【例1】如图，PA，PB是$\odot O$的切线，CD切$\odot O$于点E，$PA=6$，$∠ APB=60°$.求：
(1)$△ PDC$的周长.
(2)$\odot O$的半径.
(3)$∠ COD$的度数.

能力点二 利用切线进行证明
(1)证明圆的切线时，常常采用“遇半径，证直角”或“遇直角，证半径”的策略解题.
(2)在证明角或线段的关系时，一般要用到切线的性质或切线长定理进行角度或线段的转化，有时还会结合三角形全等、等腰三角形的性质等知识进行转化.

解：
(1) 根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等：
已知$PA$、$PB$是$\odot O$的切线，故$PA=PB=6$；
$CD$切$\odot O$于$E$，$CA$切$\odot O$于$A$，$DB$切$\odot O$于$B$，因此$CA=CE$，$DE=DB$。
$△ PDC$的周长为：
$C_{△ PDC}=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=6+6=12$
(2) 连接$OP$、$OA$，
因为$PA$是$\odot O$的切线，所以$OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
根据切线长定理，$OP$平分$∠ APB$，已知$∠ APB=60°$，因此$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAP$中，$PA=6$，$\tan∠ APO=\frac{OA}{PA}$，即：
$OA=PA·\tan30°=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$
即$\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$。
(3) 连接$OE$，
由切线的性质可知$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，$OE⊥ CD$，根据切线长定理可得$OA=OE=OB$，$CA=CE$，$DB=DE$，因此$OC$平分$∠ AOE$，$OD$平分$∠ BOE$，即：
$∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOE,\quad ∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOE$
在四边形$OAPB$中，内角和为$360°$，$∠ OAP=∠ OBP=90°$，$∠ APB=60°$，因此：
$∠ AOB=360°-90°-90°-60°=120°$
则$∠ COD=∠ COE+∠ DOE=\frac{1}{2}(∠ AOE+∠ BOE)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$
综上，(1)$△ PDC$的周长为$\boldsymbol{12}$；(2)$\odot O$的半径为$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$；(3)$∠ COD$的度数为$\boldsymbol{60°}$。

【例2】如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点A,与大圆相交于点B,小圆的切线AC与大圆相交于点D,CO平分∠ACB.
(1)求证:直线BC是小圆的切线.
(2)求证:AC+AD=BC.
(3)若AB=8 cm,BC=10 cm,求大圆与小圆形成的圆环的面积.

(1) 证明:如图,作$OE⊥BC$于点E.
因为CA是$\odot O$的切线,
所以$OA⊥CA$.
因为CO平分$∠ACB$,所以$OE=OA$.
因为点A在小圆上,
所以点E也在小圆上,
所以BC是小圆的切线.

(2) 证明:如图,连接OD.
因为AC,BC都是小圆的切线,
所以$AC=CE$.
在$\mathrm{Rt}△AOD$与$\mathrm{Rt}△EOB$中,
因为$\begin{cases} OA=OE, \\ OD=OB, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△AOD≌\mathrm{Rt}△EOB(\mathrm{HL})$,
所以$AD=BE$,
所以$AC+AD=CE+BE=BC$.
(3) 解:由(2)可得$BE=AD=BC-AC=10-\sqrt{BC^2-AB^2}=10-6=4(\mathrm{cm})$,
所以$S_{\mathrm{圆环}}=S_{\mathrm{大圆}}-S_{\mathrm{小圆}}$
$=π(OB^2-OE^2)$
$=π·BE^2$
$=16π(\mathrm{cm}^2)$.