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9. 若单项式$\frac{1}{3}a^{m+1}b^3$与$-2a^3b^n$的和仍是单项式，求方程$\frac{x-7}{n}-\frac{1+x}{m}=1$的解.
答案
9. 因为单项式$\frac{1}{3} a^{m+1} b^{3}$ 与 $-2 a^{3} b^{n}$ 的和仍是单项式,所以 $\begin{cases}m+1=3, \\ n=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=2, \\ n=3,\end{cases}$ 所以 $\frac{x-7}{n}-\frac{1+x}{m}=\frac{x-7}{3}-\frac{1+x}{2}=1,$ 解得 $x=-23.$
解析
【分析】
解题首先要理解“两个单项式的和仍是单项式”的含义：只有当两个单项式是同类项时，它们合并的结果才仍是单项式。所以第一步先根据同类项“相同字母的指数分别相等”的性质，列出关于m、n的方程，求出m、n的取值；再将m、n代入给定的一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的标准步骤解方程，即可求出x的值。
【解析】
解：
∵单项式$\frac{1}{3}a^{m+1}b^3$与$-2a^3b^n$的和仍是单项式
∴两个单项式是同类项，相同字母的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}m+1=3 \\ n=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=2 \\ n=3\end{cases}$
将$m=2$，$n=3$代入方程$\frac{x-7}{n}-\frac{1+x}{m}=1$，得：
$\frac{x-7}{3}-\frac{1+x}{2}=1$
去分母（两边同乘6）：$2(x-7)-3(1+x)=6$
去括号：$2x - 14 - 3 - 3x = 6$
移项：$2x - 3x = 6 + 14 + 3$
合并同类项：$-x = 23$
系数化为1：$x = -23$
【答案】
$x=-23$
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础综合题，结合了同类项判定与一元一次方程求解两个考点，解题的关键是先根据单项式相加的性质求出参数值，解方程时要注意去分母不要漏乘不含分母的常数项。
【难度系数】
0.7
解题首先要理解“两个单项式的和仍是单项式”的含义：只有当两个单项式是同类项时，它们合并的结果才仍是单项式。所以第一步先根据同类项“相同字母的指数分别相等”的性质，列出关于m、n的方程，求出m、n的取值；再将m、n代入给定的一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的标准步骤解方程，即可求出x的值。
【解析】
解：
∵单项式$\frac{1}{3}a^{m+1}b^3$与$-2a^3b^n$的和仍是单项式
∴两个单项式是同类项，相同字母的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}m+1=3 \\ n=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=2 \\ n=3\end{cases}$
将$m=2$，$n=3$代入方程$\frac{x-7}{n}-\frac{1+x}{m}=1$，得：
$\frac{x-7}{3}-\frac{1+x}{2}=1$
去分母（两边同乘6）：$2(x-7)-3(1+x)=6$
去括号：$2x - 14 - 3 - 3x = 6$
移项：$2x - 3x = 6 + 14 + 3$
合并同类项：$-x = 23$
系数化为1：$x = -23$
【答案】
$x=-23$
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础综合题，结合了同类项判定与一元一次方程求解两个考点，解题的关键是先根据单项式相加的性质求出参数值，解方程时要注意去分母不要漏乘不含分母的常数项。
【难度系数】
0.7
1. 已知方程$\frac{1}{3} - 3(x - \frac{1}{2022}) = \frac{5}{6}$，则式子$11 + 2(\frac{1}{2022} - x)$的值为（
A.$\frac{17}{3}$
B.$\frac{34}{3}$
C.$\frac{17}{6}$
D.$\frac{34}{6}$
B
）A.$\frac{17}{3}$
B.$\frac{34}{3}$
C.$\frac{17}{6}$
D.$\frac{34}{6}$
答案
1. B
解析
【分析】
观察已知方程和待求式子的结构，发现二者都含有和$(x-\frac{1}{2022})$相关的代数式，不需要求出$x$的具体值，可先将$(x-\frac{1}{2022})$看作整体，通过解一元一次方程求出整体的值，再利用相反数的关系得到$(\frac{1}{2022}-x)$的值，最后代入待求式子计算即可，这种整体代入的方法比直接求解$x$更简便，也能减少计算错误。
【解析】
第一步：求解$(x-\frac{1}{2022})$的值
已知方程$\frac{1}{3} - 3(x - \frac{1}{2022}) = \frac{5}{6}$
移项得：$-3(x - \frac{1}{2022}) = \frac{5}{6} - \frac{1}{3}$
计算右边：$\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
即$-3(x - \frac{1}{2022}) = \frac{1}{2}$
两边同时除以$-3$得：$x - \frac{1}{2022} = \frac{1}{2} ÷ (-3) = -\frac{1}{6}$
第二步：转换得到$(\frac{1}{2022}-x)$的值
因为$\frac{1}{2022} - x = -(x - \frac{1}{2022})$，代入上面的结果得：
$\frac{1}{2022} - x = -(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6}$
第三步：代入待求式子计算
将$\frac{1}{2022} - x = \frac{1}{6}$代入$11 + 2(\frac{1}{2022} - x)$得：
原式$=11 + 2×\frac{1}{6} = 11 + \frac{1}{3} = \frac{33}{3} + \frac{1}{3} = \frac{34}{3}$
【答案】
B
【知识点】
整体代入求值，解一元一次方程，相反数的性质
【点评】
本题侧重考查整体思想在代数式求值中的应用，解题时无需计算出未知数的具体数值，通过观察式子的结构特征找到公共部分作为整体代入，可大幅简化计算过程，是整式及一元一次方程相关题型中非常实用的技巧。
【难度系数】
0.7
观察已知方程和待求式子的结构，发现二者都含有和$(x-\frac{1}{2022})$相关的代数式，不需要求出$x$的具体值，可先将$(x-\frac{1}{2022})$看作整体，通过解一元一次方程求出整体的值，再利用相反数的关系得到$(\frac{1}{2022}-x)$的值，最后代入待求式子计算即可，这种整体代入的方法比直接求解$x$更简便，也能减少计算错误。
【解析】
第一步：求解$(x-\frac{1}{2022})$的值
已知方程$\frac{1}{3} - 3(x - \frac{1}{2022}) = \frac{5}{6}$
移项得：$-3(x - \frac{1}{2022}) = \frac{5}{6} - \frac{1}{3}$
计算右边：$\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
即$-3(x - \frac{1}{2022}) = \frac{1}{2}$
两边同时除以$-3$得：$x - \frac{1}{2022} = \frac{1}{2} ÷ (-3) = -\frac{1}{6}$
第二步：转换得到$(\frac{1}{2022}-x)$的值
因为$\frac{1}{2022} - x = -(x - \frac{1}{2022})$，代入上面的结果得：
$\frac{1}{2022} - x = -(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6}$
第三步：代入待求式子计算
将$\frac{1}{2022} - x = \frac{1}{6}$代入$11 + 2(\frac{1}{2022} - x)$得：
原式$=11 + 2×\frac{1}{6} = 11 + \frac{1}{3} = \frac{33}{3} + \frac{1}{3} = \frac{34}{3}$
【答案】
B
【知识点】
整体代入求值，解一元一次方程，相反数的性质
【点评】
本题侧重考查整体思想在代数式求值中的应用，解题时无需计算出未知数的具体数值，通过观察式子的结构特征找到公共部分作为整体代入，可大幅简化计算过程，是整式及一元一次方程相关题型中非常实用的技巧。
【难度系数】
0.7
2. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，由题意列方程得 （
A.$\frac{x}{3} + 3(100 - x) = 100$
B.$3x + \frac{100 - x}{3} = 100$
C.$\frac{x}{3} - 3(100 - x) = 100$
D.$3x - \frac{100 - x}{3} = 100$
A
）A.$\frac{x}{3} + 3(100 - x) = 100$
B.$3x + \frac{100 - x}{3} = 100$
C.$\frac{x}{3} - 3(100 - x) = 100$
D.$3x - \frac{100 - x}{3} = 100$
答案
2. A
解析
【分析】
解题的核心是找准题目中的等量关系：大和尚分得的馒头总数 + 小和尚分得的馒头总数 = 总馒头数100个。首先根据设出的小和尚人数x，推导得出大和尚的人数，再分别计算两类和尚分得的馒头数量，最后结合等量关系列出方程即可。
【解析】
已知设小和尚有x人，总共有100个和尚，因此大和尚的人数为$(100-x)$人。
1. 计算小和尚分得的馒头数：小和尚3人分1个馒头，因此x个小和尚分得的馒头数为$\frac{x}{3}$个；
2. 计算大和尚分得的馒头数：大和尚1人分3个馒头，因此$(100-x)$个大和尚分得的馒头数为$3(100-x)$个；
3. 结合总馒头数为100个的条件，可列方程：$\frac{x}{3} + 3(100 - x) = 100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题是经典的古代数学应用题，解题的关键是准确提取题干中的等量关系，正确表示出两类和尚对应的人数和分得的馒头数量，避免将大小和尚的分配规则搞混即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题的核心是找准题目中的等量关系：大和尚分得的馒头总数 + 小和尚分得的馒头总数 = 总馒头数100个。首先根据设出的小和尚人数x，推导得出大和尚的人数，再分别计算两类和尚分得的馒头数量，最后结合等量关系列出方程即可。
【解析】
已知设小和尚有x人，总共有100个和尚，因此大和尚的人数为$(100-x)$人。
1. 计算小和尚分得的馒头数：小和尚3人分1个馒头，因此x个小和尚分得的馒头数为$\frac{x}{3}$个；
2. 计算大和尚分得的馒头数：大和尚1人分3个馒头，因此$(100-x)$个大和尚分得的馒头数为$3(100-x)$个；
3. 结合总馒头数为100个的条件，可列方程：$\frac{x}{3} + 3(100 - x) = 100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题是经典的古代数学应用题，解题的关键是准确提取题干中的等量关系，正确表示出两类和尚对应的人数和分得的馒头数量，避免将大小和尚的分配规则搞混即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
3. 如果两个方程的解相差1，那么称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”.若关于x的方程$3x + m = 0$是关于x的方程$2(x - 2) = -4(3 + x)$的“后移方程”，则m的值为
1
.答案
3. 1
解析
【分析】
解题首先要明确“后移方程”的定义：两个方程的解相差1，解较大的为后移方程。解题思路分为三步：第一步先求解不带参数m的方程$2(x - 2) = -4(3 + x)$，得到它的解；第二步根据“后移方程”的定义，可知方程$3x+m=0$的解比上述求出的解大1，由此得到$3x+m=0$的解；第三步将得到的解代入$3x+m=0$，即可求出m的值。
【解析】
首先解方程$2(x - 2) = -4(3 + x)$：
1. 去括号，得$2x - 4 = -12 - 4x$
2. 移项，得$2x + 4x = -12 + 4$
3. 合并同类项，得$6x = -8$
4. 系数化为1，得$x = -\frac{4}{3}$
因为方程$3x + m = 0$是上述方程的“后移方程”，所以$3x + m = 0$的解比$x = -\frac{4}{3}$大1，即$3x + m = 0$的解为：
$x = -\frac{4}{3} + 1 = -\frac{1}{3}$
将$x = -\frac{1}{3}$代入$3x + m = 0$，得：
$3×(-\frac{1}{3}) + m = 0$
计算得$-1 + m = 0$，解得$m = 1$
【答案】
1
【知识点】
新定义问题，解一元一次方程，一元一次方程的解
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的相关知识，解题的核心是准确理解“后移方程”的含义，理清两个方程解的数量关系，再通过常规的解方程和代入求值即可得到结果，重点考查对新定义的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确“后移方程”的定义：两个方程的解相差1，解较大的为后移方程。解题思路分为三步：第一步先求解不带参数m的方程$2(x - 2) = -4(3 + x)$，得到它的解；第二步根据“后移方程”的定义，可知方程$3x+m=0$的解比上述求出的解大1，由此得到$3x+m=0$的解；第三步将得到的解代入$3x+m=0$，即可求出m的值。
【解析】
首先解方程$2(x - 2) = -4(3 + x)$：
1. 去括号，得$2x - 4 = -12 - 4x$
2. 移项，得$2x + 4x = -12 + 4$
3. 合并同类项，得$6x = -8$
4. 系数化为1，得$x = -\frac{4}{3}$
因为方程$3x + m = 0$是上述方程的“后移方程”，所以$3x + m = 0$的解比$x = -\frac{4}{3}$大1，即$3x + m = 0$的解为：
$x = -\frac{4}{3} + 1 = -\frac{1}{3}$
将$x = -\frac{1}{3}$代入$3x + m = 0$，得：
$3×(-\frac{1}{3}) + m = 0$
计算得$-1 + m = 0$，解得$m = 1$
【答案】
1
【知识点】
新定义问题，解一元一次方程，一元一次方程的解
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的相关知识，解题的核心是准确理解“后移方程”的含义，理清两个方程解的数量关系，再通过常规的解方程和代入求值即可得到结果，重点考查对新定义的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
4. 解下列方程：
(1) $\frac{x-3}{4} - \frac{x-4}{3} = \frac{1}{2}$；
(2) $\frac{x+1}{4} -1 = \frac{2x-1}{6}$；
(3) $\frac{x+3}{4} -1 = \frac{x-3}{2} -2$；
(4) $\frac{0.4x -0.1}{0.5} = \frac{0.1 +0.2x}{0.3} -0.6$。
(1) $\frac{x-3}{4} - \frac{x-4}{3} = \frac{1}{2}$；
(2) $\frac{x+1}{4} -1 = \frac{2x-1}{6}$；
(3) $\frac{x+3}{4} -1 = \frac{x-3}{2} -2$；
(4) $\frac{0.4x -0.1}{0.5} = \frac{0.1 +0.2x}{0.3} -0.6$。
答案
4. (1) $x=1$ (2) $x=-7$ (3) $x=13$ (4) $x=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解带分母的一元一次方程的通用思路是：①若方程中分母为小数，先利用分数的基本性质把小数分母转化为整数分母；②找所有分母的最小公倍数，方程两边同时乘这个最小公倍数去分母，注意不要漏乘不含分母的常数项；③按照去括号、移项（移项要变号）、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，每一步注意符号的变化，避免出错。
【解析】
(1) 去分母，两边同乘12（4、3、2的最小公倍数），得：
$3(x-3)-4(x-4)=6$
去括号，得：
$3x-9-4x+16=6$
移项，得：
$3x-4x=6+9-16$
合并同类项，得：
$-x=-1$
系数化为1，得：
$x=1$
(2) 去分母，两边同乘12（4、6的最小公倍数），得：
$3(x+1)-12=2(2x-1)$
去括号，得：
$3x+3-12=4x-2$
移项，得：
$3x-4x=-2-3+12$
合并同类项，得：
$-x=7$
系数化为1，得：
$x=-7$
(3) 去分母，两边同乘4（4、2的最小公倍数），得：
$(x+3)-4=2(x-3)-8$
去括号，得：
$x+3-4=2x-6-8$
移项，得：
$x-2x=-6-8-3+4$
合并同类项，得：
$-x=-13$
系数化为1，得：
$x=13$
(4) 先利用分数基本性质将小数分母化为整数，分子分母同乘10，得：
$\frac{4x-1}{5}=\frac{1+2x}{3}-0.6$
去分母，两边同乘15（5、3的最小公倍数），得：
$3(4x-1)=5(1+2x)-9$
去括号，得：
$12x-3=5+10x-9$
移项，得：
$12x-10x=5-9+3$
合并同类项，得：
$2x=-1$
系数化为1，得：
$x=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=-7$；(3) $x=13$；(4) $x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
解一元一次方程、等式的性质、去括号法则
【点评】
这组题目是解一元一次方程的基础训练题，覆盖了整数分母、小数分母两类常见的含分母一元一次方程题型，解题时需注意去分母不要漏乘常数项、去括号和移项时不要弄错符号，熟练掌握解题步骤后可大幅提升解题准确率。
【难度系数】
0.7
解带分母的一元一次方程的通用思路是：①若方程中分母为小数，先利用分数的基本性质把小数分母转化为整数分母；②找所有分母的最小公倍数，方程两边同时乘这个最小公倍数去分母，注意不要漏乘不含分母的常数项；③按照去括号、移项（移项要变号）、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，每一步注意符号的变化，避免出错。
【解析】
(1) 去分母，两边同乘12（4、3、2的最小公倍数），得：
$3(x-3)-4(x-4)=6$
去括号，得：
$3x-9-4x+16=6$
移项，得：
$3x-4x=6+9-16$
合并同类项，得：
$-x=-1$
系数化为1，得：
$x=1$
(2) 去分母，两边同乘12（4、6的最小公倍数），得：
$3(x+1)-12=2(2x-1)$
去括号，得：
$3x+3-12=4x-2$
移项，得：
$3x-4x=-2-3+12$
合并同类项，得：
$-x=7$
系数化为1，得：
$x=-7$
(3) 去分母，两边同乘4（4、2的最小公倍数），得：
$(x+3)-4=2(x-3)-8$
去括号，得：
$x+3-4=2x-6-8$
移项，得：
$x-2x=-6-8-3+4$
合并同类项，得：
$-x=-13$
系数化为1，得：
$x=13$
(4) 先利用分数基本性质将小数分母化为整数，分子分母同乘10，得：
$\frac{4x-1}{5}=\frac{1+2x}{3}-0.6$
去分母，两边同乘15（5、3的最小公倍数），得：
$3(4x-1)=5(1+2x)-9$
去括号，得：
$12x-3=5+10x-9$
移项，得：
$12x-10x=5-9+3$
合并同类项，得：
$2x=-1$
系数化为1，得：
$x=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=-7$；(3) $x=13$；(4) $x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
解一元一次方程、等式的性质、去括号法则
【点评】
这组题目是解一元一次方程的基础训练题，覆盖了整数分母、小数分母两类常见的含分母一元一次方程题型，解题时需注意去分母不要漏乘常数项、去括号和移项时不要弄错符号，熟练掌握解题步骤后可大幅提升解题准确率。
【难度系数】
0.7
