1.我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在$\odot O$上任取点$A$，从点$A$开始，以$\odot O$的半径为半径，在$\odot O$上依次截取点$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，从而点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$把$\odot O$六等分.下列可以只用圆规将圆等分的是（）
①二等分；②三等分；③四等分.

A.②
B.①②
C.①③
D.①②③

1. D

2.(跨学科融合)苯(分子式为$\ce{C6H6}$)的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的,随着研究的不断深入,发现如图①的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构,其示意图如图②,点O为正六边形ABCDEF的中心.若CD=1,则正六边形的面积为 ()


A.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{4}$

2. A

3.如图,正方形ABCD内接于⊙O,其边长为4,则⊙O的内接正三角形EFG的边长为（）

A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{6}$

3. D

4.如图，五边形ABCDE是$\odot O$的内接正五边形，AF是$\odot O$的直径，BD与AF交于点G，则$∠ DGF$的度数是。

4. 54°

5.如图，已知$\odot O$.
(1)求作$\odot O$的内接正方形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).
(2)若$\odot O$的半径为2，求它的内接正方形的边长.

5. 解:(1)如图所示，正方形ABCD即为所求作的图形.
(2)因为$\odot O$的半径为2，四边形ABCD是正方形，所以$AC ⊥ BD$，$OA=OB=2$，
所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.
故$\odot O$的内接正方形的边长为$2\sqrt{2}$.

6.一个上、下底面为全等正六边形的礼盒，高为10 cm，上、下底面正六边形的边长均为12 cm.如果用彩色胶带按如图所示的方式包扎礼盒，所需胶带的长度至少为多少米？（接头处忽略不计）

6. 解:上、下底面的正六边形示意图如图所示，O为中心，连接OA，OB，作$OC ⊥ AB$于点C.
胶带包括上、下底面各3段，侧面6段，上、下底面中每段胶带的长度至少都等于图中OC长度的2倍.
由该六边形是正六边形，易得$OB=AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，由勾股定理，得$OC=\sqrt{OB^2-BC^2}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，从而可得上、下底面中每段胶带的长至少为$12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，进而可得所需胶带的长度至少为$6 × 12\sqrt{3} + 6 × 10=(72\sqrt{3}+60)\ \mathrm{cm}$.