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1.将一元二次方程$3x^2 + 2 = x$化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（
A.3,2
B.3,1
C.3,-1
D.2,-1
C
）。A.3,2
B.3,1
C.3,-1
D.2,-1
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时首先要把给定的方程通过移项整理成一般形式，移项过程中注意变号规则，整理完成后对应提取二次项系数和一次项系数即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$）。
对给定方程$3x^2 + 2 = x$进行移项，将右侧的$x$移到左侧，移项要变号，可得：
$3x^2 - x + 2 = 0$
对比一般形式，二次项系数为3，一次项系数为-1，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程一般形式，移项法则
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查一元二次方程一般形式的识别，最容易出错的点是移项时忽略符号变化，误把一次项系数当成1，做题时需要先将方程整理为标准的一般形式，再对应确认各项系数，注意不要遗漏符号。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时首先要把给定的方程通过移项整理成一般形式，移项过程中注意变号规则，整理完成后对应提取二次项系数和一次项系数即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$）。
对给定方程$3x^2 + 2 = x$进行移项，将右侧的$x$移到左侧，移项要变号，可得：
$3x^2 - x + 2 = 0$
对比一般形式，二次项系数为3，一次项系数为-1，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程一般形式，移项法则
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查一元二次方程一般形式的识别，最容易出错的点是移项时忽略符号变化，误把一次项系数当成1，做题时需要先将方程整理为标准的一般形式，再对应确认各项系数，注意不要遗漏符号。
【难度系数】
0.8
2.关于$x$的一元二次方程$2x^2 - mx -6=0$有一个根是1，则另一个根是（
A.－3
B.3
C.2
D.－2
B
）.A.－3
B.3
C.2
D.－2
答案
2.B
3.方程$x^2 -3x +10=0$的根的情况是(
A.有两个相等的实数根
B.只有一个实数根
C.没有实数根
D.有两个不相等的实数根
C
).A.有两个相等的实数根
B.只有一个实数根
C.没有实数根
D.有两个不相等的实数根
答案
3.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$来判断。首先先从给定的一元二次方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入判别式公式计算$\Delta$的取值，最后根据$\Delta$的正负对应根的情况：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根，即可得出答案。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，
对于方程$x^2 -3x +10=0$，可得$a=1$，$b=-3$，$c=10$，
代入根的判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×10 = 9 - 40 = -31$，
因为$\Delta=-31＜0$，所以该方程没有实数根。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，重点考查根的判别式的应用，解题的关键是准确确定方程各项的系数，正确计算判别式的值，再结合判别式和根的对应关系判断即可。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，需使用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$来判断。首先先从给定的一元二次方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入判别式公式计算$\Delta$的取值，最后根据$\Delta$的正负对应根的情况：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根，即可得出答案。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，
对于方程$x^2 -3x +10=0$，可得$a=1$，$b=-3$，$c=10$，
代入根的判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×10 = 9 - 40 = -31$，
因为$\Delta=-31＜0$，所以该方程没有实数根。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，重点考查根的判别式的应用，解题的关键是准确确定方程各项的系数，正确计算判别式的值，再结合判别式和根的对应关系判断即可。
【难度系数】
0.9
4.某校去年对实验器材投资2万元，预计明年的投资金额为2.88万元，若设该校今明两年实验器材投资金额的平均增长率是$ x $，则可列方程为(
A.$ 2(1+x)^2 = 2.88 $
B.$ 2(1-x)^2 = 2.88 $
C.$ 2 + 2(1+x) + 2(1+x)^2 = 2.88 $
D.$ 2(1+x) + 2(1+x)^2 = 2.88 $
A
).A.$ 2(1+x)^2 = 2.88 $
B.$ 2(1-x)^2 = 2.88 $
C.$ 2 + 2(1+x) + 2(1+x)^2 = 2.88 $
D.$ 2(1+x) + 2(1+x)^2 = 2.88 $
答案
4.A
解析
【分析】
解决这道题的核心是掌握平均增长率问题的数量关系，首先明确时间节点：去年的投资金额是增长的基期量，今明两年按相同的平均增长率x增长，我们需要找到“去年投资金额”和“明年投资金额”之间的等量关系。首先先计算今年的投资金额：在去年2万元的基础上增长x，今年金额为2(1+x)；明年是在今年的金额基础上再增长x，因此再乘(1+x)即可得到明年的金额，结合题目给出的明年投资2.88万元即可列出方程。
【解析】
已知去年实验器材投资为2万元，今明两年的平均增长率为x。
第一步：计算今年的投资金额：
今年投资金额 = 去年投资金额×(1+增长率) = $2(1+x)$ 万元
第二步：计算明年的投资金额：
明年投资金额 = 今年投资金额×(1+增长率) = $2(1+x) × (1+x) = 2(1+x)^2$ 万元
第三步：根据题目给出的“明年投资金额为2.88万元”的条件，列方程得：
$2(1+x)^2 = 2.88$
因此对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是增长率类应用题的基础题型，解题的关键是明确增长的次数和对应的基期、末期数量，做题时要注意题干要求的是单一年份的投资额还是多年投资额的总和，避免误选求和类选项。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是掌握平均增长率问题的数量关系，首先明确时间节点：去年的投资金额是增长的基期量，今明两年按相同的平均增长率x增长，我们需要找到“去年投资金额”和“明年投资金额”之间的等量关系。首先先计算今年的投资金额：在去年2万元的基础上增长x，今年金额为2(1+x)；明年是在今年的金额基础上再增长x，因此再乘(1+x)即可得到明年的金额，结合题目给出的明年投资2.88万元即可列出方程。
【解析】
已知去年实验器材投资为2万元，今明两年的平均增长率为x。
第一步：计算今年的投资金额：
今年投资金额 = 去年投资金额×(1+增长率) = $2(1+x)$ 万元
第二步：计算明年的投资金额：
明年投资金额 = 今年投资金额×(1+增长率) = $2(1+x) × (1+x) = 2(1+x)^2$ 万元
第三步：根据题目给出的“明年投资金额为2.88万元”的条件，列方程得：
$2(1+x)^2 = 2.88$
因此对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是增长率类应用题的基础题型，解题的关键是明确增长的次数和对应的基期、末期数量，做题时要注意题干要求的是单一年份的投资额还是多年投资额的总和，避免误选求和类选项。
【难度系数】
0.8
5.按要求解方程.
(1) $x^2 - x - 1 = 0$(公式法).
(2) $x^2 + 2x - 2 = 0$(配方法).
(3) $1 - 4x + 16x^2 = 2 - 4x$(直接开平方法).
(4) $x^2 + 4x -5 =0$(因式分解法).
(1) $x^2 - x - 1 = 0$(公式法).
(2) $x^2 + 2x - 2 = 0$(配方法).
(3) $1 - 4x + 16x^2 = 2 - 4x$(直接开平方法).
(4) $x^2 + 4x -5 =0$(因式分解法).
答案
5.(1)$x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
(2)$x_1=-1-\sqrt{3},x_2=-1+\sqrt{3}$.
(3)$x_1=-\frac{1}{4},x_2=\frac{1}{4}$.
(4)$x_1=1,x_2=-5$.
(2)$x_1=-1-\sqrt{3},x_2=-1+\sqrt{3}$.
(3)$x_1=-\frac{1}{4},x_2=\frac{1}{4}$.
(4)$x_1=1,x_2=-5$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程四种指定解法的应用，解题思路如下：
1. 公式法：先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定$a、b、c$的值，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算即可。
2. 配方法：先将常数项移到方程右侧，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，再开平方求解。
3. 直接开平方法：先整理方程，消去同类项，将方程变形为$(mx+n)^2=p(p≥0)$的形式，再直接开平方转化为一元一次方程求解。
4. 因式分解法：将方程整理为右边为0的形式，把左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0，分别求解得到方程的根。
【解析】
(1) 公式法解$x^2 - x - 1 = 0$
这里$a=1，b=-1，c=-1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。
(2) 配方法解$x^2 + 2x - 2 = 0$
移项得$x^2+2x=2$，
配方，两边同时加1得$x^2+2x+1=2+1$，即$(x+1)^2=3$，
开平方得$x+1=\pm\sqrt{3}$，
解得$x=-1\pm\sqrt{3}$。
(3) 直接开平方法解$1 - 4x + 16x^2 = 2 - 4x$
两边同时加$4x$得$16x^2+1=2$，
移项化简得$16x^2=1$，即$(4x)^2=1$，
开平方得$4x=\pm1$，
解得$x=\pm\frac{1}{4}$。
(4) 因式分解法解$x^2 + 4x -5 =0$
用十字相乘法分解左边因式得$(x+5)(x-1)=0$，
则$x+5=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=1，x_2=-5$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
(2)$x_1=-1-\sqrt{3},x_2=-1+\sqrt{3}$
(3)$x_1=-\frac{1}{4},x_2=\frac{1}{4}$
(4)$x_1=1,x_2=-5$
【知识点】
一元二次方程解法、公式法、配方法
【点评】
本题侧重考查一元二次方程不同解法的规范使用，需严格按照对应解法的步骤运算，注意计算的准确性，熟练掌握各类解法的适用场景可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程四种指定解法的应用，解题思路如下：
1. 公式法：先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定$a、b、c$的值，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算即可。
2. 配方法：先将常数项移到方程右侧，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，再开平方求解。
3. 直接开平方法：先整理方程，消去同类项，将方程变形为$(mx+n)^2=p(p≥0)$的形式，再直接开平方转化为一元一次方程求解。
4. 因式分解法：将方程整理为右边为0的形式，把左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0，分别求解得到方程的根。
【解析】
(1) 公式法解$x^2 - x - 1 = 0$
这里$a=1，b=-1，c=-1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。
(2) 配方法解$x^2 + 2x - 2 = 0$
移项得$x^2+2x=2$，
配方，两边同时加1得$x^2+2x+1=2+1$，即$(x+1)^2=3$，
开平方得$x+1=\pm\sqrt{3}$，
解得$x=-1\pm\sqrt{3}$。
(3) 直接开平方法解$1 - 4x + 16x^2 = 2 - 4x$
两边同时加$4x$得$16x^2+1=2$，
移项化简得$16x^2=1$，即$(4x)^2=1$，
开平方得$4x=\pm1$，
解得$x=\pm\frac{1}{4}$。
(4) 因式分解法解$x^2 + 4x -5 =0$
用十字相乘法分解左边因式得$(x+5)(x-1)=0$，
则$x+5=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=1，x_2=-5$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
(2)$x_1=-1-\sqrt{3},x_2=-1+\sqrt{3}$
(3)$x_1=-\frac{1}{4},x_2=\frac{1}{4}$
(4)$x_1=1,x_2=-5$
【知识点】
一元二次方程解法、公式法、配方法
【点评】
本题侧重考查一元二次方程不同解法的规范使用，需严格按照对应解法的步骤运算，注意计算的准确性，熟练掌握各类解法的适用场景可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
6.若$m$，$n$是一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个实数根，则$n^2 - mn + m$的值是（
A.－3
B.4
C.5
D.7
D
）.A.－3
B.4
C.5
D.7
答案
6.D
解析
【分析】
本题要求关于一元二次方程两根的代数式的值，解题思路分为三步：首先利用一元二次方程根的定义，将$n^2$降次为一次式，简化所求代数式；再根据根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和、两根之积；最后将所求代数式整理为含两根和、两根积的形式，整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值，可减少计算量。
【解析】
∵m，n是一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个实数根，
①根据一元二次方程根的定义，将$x=n$代入方程得：$n^2 - n - 3 = 0$，即$n^2 = n + 3$；
②根据韦达定理，对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$m+n=-\frac{b}{a}=1$，两根之积$mn=\frac{c}{a}=-3$；
③将$n^2 = n + 3$代入所求代数式化简：
$n^2 - mn + m = (n+3) - mn + m = (m+n) - mn + 3$
④代入$m+n=1$，$mn=-3$计算：
原式$=1 - (-3) + 3 = 1 + 3 + 3 = 7$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的典型题型，核心技巧是利用根的定义降次、结合韦达定理整体代入求值，能有效规避直接求根的繁琐计算，熟练掌握根的定义和韦达定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题要求关于一元二次方程两根的代数式的值，解题思路分为三步：首先利用一元二次方程根的定义，将$n^2$降次为一次式，简化所求代数式；再根据根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和、两根之积；最后将所求代数式整理为含两根和、两根积的形式，整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值，可减少计算量。
【解析】
∵m，n是一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个实数根，
①根据一元二次方程根的定义，将$x=n$代入方程得：$n^2 - n - 3 = 0$，即$n^2 = n + 3$；
②根据韦达定理，对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$m+n=-\frac{b}{a}=1$，两根之积$mn=\frac{c}{a}=-3$；
③将$n^2 = n + 3$代入所求代数式化简：
$n^2 - mn + m = (n+3) - mn + m = (m+n) - mn + 3$
④代入$m+n=1$，$mn=-3$计算：
原式$=1 - (-3) + 3 = 1 + 3 + 3 = 7$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的典型题型，核心技巧是利用根的定义降次、结合韦达定理整体代入求值，能有效规避直接求根的繁琐计算，熟练掌握根的定义和韦达定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间比赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请
6
支球队参加比赛.答案
7.6
解析
【分析】
首先明确单循环赛制的规则：每两队之间仅比赛1场，无重复场次。若设邀请x支球队参赛，每支球队需要与其余(x-1)支球队各赛1场，但每场比赛由2支球队共同参与，因此总比赛场数需要去掉重复计算的部分，即总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合题目给出的总场数15场，列一元二次方程求解即可，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设应邀请x支球队参加比赛。
根据单循环赛制的总场数计算规则，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理方程得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
因为球队数量不能为负数，所以舍去$x=-5$，即$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环场数计算
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，核心是理解单循环赛制的场次计算逻辑，避免直接用$x(x-1)$作为总场数导致重复计算，求解方程后需结合实际场景对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
首先明确单循环赛制的规则：每两队之间仅比赛1场，无重复场次。若设邀请x支球队参赛，每支球队需要与其余(x-1)支球队各赛1场，但每场比赛由2支球队共同参与，因此总比赛场数需要去掉重复计算的部分，即总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合题目给出的总场数15场，列一元二次方程求解即可，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设应邀请x支球队参加比赛。
根据单循环赛制的总场数计算规则，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理方程得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
因为球队数量不能为负数，所以舍去$x=-5$，即$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环场数计算
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，核心是理解单循环赛制的场次计算逻辑，避免直接用$x(x-1)$作为总场数导致重复计算，求解方程后需结合实际场景对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
