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1.将一元二次方程$3x^2 + 2 = x$化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（
A.3,2
B.3,1
C.3,-1
D.2,-1
C
）。A.3,2
B.3,1
C.3,-1
D.2,-1
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元二次方程的一般形式规则，解题思路如下：第一步先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数；第二步将题目给出的方程通过移项整理为一般形式，移项时要注意符号变化；第三步对应匹配二次项、一次项的系数，选出正确选项即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
对原方程$3x^2 + 2 = x$移项，将等号右侧的$x$移到左侧，移项要变号，整理得：
$3x^2 - x + 2 = 0$
其中二次项为$3x^2$，系数是3；一次项为$-x$，系数是$-1$。
因此二次项系数和一次项系数分别为3、-1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的形式化简与系数判断，解题的易错点是移项时忽略符号变化，导致一次项系数符号判断错误。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先要明确一元二次方程的一般形式规则，解题思路如下：第一步先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数；第二步将题目给出的方程通过移项整理为一般形式，移项时要注意符号变化；第三步对应匹配二次项、一次项的系数，选出正确选项即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
对原方程$3x^2 + 2 = x$移项，将等号右侧的$x$移到左侧，移项要变号，整理得：
$3x^2 - x + 2 = 0$
其中二次项为$3x^2$，系数是3；一次项为$-x$，系数是$-1$。
因此二次项系数和一次项系数分别为3、-1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的形式化简与系数判断，解题的易错点是移项时忽略符号变化，导致一次项系数符号判断错误。
【难度系数】
0.85
2.关于$x$的一元二次方程$2x^2 - mx -6=0$有一个根是1，则另一个根是（
A.－3
B.3
C.2
D.－2
B
）.A.－3
B.3
C.2
D.－2
答案
解：设方程的另一个根为$x_0$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，由韦达定理可知两根之积为$\frac{c}{a}$。
在方程$2x^2 - mx -6=0$中，$a=2$，$c=-6$，已知一个根是1，因此：
$1· x_0 = \frac{-6}{2}$
解得$x_0=-3$？不对，修正计算：代入根$x=1$到原方程，得$2×1^2 - m×1 -6=0$，即$2 - m -6=0$，解得$m=-4$，原方程为$2x^2 +4x -6=0$，化简为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，方程的根为$x=1$和$x=-3$。
哦不对，重新核对韦达定理：两根之和为$\frac{m}{2}$，两根之积为$\frac{-6}{2}=-3$，一个根是1，另一个根是$-3$，对应选项A。
正确答案：A
在方程$2x^2 - mx -6=0$中，$a=2$，$c=-6$，已知一个根是1，因此：
$1· x_0 = \frac{-6}{2}$
解得$x_0=-3$？不对，修正计算：代入根$x=1$到原方程，得$2×1^2 - m×1 -6=0$，即$2 - m -6=0$，解得$m=-4$，原方程为$2x^2 +4x -6=0$，化简为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，方程的根为$x=1$和$x=-3$。
哦不对，重新核对韦达定理：两根之和为$\frac{m}{2}$，两根之积为$\frac{-6}{2}=-3$，一个根是1，另一个根是$-3$，对应选项A。
正确答案：A
解析
【分析】
解题可以从两个思路入手：思路一，根据一元二次方程根的定义，将已知根x=1代入原方程，先求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），已知一个根的情况下，不需要求参数m，直接通过两根之积的关系快速算出另一个根，这种方法更简便。
【解析】
方法1（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_0$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
在方程$2x^2 - mx -6=0$中，$a=2$，$c=-6$，已知其中一个根为1，因此：
$1· x_0 = \frac{-6}{2} = -3$
解得$x_0=-3$。
方法2（代入求参法）：
将$x=1$代入原方程得：$2×1^2 - m×1 -6=0$
化简得：$2 - m -6=0$，解得$m=-4$
则原方程为$2x^2 +4x -6=0$，两边同时除以2化简为$x^2+2x-3=0$
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得方程的根为$x=1$和$x=-3$，即另一个根为-3。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，两种解题方法都需要掌握，其中运用根与系数的关系可以跳过求参数的步骤，有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
解题可以从两个思路入手：思路一，根据一元二次方程根的定义，将已知根x=1代入原方程，先求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），已知一个根的情况下，不需要求参数m，直接通过两根之积的关系快速算出另一个根，这种方法更简便。
【解析】
方法1（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_0$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
在方程$2x^2 - mx -6=0$中，$a=2$，$c=-6$，已知其中一个根为1，因此：
$1· x_0 = \frac{-6}{2} = -3$
解得$x_0=-3$。
方法2（代入求参法）：
将$x=1$代入原方程得：$2×1^2 - m×1 -6=0$
化简得：$2 - m -6=0$，解得$m=-4$
则原方程为$2x^2 +4x -6=0$，两边同时除以2化简为$x^2+2x-3=0$
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得方程的根为$x=1$和$x=-3$，即另一个根为-3。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，两种解题方法都需要掌握，其中运用根与系数的关系可以跳过求参数的步骤，有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
3.方程$x^2 -3x +10=0$的根的情况是(
A.有两个相等的实数根
B.只有一个实数根
C.没有实数根
D.有两个不相等的实数根
C
).A.有两个相等的实数根
B.只有一个实数根
C.没有实数根
D.有两个不相等的实数根
答案
3.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解。解题思路如下：第一步，先从给定的一元二次方程一般形式中确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，注意系数的正负号；第二步，将a、b、c的值代入判别式公式计算出$\Delta$的结果；第三步，根据$\Delta$的取值范围对应判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 -3x +10=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=10$，
代入判别式计算得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×10 = 9 - 40 = -31$
因为$\Delta = -31 ＜ 0$，所以该方程没有实数根，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础题型，重点考查根的判别式的应用，只要准确提取方程各项系数、熟记判别式与根的情况的对应关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解。解题思路如下：第一步，先从给定的一元二次方程一般形式中确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，注意系数的正负号；第二步，将a、b、c的值代入判别式公式计算出$\Delta$的结果；第三步，根据$\Delta$的取值范围对应判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 -3x +10=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=10$，
代入判别式计算得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×10 = 9 - 40 = -31$
因为$\Delta = -31 ＜ 0$，所以该方程没有实数根，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础题型，重点考查根的判别式的应用，只要准确提取方程各项系数、熟记判别式与根的情况的对应关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4.某校去年对实验器材投资2万元，预计明年的投资金额为2.88万元，若设该校今明两年实验器材投资金额的平均增长率是$ x $，则可列方程为(
A.$ 2(1+x)^2 = 2.88 $
B.$ 2(1-x)^2 = 2.88 $
C.$ 2 + 2(1+x) + 2(1+x)^2 = 2.88 $
D.$ 2(1+x) + 2(1+x)^2 = 2.88 $
A
).A.$ 2(1+x)^2 = 2.88 $
B.$ 2(1-x)^2 = 2.88 $
C.$ 2 + 2(1+x) + 2(1+x)^2 = 2.88 $
D.$ 2(1+x) + 2(1+x)^2 = 2.88 $
答案
4.A
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确增长的初始量、增长次数和最终量的对应关系：第一步确定初始值，去年投资的2万元是增长的初始金额；第二步推导各年投资额，平均增长率为x时，今年投资额是在去年基础上增长x，即2(1+x)，明年投资额是在今年基础上再增长x，需要在今年投资额的基础上乘(1+x)；第三步对应题目给出的明年投资额2.88万元列方程，同时注意区分“单年投资额”和“累计投资额”，避免误选求和类的错误选项。
【解析】
解：已知去年实验器材投资为2万元，今明两年的平均增长率为x。
1. 今年的投资金额为：$2(1+x)$
2. 明年的投资金额在今年的基础上再次增长x，因此明年投资金额为：$2(1+x)×(1+x)=2(1+x)^2$
3. 题目明确明年投资金额为2.88万元，因此可列方程：$2(1+x)^2=2.88$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题核心是掌握平均增长率下各期数值的计算规律，只要审题时明确所求的是单个年份的数值还是多年累计数值，就能快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确增长的初始量、增长次数和最终量的对应关系：第一步确定初始值，去年投资的2万元是增长的初始金额；第二步推导各年投资额，平均增长率为x时，今年投资额是在去年基础上增长x，即2(1+x)，明年投资额是在今年基础上再增长x，需要在今年投资额的基础上乘(1+x)；第三步对应题目给出的明年投资额2.88万元列方程，同时注意区分“单年投资额”和“累计投资额”，避免误选求和类的错误选项。
【解析】
解：已知去年实验器材投资为2万元，今明两年的平均增长率为x。
1. 今年的投资金额为：$2(1+x)$
2. 明年的投资金额在今年的基础上再次增长x，因此明年投资金额为：$2(1+x)×(1+x)=2(1+x)^2$
3. 题目明确明年投资金额为2.88万元，因此可列方程：$2(1+x)^2=2.88$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题核心是掌握平均增长率下各期数值的计算规律，只要审题时明确所求的是单个年份的数值还是多年累计数值，就能快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
5.按要求解方程.
(1) $x^2 - x - 1 = 0$(公式法).
(2) $x^2 + 2x - 2 = 0$(配方法).
(3) $1 - 4x + 16x^2 = 2 - 4x$(直接开平方法).
(4) $x^2 + 4x -5 =0$(因式分解法).
(1) $x^2 - x - 1 = 0$(公式法).
(2) $x^2 + 2x - 2 = 0$(配方法).
(3) $1 - 4x + 16x^2 = 2 - 4x$(直接开平方法).
(4) $x^2 + 4x -5 =0$(因式分解法).
答案
解：
(1) 对于方程 $x^2 - x - 1 = 0$，确定系数 $a=1$，$b=-1$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 5$，
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
即 $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
(2) 对于方程 $x^2 + 2x - 2 = 0$，移项得：
$x^2 + 2x = 2$，
配方，两边同时加1：$x^2 + 2x + 1 = 2 + 1$，
即 $(x+1)^2 = 3$，
开平方得：$x+1 = \pm\sqrt{3}$，
解得 $x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$。
(3) 对于方程 $1 - 4x + 16x^2 = 2 - 4x$，整理左边为完全平方式，两边同时消去$-4x$得：
$(4x-1)^2 = 2$，
开平方得：$4x-1 = \pm\sqrt{2}$，
移项整理得 $4x = 1\pm\sqrt{2}$，
解得 $x_1=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{2}}{4}$。
(4) 对于方程 $x^2 + 4x -5 =0$，因式分解得：
$(x+5)(x-1)=0$，
令每个因式为0，得 $x+5=0$ 或 $x-1=0$，
解得 $x_1=-5$，$x_2=1$。
(1) 对于方程 $x^2 - x - 1 = 0$，确定系数 $a=1$，$b=-1$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 5$，
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
即 $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
(2) 对于方程 $x^2 + 2x - 2 = 0$，移项得：
$x^2 + 2x = 2$，
配方，两边同时加1：$x^2 + 2x + 1 = 2 + 1$，
即 $(x+1)^2 = 3$，
开平方得：$x+1 = \pm\sqrt{3}$，
解得 $x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$。
(3) 对于方程 $1 - 4x + 16x^2 = 2 - 4x$，整理左边为完全平方式，两边同时消去$-4x$得：
$(4x-1)^2 = 2$，
开平方得：$4x-1 = \pm\sqrt{2}$，
移项整理得 $4x = 1\pm\sqrt{2}$，
解得 $x_1=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{2}}{4}$。
(4) 对于方程 $x^2 + 4x -5 =0$，因式分解得：
$(x+5)(x-1)=0$，
令每个因式为0，得 $x+5=0$ 或 $x-1=0$，
解得 $x_1=-5$，$x_2=1$。
解析
【分析】
本题要求用指定方法解一元二次方程，各小题解题思路如下：
(1)公式法：先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，确定系数$a、b、c$的值，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，若$\Delta≥0$则代入求根公式计算即可得到方程的解；
(2)配方法：先将常数项移到方程右边，确保二次项系数为1，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后开平方求解；
(3)直接开平方法：先化简方程，消去两边相同的项，将含未知数的部分整理为完全平方等于非负常数的形式，再直接开平方转化为一次方程求解；
(4)因式分解法：先将方程右边化为0，再把左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别等于0，解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 对于方程 $x^2 - x - 1 = 0$，确定系数 $a=1$，$b=-1$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 5$，
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
即 $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
(2) 对于方程 $x^2 + 2x - 2 = 0$，移项得：
$x^2 + 2x = 2$，
配方，两边同时加1：$x^2 + 2x + 1 = 2 + 1$，
即 $(x+1)^2 = 3$，
开平方得：$x+1 = \pm\sqrt{3}$，
解得 $x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$。
(3) 对于方程 $1 - 4x + 16x^2 = 2 - 4x$，整理左边为完全平方式，两边同时消去$-4x$得：
$(4x-1)^2 = 2$，
开平方得：$4x-1 = \pm\sqrt{2}$，
移项整理得 $4x = 1\pm\sqrt{2}$，
解得 $x_1=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{2}}{4}$。
(4) 对于方程 $x^2 + 4x -5 =0$，因式分解得：
$(x+5)(x-1)=0$，
令每个因式为0，得 $x+5=0$ 或 $x-1=0$，
解得 $x_1=-5$，$x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$；
(2) $x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$；
(3) $x_1=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{2}}{4}$；
(4) $x_1=-5$，$x_2=1$。
【知识点】
1.公式法解一元二次方程
2.配方法解一元二次方程
3.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题针对一元二次方程的常见解法设题，旨在考查学生对不同解法步骤的掌握程度，解题时需严格按照指定方法的规范步骤操作，注意计算过程中符号和运算的准确性。
【难度系数】
0.8
本题要求用指定方法解一元二次方程，各小题解题思路如下：
(1)公式法：先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，确定系数$a、b、c$的值，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，若$\Delta≥0$则代入求根公式计算即可得到方程的解；
(2)配方法：先将常数项移到方程右边，确保二次项系数为1，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后开平方求解；
(3)直接开平方法：先化简方程，消去两边相同的项，将含未知数的部分整理为完全平方等于非负常数的形式，再直接开平方转化为一次方程求解；
(4)因式分解法：先将方程右边化为0，再把左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别等于0，解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 对于方程 $x^2 - x - 1 = 0$，确定系数 $a=1$，$b=-1$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 5$，
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
即 $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
(2) 对于方程 $x^2 + 2x - 2 = 0$，移项得：
$x^2 + 2x = 2$，
配方，两边同时加1：$x^2 + 2x + 1 = 2 + 1$，
即 $(x+1)^2 = 3$，
开平方得：$x+1 = \pm\sqrt{3}$，
解得 $x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$。
(3) 对于方程 $1 - 4x + 16x^2 = 2 - 4x$，整理左边为完全平方式，两边同时消去$-4x$得：
$(4x-1)^2 = 2$，
开平方得：$4x-1 = \pm\sqrt{2}$，
移项整理得 $4x = 1\pm\sqrt{2}$，
解得 $x_1=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{2}}{4}$。
(4) 对于方程 $x^2 + 4x -5 =0$，因式分解得：
$(x+5)(x-1)=0$，
令每个因式为0，得 $x+5=0$ 或 $x-1=0$，
解得 $x_1=-5$，$x_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$；
(2) $x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$；
(3) $x_1=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{2}}{4}$；
(4) $x_1=-5$，$x_2=1$。
【知识点】
1.公式法解一元二次方程
2.配方法解一元二次方程
3.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题针对一元二次方程的常见解法设题，旨在考查学生对不同解法步骤的掌握程度，解题时需严格按照指定方法的规范步骤操作，注意计算过程中符号和运算的准确性。
【难度系数】
0.8
6.若$m$，$n$是一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个实数根，则$n^2 - mn + m$的值是（
A.－3
B.4
C.5
D.7
D
）.A.－3
B.4
C.5
D.7
答案
6.D
解析
【分析】
解题思路如下：首先，已知m、n是一元二次方程的两个实数根，可联想到两个核心知识点：①方程的根满足方程本身，可利用这一性质对含n²的高次项降次；②一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可直接得到两根之和与两根之积的值。接下来将所求代数式通过降次变形，整理为含有两根和、两根积的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵m，n是一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个实数根，
∴根据一元二次方程根的定义，将x=n代入方程得：$n^2 - n - 3 = 0$，即$n^2 = n + 3$；
根据根与系数的关系可得：$m + n = -\frac{b}{a} = 1$，$mn = \frac{c}{a} = -3$。
将$n^2 = n + 3$代入待求式：
$n^2 - mn + m = (n + 3) - mn + m = (m + n) - mn + 3$
把$m + n = 1$，$mn = -3$代入上式：
原式$= 1 - (-3) + 3 = 1 + 3 + 3 = 7$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的典型考法，解题核心是灵活运用根的定义降次，结合韦达定理整体代入计算，避免了直接求解方程根的繁琐运算，考察了学生的整体代换思想。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，已知m、n是一元二次方程的两个实数根，可联想到两个核心知识点：①方程的根满足方程本身，可利用这一性质对含n²的高次项降次；②一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可直接得到两根之和与两根之积的值。接下来将所求代数式通过降次变形，整理为含有两根和、两根积的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵m，n是一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个实数根，
∴根据一元二次方程根的定义，将x=n代入方程得：$n^2 - n - 3 = 0$，即$n^2 = n + 3$；
根据根与系数的关系可得：$m + n = -\frac{b}{a} = 1$，$mn = \frac{c}{a} = -3$。
将$n^2 = n + 3$代入待求式：
$n^2 - mn + m = (n + 3) - mn + m = (m + n) - mn + 3$
把$m + n = 1$，$mn = -3$代入上式：
原式$= 1 - (-3) + 3 = 1 + 3 + 3 = 7$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的典型考法，解题核心是灵活运用根的定义降次，结合韦达定理整体代入计算，避免了直接求解方程根的繁琐运算，考察了学生的整体代换思想。
【难度系数】
0.7
7.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间比赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请
6
支球队参加比赛.答案
7.6
解析
【分析】
首先理解单循环赛制的规则：每两队之间只进行1场比赛。若设邀请x支球队参赛，每支球队需要和其余(x-1)支球队各赛1场，由于两队之间的比赛会被重复计数1次，因此总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合题目给出的总场数为15，即可列方程求解，最后根据实际意义舍去负根得到答案。
【解析】
解：设应邀请$x$支球队参加比赛。
根据单循环总场数的计算规则，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
由于球队数量不能为负数，故舍去$x=-5$，即$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环赛制计数
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于实际应用类的方程问题，解题核心是准确理解单循环赛制的计数逻辑，正确建立等量关系列方程，求解后要注意结合实际场景舍去不符合要求的根，侧重考查学生的建模思维和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
首先理解单循环赛制的规则：每两队之间只进行1场比赛。若设邀请x支球队参赛，每支球队需要和其余(x-1)支球队各赛1场，由于两队之间的比赛会被重复计数1次，因此总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合题目给出的总场数为15，即可列方程求解，最后根据实际意义舍去负根得到答案。
【解析】
解：设应邀请$x$支球队参加比赛。
根据单循环总场数的计算规则，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
由于球队数量不能为负数，故舍去$x=-5$，即$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环赛制计数
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于实际应用类的方程问题，解题核心是准确理解单循环赛制的计数逻辑，正确建立等量关系列方程，求解后要注意结合实际场景舍去不符合要求的根，侧重考查学生的建模思维和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
