m+32)+m+(96-24m)-(m-2)-118=12$,又$12^2=144＜145$,
∴ $12＜\sqrt{145}$,即$S＜\sqrt{145}$. 综上所述,当$m=1$时,$S＞\sqrt{145}$;当$m=1±\sqrt{5}$时,$S＜\sqrt{145}$
