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5. 若关于x的方程$\frac{x+1}{2} -1 = m$与$1 - \frac{1-x}{3} = 2 - \frac{m+1}{2}$的解互为相反数，求m的值.
答案
5. 解方程$\frac{x+1}{2}-1=m,$得$x=2m+1,$解方程$1-\frac{1-x}{3}=2-\frac{m+1}{2},$得$x=\frac{5-3m}{2},$由题意,得$2m+1+\frac{5-3m}{2}=0,$解得$m=-7.$
解析
【分析】
解题时先分别求解两个含参数m的一元一次方程，用含m的代数式表示出两个方程的解；再根据“互为相反数的两个数和为0”的性质，将两个解相加等于0，得到关于m的一元一次方程，最后求解该方程即可得到m的值。
【解析】
第一步：解第一个方程$\frac{x+1}{2} -1 = m$
去分母，两边同时乘2得：$x+1 - 2 = 2m$
移项化简得：$x = 2m + 1$
第二步：解第二个方程$1 - \frac{1-x}{3} = 2 - \frac{m+1}{2}$
去分母，两边同时乘6得：$6 - 2(1-x) = 12 - 3(m+1)$
去括号得：$6 - 2 + 2x = 12 - 3m - 3$
合并同类项得：$4 + 2x = 9 - 3m$
移项化简得：$2x = 5 - 3m$，即$x = \frac{5 - 3m}{2}$
第三步：根据两个方程的解互为相反数，可得两个解的和为0：
$2m + 1 + \frac{5 - 3m}{2} = 0$
去分母，两边同时乘2得：$4m + 2 + 5 - 3m = 0$
合并同类项得：$m + 7 = 0$
解得：$m = -7$
【答案】
$m=-7$
【知识点】
解一元一次方程，相反数的性质，含参方程求解
【点评】
本题属于一元一次方程的基础综合题，核心是熟练掌握一元一次方程的解法，注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，再结合相反数的性质列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时先分别求解两个含参数m的一元一次方程，用含m的代数式表示出两个方程的解；再根据“互为相反数的两个数和为0”的性质，将两个解相加等于0，得到关于m的一元一次方程，最后求解该方程即可得到m的值。
【解析】
第一步：解第一个方程$\frac{x+1}{2} -1 = m$
去分母，两边同时乘2得：$x+1 - 2 = 2m$
移项化简得：$x = 2m + 1$
第二步：解第二个方程$1 - \frac{1-x}{3} = 2 - \frac{m+1}{2}$
去分母，两边同时乘6得：$6 - 2(1-x) = 12 - 3(m+1)$
去括号得：$6 - 2 + 2x = 12 - 3m - 3$
合并同类项得：$4 + 2x = 9 - 3m$
移项化简得：$2x = 5 - 3m$，即$x = \frac{5 - 3m}{2}$
第三步：根据两个方程的解互为相反数，可得两个解的和为0：
$2m + 1 + \frac{5 - 3m}{2} = 0$
去分母，两边同时乘2得：$4m + 2 + 5 - 3m = 0$
合并同类项得：$m + 7 = 0$
解得：$m = -7$
【答案】
$m=-7$
【知识点】
解一元一次方程，相反数的性质，含参方程求解
【点评】
本题属于一元一次方程的基础综合题，核心是熟练掌握一元一次方程的解法，注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，再结合相反数的性质列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
6. 如果$a,b$为定值且关于$x$的方程$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x-bk}{6}$，无论$k$为何值时，它的解总是2，求$a,b$的值。
答案
6. 把$x=2$代入方程$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x-bk}{6},$得$\frac{4k+a}{3}=2+\frac{2-bk}{6},$去分母,得$(8+b)k=14-2a,$由题意,得$8+b=0,$解得$a=7,b=-8.$
解析
【分析】
题目明确无论k取何值，方程的解都是x=2，说明x=2始终满足该方程。解题思路为：第一步先将x=2代入原方程，得到含有参数k、a、b的等式；第二步对等式去分母、移项整理，转化为“k的系数×k=常数项”的形式；第三步根据“k取任意值等式都成立”的条件，可知k的系数必须为0，同时等式右边的常数项也必须为0，据此列方程即可求出a、b的值。
【解析】
解：
∵无论k为何值，方程的解总是x=2，
∴将x=2代入原方程$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x-bk}{6}$，得：
$\frac{4k+a}{3}=2+\frac{2-bk}{6}$
等式两边同时乘6去分母，得：
$2(4k+a)=12+(2-bk)$
去括号，得：
$8k+2a=12+2-bk$
移项、合并同类项，得：
$(8+b)k=14-2a$
∵该等式对任意k都成立，
∴k的系数和右侧常数项均为0，即：
$\begin{cases}8+b=0 \\14-2a=0\end{cases}$
解得：$b=-8$，$a=7$。
【答案】
$a=7,b=-8$
【知识点】
方程的解的定义；等式的性质；含参方程恒成立
【点评】
本题是一元一次方程中典型的参数求解类题型，解题核心是准确理解“解恒为定值”的含义，将已知解代入方程后转化为关于参数的等式，再结合恒成立条件列方程求解，可有效考察学生对方程解的概念的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.6
题目明确无论k取何值，方程的解都是x=2，说明x=2始终满足该方程。解题思路为：第一步先将x=2代入原方程，得到含有参数k、a、b的等式；第二步对等式去分母、移项整理，转化为“k的系数×k=常数项”的形式；第三步根据“k取任意值等式都成立”的条件，可知k的系数必须为0，同时等式右边的常数项也必须为0，据此列方程即可求出a、b的值。
【解析】
解：
∵无论k为何值，方程的解总是x=2，
∴将x=2代入原方程$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x-bk}{6}$，得：
$\frac{4k+a}{3}=2+\frac{2-bk}{6}$
等式两边同时乘6去分母，得：
$2(4k+a)=12+(2-bk)$
去括号，得：
$8k+2a=12+2-bk$
移项、合并同类项，得：
$(8+b)k=14-2a$
∵该等式对任意k都成立，
∴k的系数和右侧常数项均为0，即：
$\begin{cases}8+b=0 \\14-2a=0\end{cases}$
解得：$b=-8$，$a=7$。
【答案】
$a=7,b=-8$
【知识点】
方程的解的定义；等式的性质；含参方程恒成立
【点评】
本题是一元一次方程中典型的参数求解类题型，解题核心是准确理解“解恒为定值”的含义，将已知解代入方程后转化为关于参数的等式，再结合恒成立条件列方程求解，可有效考察学生对方程解的概念的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.6
7. 已知关于 $ x $ 的方程 $\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$ 与方程 $\frac{x - 1}{2} = 3x - 2$ 的解互为倒数，求 $ 2m^2 - 4m + 3 $ 的值.
答案
7. 解方程$\frac{x-m}{2}=x+\frac{m}{3},$得$x=-\frac{5m}{3};$解方程$\frac{x-1}{2}=3x-2,$得$x=\frac{3}{5}.\because -\frac{5m}{3}×\frac{3}{5}=1,\therefore m=-1.$当$m=-1$时,$2m^2-4m+3=2+4+3=9.$
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：第一步，先求解不含参数$m$的方程$\frac{x - 1}{2} = 3x - 2$，得到它的确定解；第二步，根据“两个方程的解互为倒数”的条件，可知两个解的乘积为1；第三步，求解含参数$m$的第一个方程，用含$m$的式子表示出它的解，结合倒数关系建立关于$m$的方程，求出$m$的值；第四步，将$m$的值代入待求代数式计算最终结果即可。
【解析】
1. 解方程$\frac{x - 1}{2} = 3x - 2$：
两边同乘2去分母，得$x - 1 = 6x - 4$，
移项合并同类项，得$-5x = -3$，
系数化为1，得$x = \frac{3}{5}$。
2. 解方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$：
两边同乘6去分母，得$3(x - m) = 6x + 2m$，
去括号得$3x - 3m = 6x + 2m$，
移项合并同类项，得$-3x = 5m$，
系数化为1，得$x = -\frac{5m}{3}$。
3. 因为两个方程的解互为倒数，所以两解乘积为1，即：
$-\frac{5m}{3} × \frac{3}{5} = 1$，
化简得$-m = 1$，解得$m = -1$。
4. 将$m=-1$代入$2m^2 - 4m + 3$：
原式$=2× (-1)^2 - 4× (-1) + 3 = 2 + 4 + 3 = 9$。
【答案】
$\boxed{9}$
【知识点】
一元一次方程解法，倒数的性质，代数式求值
【点评】
本题属于一元一次方程相关的基础综合题，解题核心是先求出无参数方程的解，再利用倒数性质建立参数方程求出$m$的值，计算时要注意去分母、移项等步骤的运算准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路逐步推导：第一步，先求解不含参数$m$的方程$\frac{x - 1}{2} = 3x - 2$，得到它的确定解；第二步，根据“两个方程的解互为倒数”的条件，可知两个解的乘积为1；第三步，求解含参数$m$的第一个方程，用含$m$的式子表示出它的解，结合倒数关系建立关于$m$的方程，求出$m$的值；第四步，将$m$的值代入待求代数式计算最终结果即可。
【解析】
1. 解方程$\frac{x - 1}{2} = 3x - 2$：
两边同乘2去分母，得$x - 1 = 6x - 4$，
移项合并同类项，得$-5x = -3$，
系数化为1，得$x = \frac{3}{5}$。
2. 解方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$：
两边同乘6去分母，得$3(x - m) = 6x + 2m$，
去括号得$3x - 3m = 6x + 2m$，
移项合并同类项，得$-3x = 5m$，
系数化为1，得$x = -\frac{5m}{3}$。
3. 因为两个方程的解互为倒数，所以两解乘积为1，即：
$-\frac{5m}{3} × \frac{3}{5} = 1$，
化简得$-m = 1$，解得$m = -1$。
4. 将$m=-1$代入$2m^2 - 4m + 3$：
原式$=2× (-1)^2 - 4× (-1) + 3 = 2 + 4 + 3 = 9$。
【答案】
$\boxed{9}$
【知识点】
一元一次方程解法，倒数的性质，代数式求值
【点评】
本题属于一元一次方程相关的基础综合题，解题核心是先求出无参数方程的解，再利用倒数性质建立参数方程求出$m$的值，计算时要注意去分母、移项等步骤的运算准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
