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18. 聚焦 中考 代数推理 「2026河南开封祥符期中，★☆」(6分)已知关于x的一元二次方程$x^2+2kx+2k-3=0$.
(1)求证:无论k取何值,原方程总有两个不相等的实数根.
(2)若$x_1,x_2$为该方程的两个根,求$x_1^2+x_2^2$的值(用含k的代数式表示).
(1)求证:无论k取何值,原方程总有两个不相等的实数根.
(2)若$x_1,x_2$为该方程的两个根,求$x_1^2+x_2^2$的值(用含k的代数式表示).
答案
18.解析 (1)证明:$\Delta=(2k)^2-4×1×(2k-3)=4k^2-8k+12=4(k-1)^2+8$, ………………………………(2分)
$\because (k-1)^2≥0,\therefore \Delta=4(k-1)^2+8＞0$,
$\therefore$ 无论 $k$ 取何值,原方程总有两个不相等的实数根. ………………………………(3分)
(2)由题意得,$x_1+x_2=-2k,x_1x_2=2k-3$, ………………(4分)
$\therefore x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-2k)^2-2(2k-3)=4k^2-4k+6$. ………………………………(6分)
$\because (k-1)^2≥0,\therefore \Delta=4(k-1)^2+8＞0$,
$\therefore$ 无论 $k$ 取何值,原方程总有两个不相等的实数根. ………………………………(3分)
(2)由题意得,$x_1+x_2=-2k,x_1x_2=2k-3$, ………………(4分)
$\therefore x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-2k)^2-2(2k-3)=4k^2-4k+6$. ………………………………(6分)
