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20.「2026山西临汾洪洞期中，★☆」(6分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m-1)x + m^2 -5 =0$。
(1)当方程有两个实数根时，求$m$的取值范围。
(2)当方程的两个根$x_1,x_2$满足$2(x_1+x_2)=x_1x_2 -11$时，求$m$的值。
(1)当方程有两个实数根时，求$m$的取值范围。
(2)当方程的两个根$x_1,x_2$满足$2(x_1+x_2)=x_1x_2 -11$时，求$m$的值。
答案
(1)$\because$ 方程有两个实数根,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=[-2(m-1)]^2-4×1×(m^2-5)≥0$,…… (2 分)
整理,得 $-8m+24≥0$,解得 $m≤3$. …………………… (3 分)
(2)由题意可知 $x_1+x_2=2(m-1)$,$x_1x_2=m^2-5$,
$\because 2(x_1+x_2)=x_1x_2-11$,$\therefore 4(m-1)=m^2-5-11$, …… (4 分)
整理,得 $m^2-4m-12=0$,
方程左边分解因式,得 $(m-6)(m+2)=0$,
解得 $m_1=6$,$m_2=-2$, …………………… (5 分)
由(1)知 $m≤3$,$\therefore m=-2$. …………………… (6 分)
$\therefore \Delta=b^2-4ac=[-2(m-1)]^2-4×1×(m^2-5)≥0$,…… (2 分)
整理,得 $-8m+24≥0$,解得 $m≤3$. …………………… (3 分)
(2)由题意可知 $x_1+x_2=2(m-1)$,$x_1x_2=m^2-5$,
$\because 2(x_1+x_2)=x_1x_2-11$,$\therefore 4(m-1)=m^2-5-11$, …… (4 分)
整理,得 $m^2-4m-12=0$,
方程左边分解因式,得 $(m-6)(m+2)=0$,
解得 $m_1=6$,$m_2=-2$, …………………… (5 分)
由(1)知 $m≤3$,$\therefore m=-2$. …………………… (6 分)
