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11.【分类讨论思想】在$△ ABC$中，$∠ ABC = ∠ C$，$BD$是$AC$边上的高，$∠ ABD = 30°$，则$∠ C$的度数为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
11. 60°或 30°
12. 如图，$∠ A=35°$，$∠ ABD=85°$，$∠ D=55°$，则$∠ DCA$的度数是（
A.$25°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$65°$
D
）A.$25°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$65°$
答案
12.D
13.(湖南省中考改编)如图,在$△ ABC$中,若$DE// BC,FG// AC,∠ BDE=120°,∠ DFG=115°$,则$∠ C$的度数为
55°
.答案
13. 55°
14.【真实问题情境】如图，直线a，b相交所成的角跑到画板外面了，某同学发现只要量出画板的边l分别与直线a，b相交所形成的角的度数就可求得该角.已知∠1=71°，∠2=78°，则直线a，b相交所形成的锐角的度数为
31°
.答案
14. 31°
15.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C$,D为边BC上一点(点D不与点B,C重合),E为边AC上一点,$∠ ADE=∠ AED$,$∠ BAC=44°$.
(1)求$∠ C$的度数;
(2)若$∠ ADE=75°$,求$∠ CDE$的度数.
(1)求$∠ C$的度数;
(2)若$∠ ADE=75°$,求$∠ CDE$的度数.
答案
(1)解:在△ABC中,∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-44°=136°.
∵∠B=∠C,
∴2∠C=136°,解得∠C= 68°.
(2)
∵ ∠AED =∠ADE=75°,
∴∠CED=180°-∠AED=180°-75°=105°.由(1)知∠C=68°.在△CDE中,∠CDE= 180°-∠CED-∠C= 180°-105°-68°=7°.
∵∠B=∠C,
∴2∠C=136°,解得∠C= 68°.
(2)
∵ ∠AED =∠ADE=75°,
∴∠CED=180°-∠AED=180°-75°=105°.由(1)知∠C=68°.在△CDE中,∠CDE= 180°-∠CED-∠C= 180°-105°-68°=7°.
16.【核心素养·模型观念】如图①，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB.如图②，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N.试解答下列问题：
(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：
(2)在图②中，若∠D=50°，∠B=40°，试求∠P的度数(写出解答过程)；
(3)如果图②中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D，∠B之间的数量关系(直接写出结论).
(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：
∠A+∠D=∠B+∠C
；(2)在图②中，若∠D=50°，∠B=40°，试求∠P的度数(写出解答过程)；
(3)如果图②中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D，∠B之间的数量关系(直接写出结论).
答案
(1)∠A+∠D=∠B+∠C
(2)解:由(1)得∠1+∠D=∠3+∠P,∠2+∠P=∠4+∠B,
∴∠1-∠3=∠P-∠D,∠2-∠4=∠B-∠P.又
∵AP,CP分别平分∠DAB和∠BCD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∴∠P-∠D=∠B-∠P,即2∠P=∠B+∠D.
∴∠P=1/2(50°+40°)=45°.
(3)2∠P=∠B+∠D.
(2)解:由(1)得∠1+∠D=∠3+∠P,∠2+∠P=∠4+∠B,
∴∠1-∠3=∠P-∠D,∠2-∠4=∠B-∠P.又
∵AP,CP分别平分∠DAB和∠BCD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∴∠P-∠D=∠B-∠P,即2∠P=∠B+∠D.
∴∠P=1/2(50°+40°)=45°.
(3)2∠P=∠B+∠D.
